福建省厦门市思明区莲花中学2024-2025学年上学期期中九年级数学试卷

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A．B．C．D．
2．（4分）二次函数y＝（x﹣2）2+1图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝1B．直线x＝2C．直线x＝﹣1D．直线x＝﹣2
3．（4分）如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△ABEB．△ACFC．△ABDD．△ADE
4．（4分）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于（ ）（精确到0.01）．
A．0.56B．0.54C．0.53D．0.52
5．（4分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（ ）
A．4B．C．5D．
6．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．当AB′落在AC上时，∠BAC′的度数为（ ）
A．65°B．70°C．80°D．85°
7．（4分）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器（ ）台．
A．2B．3C．4D．5
8．（4分）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（ ）
A．1B．﹣1C．+1D．1或+1
9．（4分）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S，该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若m＝，则m与n关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
10．（4分）已知抛物线y＝2x2﹣bx上有点（m，n），且m是关于x的方程4x﹣b＝0的解，则下列说法正确的是（ ）
A．对于任意实数x，都有y≤n
B．对于任意实数x，都有y≥n
C．对于任意实数x，都有y＜n
D．对于任意实数x，都有y＞n
二.填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）方程x2﹣2x＝0的实数解是 ．
12．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝50°，则∠C的度数是 ．
13．（4分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在白色区域的概率为 ．
14．（4分）将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ．
15．（4分）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 ．
16．（4分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG，当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是 ．
三.解答题（共9小题，共86分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0；
（2）（x+4）2＝5（x+4）．
18．（8分）先化简，再求值：，其中．
19．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．
（1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是 ；
（2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
20．（8分）关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得x1+x2和x1x2互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）以BC边上一点O为圆心作圆，使⊙O分别AC、AB都相切（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据你的尺规作图，证明AC、AB都与⊙O相切．
22．（10分）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线y＝﹣x2+bx的一部分．
（1）求抛物线的解析式；
（2）斜坡上点B处有一棵树，点B的横坐标为1，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．
23．（10分）（1）如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，四条边长满足：AB+CD≠BC+AD．
①该四边形ABCD是否具有内切圆？ （填“有”或“没”）；
②若∠BAD的平分线AE交⊙O于点E，∠BCD的平分线CF交⊙O于点F，连接EF．求证：EF是⊙O的直径；
（2）如图2，已知四边形ABCD既有外接圆，又有内切圆，它的内切圆⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H．连接EG，FH交于点P．求证：EG⊥FH．
24．（13分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（﹣b，c）两点，其中a，b，c为常数，且ab＞0．
（1）求a，c的值；
（2）若该二次函数的最小值是﹣4，且它的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
25．（13分）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r（m）的圆面．喷洒覆盖率，s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ＝ ．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；…，以此类推，如图5，设计安装n2个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．已知AE＝BF＝CG＝DH，设AE＝x（m），⊙O1的面积为y（m2），求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1？（直接写出结果即可）
累计抛掷次数
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
盖面朝上次数
28
54
106
158
264
527
1056
1587
2650
盖面朝上频率
0.5600
0.5400
0.5300
0.5267
0.5280
0.5270
0.5280
0.5290
0.530