人教版数学七上期末易错题提升练习易错16 角的计算（2份，原卷版+解析版）

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1-1．（2021·湖南宁乡·七年级期末）如图：点A，O，B在一条直线上，∠AOC=3∠COD， OE平分∠BOD．
（1）若∠COD=10°，求∠BOE的度数；
（2）若∠COE=75°，求∠COD的度数．．
【答案】（1）70°；（2）15°
【分析】
（1）先后求得∠AOC、∠AOD的度数，再利用角平分线的定义即可求得∠BOE的度数；
（2）设∠COD的度数为x，则∠AOC=3x，∠EOD=∠COE-∠COD=75°-x，利用平角的定义列方程即可求得∠COD的度数．
【详解】
解：（1）∵∠COD=10°，
∴∠AOC=3∠COD=30°，∠AOD=∠AOC+∠COD=40°，
∵点A，O，B在一条直线上，
∴∠BOD=180°-∠AOD=140°，
又OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠BOD=70°；
（2）设∠COD的度数为x，则∠AOC=3x，∠EOD=∠COE-∠COD=75°-x，
∴∠BOD=2∠EOD=150°-2x，
∵点A，O，B在一条直线上，
∴∠BOD+∠AOD=180°，
即150°-2x+3x+x=180°，
解得x=15°，即∠COD=15°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义余角和补角的知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
1-2．（2021·湖南永定·七年级期末）如图1，直线AB经过点O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分线．
（1）若∠AOC＝130°，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOC＝α，将图1中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图2的位置，其它条件不变，求∠DOE度数（用含α的式子表示）．
【答案】（1）65°；（2）180°﹣α．
【分析】
（1）根据平角的定义得：∠BOC=180°-130°，由角平分线定义得：∠EOC= ∠BOC=90°- ×130°=25°，根据角的差可得结果；
（2）根据平角的定义和角平分线的定义可得：∠DOE=∠COD+∠COE=180°- α．
【详解】
解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝130°，
∴∠BOC＝180°﹣130°=50°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC＝25°，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣25°＝65°；
（2）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC＝90°﹣α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°+（90°﹣α）＝180°﹣α．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．
【专题训练】
选择题
1．（2021·黑龙江·肇源县超等蒙古族乡学校七年级期中）一个角的补角比这个角的余角大（ ）．
A．70°B．80°C．90°D．100°
【答案】C
【分析】
根据互补即两角的和为180°，互余的两角和为90°，设这个角为x，即可求出答案．
【详解】
解：设这个角为x，则这个角的补角为180°-x，这个角的补角为90°-x，
根据题意得：180°-x-（90°-x）=90°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了余角和补角的概念与性质．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180°．
2．（2021·辽宁西丰·七年级期末）如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝15°，OC平分∠AOD，则∠BOD的度数是（ ）
A．75°B．60°C．65°D．55°
【答案】B
【分析】
先求出∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠AOD，然后根据∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB代入数据进行计算即可得解．
【详解】
解：∵∠AOB＝90°，∠BOC＝15°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣15°＝75°，
∵OC平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠AOC＝2×75°＝150°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝150°﹣90°＝60°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义以及角的计算，熟记概念并准确识图是解题的关键．
3．（2021·河南川汇·七年级期末）已知，从顶点O引一条射线，若，则（ ）
A．20°B．40°C．80°D．40°或80°
【答案】D
【分析】
分为两种情况：①当OC在∠BOA内部时，②当OC在∠BOA外部时，根据角之间的关系求出即可．
【详解】
解：分为两种情况：①当OC在∠BOA内部时，∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°-20°=40°；
②当OC在∠BOA外部时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=60°+20°=80°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角的有关计算的应用，主要考查了学生的计算能力，注意要进行分类讨论啊．
4．（2021·全国·七年级课时练习）己知：；②；③；④，其中能够得到射线OM是的平分线的有（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】
根据角平分线的定义逐个判断即可．
【详解】
解：①若OM在∠AOB的内部，，则OM是的平分线，若OM在∠AOB的外部，则OM不是的平分线，故①错误；
②若OM在∠AOB的内部，，则OM是的平分线，若OM在∠AOB的外部，则OM不是的平分线，故②错误；
③∵，
∴OM在∠AOB的内部，
又∵，
∴OM是的平分线，故③正确；
④∵，
∴OM在∠AOB的内部，
但无法证明，
∴OM不一定是的平分线，故④错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查了角的角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键．
5．（2021·河北迁安·七年级期中）如图，∠AOB=α，OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，OA2、OB2分别是∠A1OM和∠MOB1的平分线，OA3、OB3分别是∠A2OM和∠MOB2的平分线，…，OAn、分别是∠An-1OM和∠MOBn-1的平分线，则∠AnOBn的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由∠AOB=α，OM是∠AOB中的一射线，可得∠AOM+∠MOB=α，由OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，可得∠A1OM=，∠B1OM=，可得∠A1OB1=∠A1OM+∠B1OM=+=，由OA2、OB2分别是∠A1OM和∠MOB1的平分线，可求∠A2OB2=∠A2OM+∠B2OM=+=，由OA3、OB3分别是∠A2OM和∠MOB2的平分线，可求∠A3OB3=∠A3OM+∠B3OM=+=，…，然后根据规律可求∠AnOBn=．
【详解】
解：∵∠AOB=α，OM是∠AOB中的一射线，
∴∠AOM+∠MOB=α，
∵OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，
∴∠A1OM=，∠B1OM=
∴∠A1OB1=∠A1OM+∠B1OM=+=，
∵OA2、OB2分别是∠A1OM和∠MOB1的平分线，
∴∠A2OM=，∠B2OM=，
∴∠A2OB2=∠A2OM+∠B2OM=+=，
∵OA3、OB3分别是∠A2OM和∠MOB2的平分线，
∴∠A3OM=，∠B3OM=，
∴∠A3OB3=∠A3OM+∠B3OM=+=，
…，
∵OAn、分别是∠An-1OM和∠MOBn-1的平分线，
∴∠AnOM=，∠BnOM=，
∴∠AnOBn=∠An-1OM+∠Bn-1OM=+=，
故选择C．
【点睛】
本题考查角的和，与角平分线的定义，规律探索，利用角平分线求出∠A1OB1，∠A2OB2，∠A3OB3，找出规律是解题关键．
二、填空题
6．（2021·河北滦州·七年级期中）如图所示，，点B，O，D在同一直线上，若，则的度数为______．
【答案】116°
【分析】
由图示可得，∠1与∠BOC互余，结合已知可求∠BOC，又因为∠2与∠COB互补，即可求出∠2的度数．
【详解】
解：∵，∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝64°，
∵∠2＋∠BOC＝180°，
∴∠2＝116°．
故答案为：116°．
【点睛】
此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．
7．（2021·全国·七年级专题练习）如图所示，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB：∠AOD＝2：11，则∠AOB＝_______．
【答案】20°
【分析】
由∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD知∠AOB=∠COD，设∠AOB=2α，则∠AOD=11α，故∠AOB+∠BOC=5α=90°，解得α即可．
【详解】
解：∵∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD，
∴∠AOB=∠COD，
设∠AOB=2α，
∵∠AOB：∠AOD=2：11，
∴∠AOB+∠BOC=9α=90°，
解得α=10°，
∴∠AOB=20°．
故答案为20°．
【点睛】
此题主要考查了角的计算以及余角和补角，正确表示出各角度数是解题关键．
8．（2021·陕西神木·七年级期末）如图，已知∠BAE＝∠CAF＝110°，∠CAE＝60°，AD是∠BAF的平分线，则∠BAD的度数为___°．
【答案】80
【分析】
由∠BAE=110°，∠CAE=60°，可得∠BAC=110°﹣60°=50°，结合∠CAF=110°，可得∠BAF=110°+50°=160°，再由AD平分∠BAF即可得∠BAD=80°．
【详解】
∵∠BAE=110°，∠CAE=60°，
∴∠BAC=110°﹣60°=50°，
又∵∠CAF=110°，
∴∠BAF=110°+50°=160°，
又∵AD是∠BAF的角平分线，
∴∠BAD=∠BAF=×160°=80°．
故答案为：80．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义和几何中角度的计算，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的定义．
9．（2021·江西·南昌市心远中学七年级期末）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上一点，沿线段BE对折后，若比大18°，则的度数是___________________度．
【答案】24
【分析】
根据折叠角相等和正方形各内角为直角的性质即可求得∠EBF的度数．
【详解】
解：∵∠FBE是∠CBE折叠形成，
∴∠FBE=∠CBE，
∵∠ABF-∠EBF=18°，∠ABF+∠EBF+∠CBE=90°，
∴∠EBF+18°+∠EBF+∠EBF+=90°，
∴∠EBF=∠EBC= 24°，
故答案为：24．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，考查了正方形各内角为直角的性质，本题中求得∠FBE=∠CBE是解题的关键．
10．（2021·全国·七年级课时练习）如图，的内部有射线OC、OD，且，，则OC是_______的平分线，OC是_______的一条三等分线，OC也是_______的一条四等分线，OD是_______的平分线，OD也是_______的一条四等分线．
【答案】
【分析】
根据角平分线及三等分线和四等分线的定义逐个判断即可．
【详解】
解：∵，
∴OC是的平分线，
∵，，
∴，
∴，
∴OC是的一条三等分线，
∵，，
∴，
∴OC、OD是的两条四等分线，
∵，
∴OD是的平分线，
故答案为：；；；；．
【点睛】
本题考查了角的角平分线及三等分线和四等分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键．
三、解答题
11．（2021·湖南涟源·七年级月考）如图，直线、相交于，，是的角平分线，，求的度数．
【答案】22°
【分析】
利用角的和差关系和角平分线定义可得∠AOF的度数，然后计算出∠AOC的度数，再根据对顶角相等可得∠BOD的度数．
【详解】
解：∵∠EOC=90°，∠COF=34°，
∴∠EOF=90°-34°=56°，
又∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=56°，
∵∠COF=34°，
∴∠AOC=56°-34°=22°，
则∠BOD=∠AOC=22°．
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义、余角和补角，对顶角，掌握它们的概念是解题的关键．
12．（2021·甘肃瓜州·七年级期末）如图，已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠AOD．
（1）如图1，若∠COE＝20°，则∠DOB的度数为 °；
（2）将图1中的∠COD放置图2的位置，其他条件不变，探究∠COE和∠DOB之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）40；（2）∠DOB＝2∠COE，理由见解析
【分析】
（1）根据∠COD是直角，∠COE＝20°可得∠EOD＝70°，由OE平分∠AOD，可得∠AOD＝140°，从而可得∠DOB＝40°．
（2）先根据∠COE与∠AOD之间的关系转化出∠AOD＝180°﹣2∠COE，再根据∠DOB＝180°﹣∠AOD这一关系代入化简即可得出∠DOB＝2∠COE．
【详解】
解：（1）∵∠COD是直角，∠COE＝20°，
∴∠EOD＝70°，
又∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠EOD＝140°，
∴∠DOB＝180°﹣∠AOD＝40°．
故答案为：40．
（2）∠DOB＝2∠COE．
∵∠COD是直角，OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝∠AOD，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣∠AOD，
∴∠AOD＝180°﹣2∠COE，
∴∠DOB＝180°﹣∠AOD
＝180°﹣（180°﹣2∠COE）
＝2∠COE．
【点睛】
本题主要考查角度的计算和角平分线的定义，正确进行角度之间的转化是解题的关键．
13．（2021·全国·七年级专题练习）如图，已知∠AOB是直角，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）求∠EOF的度数；
（2）若∠AOC=x°，∠EOF=y°．则请用x的代数式来表示y；
（3）如果∠AOC+∠EOF=156°，则∠EOF是多少度？
【答案】（1）45°；（2）y＝45°与x无关；（3）45°
【分析】
（1）根据角平分线的定义得：∠EOC＝∠AOC，∠COF＝∠BOC，而∠EOF＝∠EOC－∠COF，据此解答；
（2）利用（1）中的方法进行计算即可；
（3）通过第（1）、（2）的计算，发现∠EOF＝∠AOB．
【详解】
解：（1）∵∠AOB是直角，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋60°＝150°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠AOC＝×150°＝75°，∠COF＝∠BOC＝＝30°，
∴∠EOF＝∠EOC－∠COF＝75°－30°＝45°；
（2）∵∠AOB是直角，∠AOC＝x°，
∴∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝x°－90°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠AOC＝ x°，∠COF＝∠BOC＝（x°－90°），
∴∠EOF＝∠EOC－∠COF＝x°－（x°－90°）＝45°；
（3）根据（2）的规律发现，∠EOF的度数只与∠AOB有关，
∠EOF＝ ∠AOB＝×90°＝45°．
【点睛】
此题考查了角的计算与角平分线的定义．此题注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
14．（2021·四川省成都市石室联合中学七年级开学考试）已知，，平分，平分.
（1）如图，当、重合时，求的值；
（2）若从上图所示位置绕点以每秒的速度顺时针旋转秒（），在旋转过程中的值是否会因的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由.
【答案】（1）35°；（2）是定值，35°
【分析】
（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据∠AOE-∠BOF求解；
（2）首先由题意得∠BOC=3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，然后由角平分线的定义得∠AOE=∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），最后根据∠AOE-∠BOF求解可得．
【详解】
解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE=∠AOB=×110°=55°，∠BOF=∠COD=×40°=20°，
∴∠AOE-∠BOF=55°-20°=35°；
（2）∠AOE-∠BOF的值是定值，如图2，
由题意∠BOC=3t°，
则∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），
∴∠AOE-∠BOF=（110°+3t°）-（40°+3t°）=35°，
∴∠AOE-∠BOF的值是定值．
【点睛】
本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．
15．（2021·广西南宁·七年级期末）如图，己知，是内的一条射线，且．
（1）求，的度数：
（2）作射线平分，在内作射线，使得，求的度数；
（3）过点作射线，若，求的度数．
【答案】（1），；（2）；（3）或
【分析】
（1）由，即可求出，的度数；
（2）由，，求出；由平分,且，求出的度数；然后由得到结果；
（3）分类讨论，画出相关图形，当射线在内部时，根据条件，计算出相关角度，由，得到结果；当射线在外部时，由，得到结果．
【详解】
解：（1）∵，
∴,
（2）∵，
∴
又∵射线平分,且
∴
∴
（3）分两种情况，讨论：
①当射线在内部时，作图如下：
∵
∴
又∵,且
∴
∴，
又∵
∴
②当射线在外部时，作图如下：
∵且
∴
又∵
∴
∴，
又∵
∴
综上所述，或
【点睛】
本题考查的是角度的计算，角平分线的性质等，利用分类讨论思想解题是关键．
16．（2021·全国·七年级课时练习）如图，OM是的平分线，ON是的平分线．
（1）如图1，当是直角，时， ________，________ ，________；
（2）如图2，当，时，猜想：与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当， （为锐角）时，猜想：与､有数量关系吗?如果有，请写出结论，并说明理由．
【答案】（1），，；（2），理由见解析；（3）有，，理由见解析．
【分析】
（1）观察图形，结合角平分线的定义可得，，即可求解；
（2）观察图形，结合角平分线的定义可得，，即可求解；
（3）观察图形，结合角平分线的定义可得，，即可求解；
【详解】
解：（1）∵ON 平分，
∴，
∴，
∵OM是的平分线，
∴，
∴；
故答案为：，，；
（2）．
理由：，OM是的平分线，
，因为ON平分，
所以，；
（3）．
理由：因为ON平分，所以，
又因为，OM是的平分线，
所以，．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义及角的运算，解题的关键是掌握角平分线的定义并通过观察图形找到角与角之间的关系．
17．（2021·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校七年级月考）已知，O是直线AB上的一点，OC⊥OE．
（1）如图①，若∠COA＝34°，求∠BOE的度数．
（2）如图②，当射线OC在直线AB下方时，OF平分∠AOE，∠BOE＝130°，求∠COF的度数．
（3）在（2）的条件下，如图③，在∠BOE内部作射线OM，使∠COM+∠AOE＝2∠BOM+∠FOM，求∠BOM的度数．
【答案】（1）56°；（2）65°；（3）75°
【分析】
（1）根据平角的性质即可求解．
（2）根据平角的性质先求出∠AOE，再利用角平分线的性质求出∠EOF，根据垂直的定义即可求解．
（3）设∠BOM的度数为x，分别表示出∠COM，∠FOM，根据∠COM+∠AOE＝2∠BOM+∠FOM列出方程，故可求解．
【详解】
（1）∵OC⊥OE，∠COA＝34°，
∴∠BOE=180°-90°-34°=56°；
（2）∵∠BOE＝130°，
∴∠AOE=180°-∠BOE＝50°
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF=∠AOE=25°=∠AOF
∵OC⊥OE．
∴∠COF=90°-∠EOF=65°；
（3）∵OC⊥OE，
∴∠AOC=90°-∠AOE=40°
设∠BOM的度数为x
∴∠COM=∠AOC+∠AOM=40°+180°-x=220°-x，∠FOM=∠AOM-∠AOF=180°-x-25°=155°-x
∵∠COM+∠AOE＝2∠BOM+∠FOM，
∴220°-x+×50°=2x+155°-x
解得x=75°
∴∠BOM的度数为75°．
【点睛】
此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知平角的性质、角平分线的性质及一元一次方程的应用．
18．（2021·河北迁安·七年级期中）如图1，把直角三角形MON的直角顶点O 放在直线AB上，射线 OC平分∠AON．
观察分析：（1）如图1，若∠MOC=28°，则∠BON的度数为 ；
（2）若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，若∠BON=100°，求∠MOC 的度数．
猜想探究：（3）若将三角形 MON绕点O旋转到如图3所示的位置，请你猜想∠BON和∠MOC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3），见解析
【分析】
（1）根据直角的定义求得的度数，根据角平分线的定义求得，进而根据平角的定义求得；
（2）根据平角的定义求得，根据角平分线的定义求得，进而求得，根据即可求得∠MOC 的度数；
（3））根据平角的定义求得，根据图形可知，进而根据即可得出．
【详解】
解：（1）
又 OC平分∠AON,
故答案为：56°
（2）
OC平分
（3）和之间的数量关系
OC平分
即：
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，平角的定义，掌握角度的计算是解题的关键．