2024-2025学年上海市金山区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市金山区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了下列各组图形一定相似的是等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列各组图形一定相似的是
A．所有等腰三角形都相似B．所有等边三角形都相似
C．所有菱形都相似D．所有矩形都相似
2．（4分）如果是线段的中点，那么下列结论中正确的是
A．B．C．D．
3．（4分）如图为阿成调整他的计算机画面的分辨率时看到的选项，当他从建议选项调整成时，由于比例改变，画面左右会出现黑色区域，当比例不变就不会有此问题．判断阿成将他的计算机画面分辨率从调整成下列哪一种时，画面左右不会出现黑色区域？
A．B．C．D．
4．（4分）点、、分别在△的边、、上，，，下列不一定正确的是
A．B．C．D．
5．（4分）△中，点是边上一点，联结，下列条件中，不能判定△与△相似的是
A．B．C．D．
6．（4分）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是
A．①②③④B．①②③⑤C．①③④⑤D．②④⑤
二．填空题（每小题4分，共48分）
7．（4分）如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的对应中线之比等于 ．
8．（4分）解放军进行野外训练，要求从甲地到乙地，在一幅比例尺是的地图上，量得甲、乙两地的距离是40厘米．要求在4小时内到达，平均每小时要行军 千米．
9．（4分）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，如果如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为3分米，那么该兵马俑的眼睛到下巴的距离约为 分米（结果保留根号）．
10．（4分）如图，、是边、上的两点，且，，则 ．
11．（4分）如图，已知直线，直线分别交直线、、于、、三点，直线分别交直线、、于、、三点，如果，，，那么长为 ．
12．（4分）点是平行四边形边延长线上一点，联结交于点，联结交于点，如果，那么 ．
13．（4分）梯形中，，且，若，．请用，来表示 ．
14．（4分）在△中，，于，如果，，那么的长是 ．
15．（4分）在△中，，、在边上，且在、之间，，，如果△是等边三角形，那么等边△的边长为 ．
16．（4分）如图，在中，是上的高，，如果矩形内接于中，点、分别在边、上，点、在上，那么矩形的周长为 ．
17．（4分）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形．
已知在直角中，，，，如图，如果点在边上，且是准直角三角形，那么 ．
18．（4分）在△中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．如果，且，那么 ．
三．解答题（本大题共7题，满分0分）
19．已知、、是△的三边长，且，求：
（1）的值．
（2）若△的周长为18，求各边的长．
20．如图，在中，是的重心，联结并延长交于点．
（1）如果，，那么 （用向量、表示）；
（2）已知，，点在边上，且，求的长．
21．如图，在△中，点在边上，点、点在边上，且，．
（1）求证：；
（2）如果，求的值．
22．某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智、小明跟同学们分享了关于梯形的三个正确的研究结论：
①如图1，梯形，，过对角线交点的直线与两底分别交于点、，则；②如图2，梯形，，过两腰延长线交点的直线与两底分别交于点、，则；
③如图3，梯形，，过对角线交点作分别交、于点、，则．
（1）请在答题纸上完成结论③的证明．
（2）该小组还出了一个作图题考同学们：请运用上述相关结论用一把直尺将图4中两条平行的线段、同时平分．（保留作图过程痕迹）
（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿在答题卷上直接用铅笔完成作图，不要涂改．
23．已知：如图，矩形的对角线、相交于点，点在边上，，垂足为点．
（1）求证：；
（2）过点作交于点，求证：．
24．已知△的顶点、的坐标分别是、、点在轴正半轴，△的面积为12．
（1）求点的坐标；
（2）若点在轴的正半轴，且△是等腰三角形，请直接写出点的坐标；
（3）已知点在轴上，如果，求点的坐标．
25．如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，如果，且，求的值；
（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．
参考答案
一．选择题（每小题4分，共24分）
1．（4分）下列各组图形一定相似的是
A．所有等腰三角形都相似B．所有等边三角形都相似
C．所有菱形都相似D．所有矩形都相似
解：任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，错误；
任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，正确；
任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，错误；
任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，错误；
故选：．
2．（4分）如果是线段的中点，那么下列结论中正确的是
A．B．C．D．
解：由题意得：，且它们的方向相反，
，，
故选：．
3．（4分）如图为阿成调整他的计算机画面的分辨率时看到的选项，当他从建议选项调整成时，由于比例改变，画面左右会出现黑色区域，当比例不变就不会有此问题．判断阿成将他的计算机画面分辨率从调整成下列哪一种时，画面左右不会出现黑色区域？
A．B．C．D．
解：，
阿成将他的计算机画面分辨率从调整成时，画面左右不会出现黑色区域．
故选：．
4．（4分）点、、分别在△的边、、上，，，下列不一定正确的是
A．B．C．D．
解：，
，，故选项不符合题意；选项符合题意；
，
，故选项不符合题意；
，，
，，
△△，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
故选项不符合题意；
故选：．
5．（4分）△中，点是边上一点，联结，下列条件中，不能判定△与△相似的是
A．B．C．D．
解：如图所示，
，
，
，
△△，
故选项能判定△与△相似，不符合题意；
，
，
，
不能判定△与△相似，
故选项符合题意；
，
△△，
故选项能判定△与△相似，不符合题意；
，，
△△，
故选项能判定△与△相似，不符合题意；
故选：．
6．（4分）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是
A．①②③④B．①②③⑤C．①③④⑤D．②④⑤
解：在正方形中，，，
，
，
，，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
在正方形对角线上，
到，的距离相等，
，
，
，故③正确；
设正方形的边长为，
，
当是的中点时，．
由勾股定理得：
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当是的中点时，，故④正确，
当时，，
，，
，
，
，
中边上的高与中边上的高相等，，
，
设，则，，
，
，
当时，，
，
，
，
，故⑤不正确，
综上所述：正确结论的序号是①②③④，
故选：．
二．填空题（每小题4分，共48分）
7．（4分）如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的对应中线之比等于 ．
解：两个相似三角形对应边上的高之比是，
这两个相似三角形的相似比为，
它们的对应中线之比等于．
故答案为：．
8．（4分）解放军进行野外训练，要求从甲地到乙地，在一幅比例尺是的地图上，量得甲、乙两地的距离是40厘米．要求在4小时内到达，平均每小时要行军 6 千米．
解：（厘米），2400000厘米千米，
又（千米）；
平均每小时要行军6千米．
故答案为：6．
9．（4分）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，如果如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为3分米，那么该兵马俑的眼睛到下巴的距离约为 分米（结果保留根号）．
解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为 ，则：
，
，
故答案为：．
10．（4分）如图，、是边、上的两点，且，，则 ．
解：，，
，
，
．
故答案为：．
11．（4分）如图，已知直线，直线分别交直线、、于、、三点，直线分别交直线、、于、、三点，如果，，，那么长为 2 ．
解：，
，
，，，
．
故答案为：2．
12．（4分）点是平行四边形边延长线上一点，联结交于点，联结交于点，如果，那么 ．
解：如图，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
△△，
，
．
故答案为：．
13．（4分）梯形中，，且，若，．请用，来表示 ．
解：如图所示：
，，，
，
，
故答案为：．
14．（4分）在△中，，于，如果，，那么的长是 ．
解：，于，
，
．
故答案为：．
15．（4分）在△中，，、在边上，且在、之间，，，如果△是等边三角形，那么等边△的边长为 6 ．
解：如图，设等边△的边长为，
，，
，，
，
，
，，
，
，
同理可得，
△△，
，即，
，
解得或（边长不能为负舍去），
故答案为：6．
16．（4分）如图，在中，是上的高，，如果矩形内接于中，点、分别在边、上，点、在上，那么矩形的周长为 24 ．
解：设与交于点，
四边形是矩形，
，
是上的高，
，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
矩形的周长为．
故答案为：24．
17．（4分）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形．
已知在直角中，，，，如图，如果点在边上，且是准直角三角形，那么 或 ．
解：在中，，，，
由勾股定理得：，
是准直角三角形，
有以下两种情况：
①当时，过点作于，如图1所示：
，
又，
，
即为的平分线，
，于，
，
设，
在和中，
，
，
，
则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
；
②当时，如图2所示：
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
综上所述：或．
故答案为：或．
18．（4分）在△中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．如果，且，那么 ．
解：如图所示，连接，
点和点关于直线对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
可设，，
，
由勾股定理得，
，
解得，
，
．
故答案为：．
三．解答题（本大题共7题，满分0分）
19．已知、、是△的三边长，且，求：
（1）的值．
（2）若△的周长为18，求各边的长．
解：（1）设，
，，，
；
（2），
，
，
，，．
20．如图，在中，是的重心，联结并延长交于点．
（1）如果，，那么 （用向量、表示）；
（2）已知，，点在边上，且，求的长．
解：（1），，
，
是的重心，联结并延长交于点，
为的边上的中线，
即点为的中点，
．
．
故答案为：．
（2）是的重心，
．
，，
，
，
，
．
21．如图，在△中，点在边上，点、点在边上，且，．
（1）求证：；
（2）如果，求的值．
【解答】（1）证明：在△中，点在边上，点、点在边上，且，，
，
，
，
，
△△，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，，
，
△△，
．
22．某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智、小明跟同学们分享了关于梯形的三个正确的研究结论：
①如图1，梯形，，过对角线交点的直线与两底分别交于点、，则；②如图2，梯形，，过两腰延长线交点的直线与两底分别交于点、，则；
③如图3，梯形，，过对角线交点作分别交、于点、，则．
（1）请在答题纸上完成结论③的证明．
（2）该小组还出了一个作图题考同学们：请运用上述相关结论用一把直尺将图4中两条平行的线段、同时平分．（保留作图过程痕迹）
（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿在答题卷上直接用铅笔完成作图，不要涂改．
【解答】（1）证明：，
△△，
，
．
，
△△，△△，
，
，
；
（2）解：连接，并延长交于点，连接，交于点，连接并延长，分别交，于点，，则即为所求作．
由（2）知，由（1）知，
，
，
，
，
平分线段，．
23．已知：如图，矩形的对角线、相交于点，点在边上，，垂足为点．
（1）求证：；
（2）过点作交于点，求证：．
【解答】证明：（1）四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
，
，
△△，
，
；
（2）如图，
，
，
在矩形中，，
又，
，
，
，
，
△△，
，
．
24．已知△的顶点、的坐标分别是、、点在轴正半轴，△的面积为12．
（1）求点的坐标；
（2）若点在轴的正半轴，且△是等腰三角形，请直接写出点的坐标；
（3）已知点在轴上，如果，求点的坐标．
解：（1）点在轴正半轴，
设，
△的面积为12，、，
，，
，即，
，
；
（2），，
，
，
，
当时，△是等腰三角形，
，
；
当时，△是等腰三角形，
，
，
；
当时，
，
此时点与点重合，不符合题意，舍去；
点的坐标为或；
（3），，
，
，，，
，
，
在上取的中点，如图所示，
，
，
，，，
是△的外角，
，
，
，
第一种情况，点在点的位置，
，，
△△，
，
，
；
第二种情况，点在点的位置，
，
，
点，关于轴对称，
；
，点的坐标为或．
25．如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，如果，且，求的值；
（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．
【解答】证明：（1）如图1中，
，
，，
平分，
，
同理，
，，
，
．
（2）延长交于点．
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，且
，
（3）与相似，，
中必有一个内角为
是锐角，
．
①当时，
，
，
，
，
，
设，过点作，作，
，，
，，，
，
，，
，
，
，
，
．
②当时，，
，
与相似，
，此时，
综上所述，或，此时或．