2022-2023学年上海市金山区张堰二中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市金山区张堰二中九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  根据，可以组成的比例有(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列函数中，是二次函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  在中，，，，下列各式中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，以下条件不能推得的是(    )

A. ：：
B. ：：
C. ：：
D. ：：

5.  已知，下列说法中不正确的是(    )

A.  B. 与方向相同 C.  D.

6.  二次函数的图象如图所示，那么下列结论中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.  如果两个相似三角形对应高的比为：，那么这两个三角形的面积比为______．

8.  已知点是线段上的黄金分割点，且，，那么 ______ ．

9.  若将抛物线向下平移个单位，则所得到的新抛物线表达式为______．

10.  平面直角坐标系内有一点，那么与轴正半轴的夹角为， ______ ．

11.  如果抛物线的开口向上，那么的取值范围是______．

12.  二次函数图象上部分点的坐标满足如表：

那么的值为______ ．

13.  如图，在中，，，，则的长为______．

14.  如图，平分，，如果，，那么 ______ ．

15.  如果一个行人在斜坡为：的坡面上行走米，则他升高了______ 米

16.  如图，、分别是的两条中线，设，，那么向量用向量，表示为______ ．

17.  如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于，下底等于，那么它的周长为          ．

18.  如图，已知在中，，，，点是斜边上一点，过点作交边于点，过点作的平行线，与过点作的平行线交于点如果直线，那么的长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线过点、，和点三点．
求抛物线的表达式；
为抛物线第四象限上的一个动点，连接交线段于点，如果：，求点的坐标．

21.  本小题分
如图，在四边形中，平分，，．
求证：∽且求出的值；
如果，求四边形的面积．

22.  本小题分
无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为已知楼和楼之间的距离为米，楼的高度为米，从楼的处测得楼的处的仰角为点、、、、在同一平面内．
填空：______度，______度；
求楼的高度结果保留根号；
求此时无人机距离地面的高度．

23.  本小题分
已知：如图，在中，点在边上，，与、分别相交于点、，．
求证：∽；
联结，求证：．

24.  本小题分
已知抛物线经过点和．
求该抛物线的函数表达式及顶点坐标．
求的值．
若原抛物线经过平移后经过点和点，若的中点恰好在轴上，且且点在点的右侧，求平移后抛物线的表达式．

25.  本小题分
已知的余切值为，，点是线段上一动点点不与点、重合，以点为顶点的正方形的另两个顶点、都在射线上，且点在点的右侧，联结，并延长交射线于点．
联结，求证：；
如图，当点在线段上时，如果的正切值为，求线段的长；
联结，当为等腰三角形时，求线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，
，故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
故C符合题意；
D、，
，
故D不符合题意．
故选：．
根据比例的性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B.函数是二次函数，故本选项符合题意；
C.，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D.函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：．
根据二次函数的定义逐个判断即可．
本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如、、为常数，的函数，叫二次函数．

3.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，，，．
故选：．
先利用勾股定理计算出，然后根据正弦、余弦、正切和余切的定义对各选项进行判断．
本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正弦、余弦、正切和余切的定义是解决问题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：：：，
而，
∽，
，
，所以选项不题意；
：：，
即：：，
，所以选项不符合题意；
：：，
：：，
，所以选项不符合题意；
由：：不能判断∽，则不能确定
不能确定，
不能判断，所以选项符合题意．
故选：．
利用：：和可证明∽，所以，利用平行线的判定方法，则可对选项进行判断；利用比例的性质和选项的判定方法可对、选项进行判断；由于：：不能判断∽，则不能确定，从而不能判断，则可对选项进行判断．
本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．也考查了相似三角形的判定与性质．

5.【答案】 

【解析】解：、由知：，原说法不正确，符合题意；
B、由知：与的方向相同，原说法正确，不符合题意；
C、由知：与的方向相同，则，原说法正确，不符合题意；
D、由知：，原说法正确，不符合题意．
故选：．
根据已知条件可知：与的方向相同，其模是倍关系．
本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有方向，又有大小．

6.【答案】 

【解析】解：由图可知：
抛物线开口向下，
，
故A错误，不符合题意；
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
，
故C错误，不符合题意；
对称轴为直线，
，
即，
故D正确，符合题意；
，，
，
故B错误，不符合题意．
故选：．
根据二次函数的图象逐一判断即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，从图象中获取信息并结合图象去分析是解题的关键．

7.【答案】： 

【解析】解：两个相似三角形对应高的比为：，
这两个三角形的面积比为：：．
故答案为：：．
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段对应中线、对应角平分线、对应边上的高的比也等于相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：点是线段上的一个黄金分割点，且，，
．
故答案为：．
根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键．

9.【答案】． 

【解析】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线向下平移个单位，所得到的新抛物线表达式为，
故答案为：．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

10.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，如图：

点，
，，
．
故答案为：．
过点作轴于点，由点的坐标得、的长，根据正切函数的定义得结论．
本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形．

11.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
．
故答案为：．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．

12.【答案】 

【解析】解：、时的函数值都是，相等，
函数图象的对称轴为直线，
和关于直线对称，
，
故答案为：．
根据二次函数的对称性解答即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

在中，，，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后根据勾股定理求出的长即可解答．
本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：斜坡为：，
坡度为：，
设升高的高度为米，则水平距离为米，
则在坡面上走的距离为：，
令，
解得，
即一个行人在斜坡为：的坡面上行走米，他升高的高度为米，
故答案为：．
根据斜坡为：，可知坡度为：，然后根据勾股定理，可以得到高为时的斜边的长度，从而可以求得一个行人在斜坡为：的坡面上行走米时升高的高度．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，求出相应的高度

16.【答案】 

【解析】解：、分别是的两条中线，
，，
，，
，，
，
故答案为：．
根据、分别是的两条中线得出，，再根据平面向量的减法运算法则即可求解．
本题考查了三角形重心的性质，平面向量的减法运算法则，熟练掌握三角形重心的性质，平面向量的减法运算法则是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质，直角梯形，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
过作于，根据矩形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：如图，过作于，
梯形是直角梯形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，
∽，
，
，
，
，
它的周长为，
故答案为：．

18.【答案】 

【解析】解：如图，设．
，
四边形是平行四边形，，
，
在中，，，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
经检验是分式方程的解，
．
故答案为：．
如图，设证明，根据，构建方程求解．
本题考查直解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

19.【答案】解：原式

． 

【解析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．

20.【答案】解：设抛物线的解析式为．
将代入得：，
解得，
抛物线的解析式为，即；
过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，

，
∽，
．
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
．
，
整理得，
解得，
． 

【解析】设抛物线的解析式为，将点的坐标代入可求得的值，从而得到抛物线的解析式；
过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，证明∽，得出，求出直线的解析式为，设，则，可得出，解方程可得出结论．
本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

21.【答案】解：平分，
，
，
∽，
，
在中，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
，




． 

【解析】先利用两角对应相等判断∽，再利用直角三角形的边角间关系和相似三角形的性质得结论；
利用直角三角形的边角间关系先求出、，再利用勾股定理求出、，最后利用三角形的面积公式得结论．
本题主要考查了解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质、直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键．

22.【答案】解：，，
．
过点作于点．

则，
．
故答案为：；．
由题意可得米，米，
在中，，
，
解得，
米．
楼的高度为米．
过点作于点，交于点，

则，米，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则，
≌，
米，
米．
此时无人机距离地面的高度为米． 

【解析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
由平角的性质可得；过点作于点则，根据三角形内角和定理可得．
由题意可得米，米，在中，，解得，结合可得出答案．
过点作于点，交于点，证明≌，可得米，再根据可得出答案．

23.【答案】证明：．
，
，
∽，
，
，
，
，
，
∽；
∽，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
． 

【解析】通过证明∽，可得，由平行线的性质可得，且，可证∽；
由相似三角形的性质可得，且，可证∽，可得，由平行线分线段成比例可得，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

24.【答案】解：抛物线经过点和，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为；
，
顶点坐标为；
连接，，，如图所示：

，，，
，
，
，
，
，
；
中点在轴上，
，
，即点坐标为，
，点在点右侧，且点坐标为，
，
解得，
，坐标为，，
设抛物线平移后解析式解析式为，
将，代入得，
解得，
． 

【解析】通过待定系数法求函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式求点坐标．
由点，，坐标可得三角形为直角三角形，进而求解．
由中点在轴上可得点纵坐标，由可得的值，从而可得，坐标，进而求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握待定系数法求函数解析式，掌握勾股定理及三角函数．

25.【答案】证明：如图，联结，

四边形是正方形，
，
的余切值为，
，
设，则，
，
即．
解：由知，，，
的正切值为，
，
，
，
，
，
∽，
：：，即：：，
解得；
解：设正方形的边长为．
根据题意，需要分三种情况：
，如图，

，
，
，
，
，
∽，
：：，即：：，
解得；
，如图，

，即，
，
，
，
∽，
：：，即：：，
解得；
，如图，

设，则，
在中，由勾股定理可得，，
解得，
，
，
∽，
：：，即：：，
解得．
综上，当为等腰三角形时，求线段的长为：或或． 

【解析】联结，根据三角函数的定义可得出结论；
由题意可知，所以∽，再由三角函数的定义和相似三角形的性质可得结论；
根据题意，需要分三种情况，画图出行，分别求解即可．
本题属于几何综合题，主要考查正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，分类讨论思想等相关知识，根据题意求出与正方形边长的关系是解题关键．