2024-2025学年第一学期高一年级12月阶段性检测试题数学（集合～对数函数+函数应用二 零点）（解析版）-A4

这是一份2024-2025学年第一学期高一年级12月阶段性检测试题数学（集合～对数函数+函数应用二 零点）（解析版）-A4，共12页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，设函数的零点为，则，函数的图象大致为，已知函数，则函数单调递增区间为，已知，，，则，以下函数是偶函数的是，已知，则下列不等式中成立的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求出集合，再根据补集的定义计算可得.
【详解】因为，
又全集，所以.
故选：C
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定形式即可得到答案.
【详解】根据全称命题的否定为特称命题知：
命题“，”的否定是“，，”
故选：A.
3．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数有意义列出不等式即可求解.
【详解】的定义域需满足，
解得且，
故定义域为
故选：C
4．命题，命题，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解不等式可得，，根据集合间的包含关系结合充分条件与必要条件的定义即可求解.
【详解】由，可得，解得，故命题.
由，可得，记得，故命题.
因为x−1≤x≤3，
所以是成立的必要不充分条件.
故选:B.
5．设函数的零点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合函数单调性以及零点存在定理即可得解.
【详解】由题意函数与函数均单调递增，所以函数也单调递增，且，
所以由零点存在定理可知函数的零点.
故选：B.
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．
【详解】由，得，所以函数的定义域为，
因为，所以函数为偶函数，故排除AC；
又，故排除D.
故选：B.
7．已知函数，则函数单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指数型复合函数的单调性求解.
【详解】令在单调递增，单调递减，
所以函数在单调递减，单调递增，
故选:C.
8．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由对数函数、指数函数、的单调性，可以得到，可得到大小关系
【详解】，，，则，
所以，
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．以下函数是偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，的定义域为，，
所以是偶函数，符合题意.
B选项，，的定义域为，
，所以不是偶函数.
C选项，，
，所以不是偶函数.
D选项，的定义域为，
，所以是偶函数.
故选：AD
10．已知，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】利用指数函数的单调性判断A，根据不等式的性质判断B，利用作差法或者特例法判断C，利用不等式性质判断D.
【详解】对于A：因为，所以，
又函数单调递增，所以，错误；
对于B：因为，所以，正确；
对于C：，因为，所以，
但是的正负号不确定，所以与大小不确定，
例如时，，错误；
对于D：由得，则，正确；
故选：BD
11．定义在R上的函数满足，当时，，则满足（ ）
A．B．是奇函数
C．在上有最大值D．的解集为
【答案】BCD
【分析】令，可得，.进而令，，即可结合已知判断A项；令代入，即可得出B项；根据已知结合奇函数的性质得出，进而即可得出函数的单调性；根据已知列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】对于A项，令，可得，，所以.
又时，，所以.
令，，则有，
所以，.故A错误；
对于B项，由A知，.
令，则有，
所以，
所以，是奇函数.故B正确；
对于C项，，
则.
因为，所以，，
所以，，，
所以，为R上的减函数.
所以，在上有最大值.故C正确；
对于D项，根据奇函数的性质可知，时，.
又，当时，，
所以由可得，，解得，
所以，的解集为.故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．函数（且）的图象必经过定点，则 .
【答案】
【分析】利用，求出的值，即可求解.
【详解】令过，
.
故答案为:.
【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题.
13．方程的解为 ．
【答案】43/113
【分析】由对数运算性质可得答案.
【详解】由题，.
故答案为：.
14．已知函数是定义域为的偶函数，当为两个不相等的正实数时，恒成立，若，，则不等式的解为
【答案】
【分析】由题意可得，构造函数，利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可.
【详解】设，则，，
由，得，
，即.
设，则在上单调递增，
又为定义域为的偶函数，所以，
得，则为上的奇函数，
所以在上也单调递增.
由，得，
由，得，
当时，由，得，即，
解得；
当时，由，得，即，
解得，
所以的解集为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由变形为，构造出函数，利用函数的单调性、奇偶性解不等式也是关键点.
四、解答题
15．（1）计算：
①；
②.
（2）解不等式：
③；
④．
【答案】（1）①20 ②;
（2）③④
【分析】（1）①根据指数幂的运算化简求值，②根据对数的运算法则求解；
（2）③由指数函数的单调性解不等式即可，④根据对数函数的单调性求解.
【详解】（1）①
.
②.
（2）③由可得；，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
④由可得：，
所以，即，
所以或，
解得或，
所以不等式的解集为.
16．设集合，．
(1)若时，求，；
(2)，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由求出集合，即可根据集合的交，并，补运算得出答案；
（2）由判断集合的范围列不等式解出答案.
【详解】（1）因为，所以，
则，或，
则；
（2）因为
则或或，
解得：，
故的取值范围为.
17．中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.
(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式；
(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.
【答案】(1)
(2)产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元
【分析】（1）由分段代入计算即可得.
（2）借助一次函数、二次函数的性质与基本不等式计算每段的利润最大值即可得.
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，，
所以的函数解析式为.
（2）当时，，
当时，，当且仅当时取等号，
当时，，当且仅当，即时取等号，则，
而，所以当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元.
18．已知幂函数为偶函数.
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集；
(3)若在区间上不单调，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】（1）利用幂函数的定义及性质求出参数值即可.
（2）由（1）的结论，求出不等式，再利用分类讨论求解即得.
（3）利用二次函数性质列式求解即得.
【详解】（1）由为幂函数，得，解得或，
时，为奇函数，舍去；时，为偶函数，符合题意，
所以.
（2）由（1）知，原不等式化为，即，
当时，解得；
当时，不等式为，解得或；
当时，不等式化为，
当时，解得；
当时，不等式无解；
当时，解得，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
（3）函数在上不单调，则有，解得，
所以实数的取值范围是.
19．已知函数是定义在R上的奇函数.
(1)求的值；
(2)已知函数在上单调递增；
①判断在上的单调性（直接写结果，无需证明）；
②对任意，不等式恒成立时，求的取值范围；
(3)设函数，求在上的最小值.
【答案】(1)
(2)①单调递增；②
(3)
【分析】（1）根据题意得到，得到方程，求出；
（2）①根据函数的奇偶性和上的单调性，求出在上单调递增；
②根据函数奇偶性和单调性得到不等式，求出，根据根的判别式得到不等式，求出；
（3）令，换元得到，，根据单调性求出最值.
【详解】（1）函数是定义在R上的奇函数，
，即，解得.（经检验满足题意）.
（2）①函数在上单调递增，理由如下：
因为在单调递增，又为奇函数，
故函数在上单调递增；
②函数在R上单调递增，且为奇函数，
等价于
对任意，不等式恒成立，
即，对任意恒成立，即，
，解得，
的取值范围是.
（3）令，则，
当，时，.
，，
，，
二次函数开口向上，对称轴为，
在区间上单调递增，
，
即在上的最小值为.