浙江省温州市鹿城区2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份浙江省温州市鹿城区2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如果一个三角形的两边长都是6，则第三边的长不能是( )
A. 3B. 6C. 9D. 13
3.如果，下列各式中不正确的是( )
A. B. C. D.
4.下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是( )
A. B. C. D.
5.将不等式组的解集表示在数轴上，下列正确的是( )
A. B.
C. D.
6.中，，，所对的边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是( )
A. B. ，，
C. ：：：4：5D.
7.将一副三角板按如图位置摆放，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，使再分别以点D、E为圆心，大于两弧在内交于点F，作射线AF交边BC于点G，若，，则的面积为( )
A. 12B. 16C. 24D. 32
9.如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是( )
A. 70
B. 74
C. 144
D. 148
10.如图，BD是的角平分线，，，，P，Q分别是BD和BC上的任意一点；连接PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：
①；
②；
③的最小值是；
④若PA平分，则的面积为
其中正确的是( )
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.命题“两直线平行，内错角相等”的题设是______，结论是______.
12.在中，，，，点D是AB的中点，则______.
13.已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为______.
14.如图，在中，，，点D，E分别在AB，BC上，连结CD，DE，若，，，则BE的长为______.
15.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，沿CE折叠得到，且点B，F，E三点共线，连接DF，若，，则______，______.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.如图，是等边三角形，E，F分别是边AB，AC上的点，且，且CE，BF交于点P，且，垂足为
求证：：
若，求EP的长度．
四、解答题：本题共8小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题4分
“x与7的和大于2”用不等式表示为______.
18.本小题8分
解不等式：
；
19.本小题8分
解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解.
20.本小题8分
如图，在中，
用直尺和圆规作BC的中垂线，交AB于点要求保留作图痕迹；
连接CD，若，，求的周长.
21.本小题8分
如图，点E，F在BC上，，，
证明：≌；
若，求的度数.
22.本小题8分
已知关于x的方程的解为负数.
求a的取值范围；
已知，且，求的取值范围.
23.本小题8分
为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过对市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元．
求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？
该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号垃圾箱的方案有哪些？
24.本小题8分
如图，于点E，连结AB，CD，，，点P在线段AB上运动时不与A，B重合，点Q在线段AC上，满足，连结当P为AB中点时，Q恰好与点E重合．
求AC的长．
若，P运动到AB中点时，求证：直线
连结BQ，当是等腰三角形时，请写出所有符合条件的AP的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A，C，D都不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：
根据轴对称图形定义进行分析即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得：
，
解得：，
只有13不适合，
故选：
首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得，再解不等式即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
3.【答案】C
【解析】解：，
两边同时减去4，不等号方向不变，正确，故选项A不符合题意；
B.，
两边同时乘以，不等号方向改变，正确，故选项B不符合题意；
C.，
两边同时减去1，不等号方向不变，错误，故选项C符合题意；
D.，
两边同时除以3，不等号方向不变，正确，故选项D不符合题意．
故选：
根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：用来证明命题“若，则”是假命题的反例可以是：，
，但是，正确；
故选：
根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
5.【答案】A
【解析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
解：不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故选：
本题考查了解不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能正确在数轴上表示出不等式组的解集是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、，
，即是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，，，
，
，即是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、：：：4：5，
最大角，
是直角三角形，故本选项符合题意；
D、，，
，即是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：
根据勾股定理的逆定理即可判断A和B；根据三角形的内角和定理即可判断C和
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能灵活运用定理进行计算和推理是解此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：，，
，
又，
，
故选：
由题意得：，，利用平角等于，可得到的度数，在中，利用三角形内角和为，可以求出的度数．
此题主要考查了三角形的内角和定理的应用，题目比较简单，关键是要注意角之间的关系．
8.【答案】B
【解析】解：如图，作于M，如图所示：
由尺规作图可知，AG是的角平分线，
，，
，
的面积为：
故选：
根据尺规作图可知AG是的角平分线，进而得，再由三角形的面积公式即可得出答案．
本题主要考查了角平分线的性质，尺规作图，三角形的面积，理解角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握尺规作图，三角形的面积公式是解决问题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出≌，难度适中．
过A作直线b于M，过D作直线c于N，求出，，，根据AAS推出≌，根据全等得出，求出，，在中，由勾股定理求出即可．
【解答】
解：如图：
过A作直线b于M，过D作直线c于N，
则，
直线直线c，直线c，
，
四边形ABCD是正方形，
，，
，
在和中
≌，
，
与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，
，，
在中，由勾股定理得：，
即正方形ABCD的面积为74，
故选：
10.【答案】B
【解析】解：①，BD是的角平分线，
，，
垂直平分AC，
，
，
，
，故①正确；
②，
，，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
③根据解析①可知，，
当最小时，最小，
过点A作于点M，如图所示：
当点P在AM与BD交点上时，，此时最小，且最小值为AM，
平分，
，，
，
，
，
即的最小值是，故③错误；
④过点P作于点N，如图所示：
平分，，
，
，
，
，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④，故B正确．
故选：
①根据等腰三角形的性质得出BD垂直平分AC，得出，根据三角形三边关系即可得出结论；
②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明，，得出，，即可得出结论；
③过点A作于点M，当点P在AM与BD交点上时，，此时最小，且最小值为AM，根据等积法求出AM即可；
④过点P作于点N，得出，求出，即可求出结果．
本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，垂线段最短，垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质．
11.【答案】两条平行线被第三条直线所截；内错角相等
【解析】解：题设：两条平行线被第三条直线所截；结论：内错角相等．
命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论．
要根据命题的定义来回答．
12.【答案】
【解析】解：如图，在中，
，，，
，
点D是AB的中点，
故答案为：
利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质即可得出答案．
本题考查了直角三角形斜边中线的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：不等式整理得：，
不等式组无解，
，
解得：
故答案为：
不等式整理后，根据无解确定出a的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式组，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
和，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：
先证和，得，再由勾股定理得，则，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明和是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设CE交DF于H，如图：
设，，
沿CE折叠得到，
，，，
，
，
在中，，
①，
在中，，
②，
①-②得：，
解得或舍去，
，，
；，
沿CE折叠得到，
，，
，
，
；
故答案为：，
设CE交DF于H，，，在中，①，在中，②，①-②得：，可解得，，故；，根据面积法有，故
本题考查矩形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，矩形性质及应用，解题的关键是掌握翻折前后的对应线段相等，对应角相等．
16.【答案】证明：是等边三角形，
，，，
在与中，
，
≌，
；
解：由知，
又，
，
，
，即，
，
在中，，
，

【解析】证明≌，即可得到；
利用由知，求出，又，即，得到，根据在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，可求出EP 的长．
本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、直角三角形的性质，解决本题的关键是证明≌
17.【答案】
【解析】解：“x与7的和大于2”用不等式表示为，
故答案为：
根据题意，可以用不等式表示出x与7的和大于
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
18.【答案】解：移项得：，
合并得：，
解得：；
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：
【解析】不等式移项，合并，把x系数化为1，即可求出解集；
不等式去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
19.【答案】解：，
解①得：，
解②得：，
不等式组的解集为，
该不等式组的非负整数解为或
【解析】先分别求出每个不等式的解集，然后求出整个不等式组的解集，最后从中筛选出非负整数解即可．
本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
20.【答案】解：如图所示：
直线MN即为所求；
由可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，
，
的周长为，
，，
的周长为
【解析】直接利用线段垂直平分线的作法得出直线MN；
利用线段垂直平分线的性质得出的周长为，进而得出答案．
本题考查基本作图以及线段垂直平分线的性质与作法，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
21.【答案】证明：，
即
在和中，
，
≌；
解：由知≌，
，且，

【解析】求出，结合，，得到≌；
根据全等三角形的性质得到，根据，得到
本题考查了全等三角形的判定和性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
22.【答案】解：解关于x的方，
得，
因为解为负数，
所以，
解这个不等式，得，
所以a的取值范围是；
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，

【解析】先解出关于x的方程的解，再根据解是负数列出不等式，解关于a的不等式即可；
变形，把第一问的结果代入，即可．
本题是解一元一次不等式，正确记忆相关知识点是解题关键．
23.【答案】解：设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元．
依题意，得：，
解得：
答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元；
设购买m个B型垃圾箱，则购买个A型垃圾箱．
依题意，得：，
解得：
又m为整数，m可以为5，6，7，
有3种购买方案：方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱；
方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱；
方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱．
【解析】设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买B型垃圾箱m个，则购买A型垃圾箱个，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元”列出不等式组，求出m的范围，可得出答案．
本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找准数量关系，正确列出二元一次方程组与不等式组．
24.【答案】解：如图1，于点E，
，
，，
，
当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，且，
，
，
的长是
证明：由已知得，当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，
如图1，延长PE交CD于点F，
，P为AB中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
解：当是等腰三角形，且时，如图2，
，，
，
，
，
；
当是等腰三角形，且时，如图3，
，且，，，
，
，
，
；
垂直平分AC，
若点Q与点C重合，则，
点P不与B重合，且，
点Q不与点C重合，
不存在的情况，
综上所述，AP的长为或
【解析】先由，，根据勾股定理求得，再由P为AB中点时，Q恰好与点E重合，得，即可求得；
当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，延长PE交CD于点F，则，可推导出，则，即可证明，即；
分三种情况，一是，则，得；二是，由，且，，得，则，得；三是由BD垂直平分AC可得，若点Q与点C重合，则，但点P不与B重合，则点Q不与点C重合，所以不存在的情况．
此题重点考查勾股定理的应用、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形的判定、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．