山东省济宁市邹城市2024-2025学年高二上学期11月期中教学质量检测数学试题 Word版含解析

2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高二数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在”贴条形码区”.2.作选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.3.非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.否则，该答题无效.4.考生必须保持答题卡的整洁；书写力求字体工整、符号规范、笔迹清楚.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1. 已知空间两点，则两点间的距离是（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 9【答案】B【解析】【分析】由距离公式计算．【详解】由题意，故选：B．2. 若直线经过点，则直线的斜率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据斜率公式计算．【详解】由题意，故选：D．3. 甲、乙两人比赛下棋，下成和棋的概率是，甲获胜的概率的是，则乙不输的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析可得乙不输与甲胜是对立事件，再由对立事件的概率和为1求解即可；【详解】乙不输与甲胜是对立事件，则乙不输的概率是，故选：C.4. 已知直线与圆相交于两点，则（ ）A. B. 4 C. D. 2【答案】A【解析】【分析】利用几何法即可求得弦的长.【详解】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，则弦的长故选：A5. 已知空间三点，则点到直线的距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先表示出，，再根据点到直线的距离计算可得.【详解】因为，所以，，则，，所以点到直线的距离.故选：D6. 甲、乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每个人从第2层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和为9的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出样本空间包含的样本点个数，所求事件包含的样本点个数，再用古典概型概率计算公式求解即可.【详解】将甲乙两人离开电梯的楼层数配对，组成种等可能的结果，用表格表示如下：记事件“甲乙两人离开电梯的楼层数的和是9”，则事件A的可能结果有6种，即，所以事件A的概率为：，故选：C.7. 在正三棱柱中，为棱的中点，与交于点，若，则与所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接，取中点，连接，证明是与所成的角或其补角，设，解三角形可得．【详解】连接，取中点，连接，则，，所以是与所成的角或其补角，正棱柱中所有侧棱都与底面上的任意直线垂直，设，则，所以，，等边三角形中，，，，在等腰中，，,中，,所以与所成角的余弦值是，故选：B．8. 若过直线上一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用圆的几何性质，将化为，再求得两点间距离的最小值，进而求得的最小值.【详解】圆的圆心，半径四边形中，，则，整理得，又， PC最小值即为圆心到直线的距离，则故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 设直线的交点为，则（ ）A. 恒过定点0,2B. C. 的最大值为D. 点到直线的距离的最大值为5【答案】ABD【解析】【分析】由直线过定点即可判断A，由两直线垂直列出方程即可判断B，联立两直线方程求出交点坐标，代入计算即可判断C，结合题意可知点到直线的距离的最大值即为点到定点0,2的距离，即可判断D.【详解】对于选项A，因为直线，即，令，解得，所以恒过定点0,2，故A正确；对于选项B，因为直线满足，所以，故B正确；对于选项C，联立两直线方程，解得，所以，则，令，则，所以，且在上单调递增，当时，，所以，故C错误；对于选项D，由A可知，直线恒过定点0,2，则点到直线的距离的最大值即为点到定点0,2的距离，即，故D正确；故选：ABD10. 某学校数学、物理两兴趣小组各有3名男生、3名女生，假设物理兴趣小组的3名女生为甲、乙、丙，现从数学、物理两兴趣小组各随机选出1名同学参加比赛.设事件为“从数学兴趣小组中选出的是男生”；事件为“从物理兴趣小组选出的是女生乙”；事件为“从两兴趣小组选出的都是男生”；事件为“从两兴趣小组中选出的是1名男生和1名女生”，则（ ）A. B. C. 与相互独立 D. 与互斥【答案】BC【解析】【分析】由古典概率可得A错误；由古典概率和相互独立事件的概率可得B正确；由相互独立事件的概率关系可得C正确；由互斥事件的性质可得D错误；【详解】A，由题意可得，故A错误；B，由题意可得，故B正确；C，由题意可得，，所以与相互独立，故C正确；D，事件与可能同时发生，所以不互斥，故D错误；故选：BC.11. 已知正方体的棱长为2，点满足，其中，则（ ）A. 存在唯一点，使得平面B. 存在唯一点，使得平面C. 当时，点到平面的距离的最小值为D. 当时，三棱锥的体积的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】以为原点，所在方向分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，由平面，利用向量法可得，从而得唯一确定，即可判断A；由平面，可得，从而得不唯一，即可判断B；找出点的轨迹，结合由等体积法判断C，D.【详解】解：以为原点，所在方向分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，如图所示： 则对于A，因为，所以，，所以，又因为，，设平面的法向量为，则，所以，取，则，又因为平面，所以，所以，所以，唯一确定，故正确；对于B，因为，要使平面，则，所以，所以，故点不唯一，故错误；对于C，因为，所以三点共线， 因为,设点到平面的距离为，则有，所以，设到的距离为，则，当与重合时，，所以，故C正确；对于D，因为，所以点在以为圆心，为半径的圆弧上， 设到的距离为因为，当点位于圆弧中点时，.所以，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：利用空间向量解决空间角度、距离及位置关系是常用方法.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 若实数满足方程，则的最小值为___.【答案】【解析】【分析】将转化为，进而求得的最小值.【详解】由实数满足方程，可得，则，则的最小值为.故答案为：13. 某商场调查500名顾客的满意度情况，得到的数据如下表：若，则满意的顾客中男性顾客不少于女性顾客的概率为________.【答案】【解析】【分析】由题意可知，写出样本空间包含样本点，然后写出“满意的顾客中男性顾客不少于女性顾客”事件的样本点，最后计算概率即可.【详解】由题可知：，又因为，所以样本空间包含样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，设“满意的顾客中男性顾客不少于女性顾客”为事件，则事件包含的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，所以，所以满意的顾客中男性顾客不少于女性顾客的概率为.故答案为：.14. 已知正四棱柱为对角线的中点，过点的直线与长方体表面交于两点，为长方体表面上的动点，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由，求出的最大值和最小值后即可得．【详解】为的中点，即为正四棱柱的中心，由对称性，为的中点，则，，，，所以，所以，故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，长方体中，，设.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求两个平面所成角的余弦.【小问1详解】连接，设，连接，如图：则，且，所以四边形是平行四边形，所以平面平面故平面.【小问2详解】以为坐标原点，方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，，.设平面的法向量n=x,y,z，则，即令，解得，设平面的一个法向量，则，即令，解得，.设平面与平面的夹角为，故平面与平面夹角的余弦值为.16. 在某电视民间歌手挑战赛活动中，有4位民间歌手参加比赛，由现场观众投票选出最受欢迎的歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选2名歌手.其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另外在其他歌手中随机选1名；观众乙、丙对4位歌手没有偏爱，因此，乙、丙在4名歌手中随机选2名歌手.（1）求观众甲选2号歌手且观众乙未选2号歌手的概率；（2）设3号歌手得到观众甲、乙、丙的选票数之和为，求的概率.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由独立事件的乘法公式计算即可；（2）设事件A，B，C分别表示“观众甲、乙、丙选3号歌手，由题意得到，，再由独立事件乘法公式计算即可；【小问1详解】设事件D表示“观众甲选2号歌手且观众乙未选2号歌手”，观众甲选2号歌手的概率为，观众乙未选2号歌手的概率为，从而，故观众甲选2号歌手且观众乙未选3号歌手的概率为，【小问2详解】设事件A，B，C分别表示“观众甲、乙、丙选3号歌手”，由题意得：，，所以故的概率为.17. 已知直线经过直线的交点，且A3,2､两点到直线的距离相等.（1）求直线的一般式方程；（2）若点在直线的同侧，且为直线上一个动点，求的最小值.【答案】（1）或 （2）【解析】【分析】（1）分类讨论所求直线与直线平行或过的中点，结合直线点斜式方程运算求解；（2）求点关于直线的对称点为，结合几何性质可得，即可得结果.【小问1详解】由，解得，所以交点①当所求直线与直线平行时，直线的斜率为，则所求直线的方程为，即；②当所求直线过的中点时，线段的中点坐标为1,0，则所求直线垂直于轴，故所求直线方程为，即；综上所述，所求直线方程为或.【小问2详解】因为点在直线的同侧，所以直线的方程为，设点关于直线的对称点为，则，解得，即点，因，当三点共线时等号取到，故最小值为.18. 如图，在矩形中，，沿将折起，点到达点的位置，使点在平面的射影落在边上.（1）证明：；（2）求点到平面的距离；（3）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证平面，即可证明；（2）根据题意，作，垂足为，由线面垂直的判定定理可得平面，即可得到点到面的距离；（3）点为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及线面角的公式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由点在平面的射影落在边上可得：平面，又平面，所以，又，且平面平面，所以平面，又平面，故.【小问2详解】作，垂足为，由已知得：且平面平面，从而平面，且平面，所以平面平面，又平面，平面平面，所以平面，即即为点到平面的距离，在直角三角形中，，所以，故点到平面的距离为.小问3详解】在直角三角形中可得，，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，所以，从而，易知，设平面的一个法向量为n=x,y,z，所以，解得：，又直线的方向向量为，因此可得故直线与平面所成角的正弦值为.19. 在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上.（1）求圆的标准方程；（2）设为圆的动弦，且不经过点，记分别为弦的斜率.（i）若，求面积的最大值；（ii）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1） （2）（i），（ii）过定点，【解析】【分析】（1）设出圆的标准方程，代入已知条件求解；（2）（i）由得，是直径，由基本不等式可求得面积的最大值；（ii）设直线的方程为，代入圆方程，应用韦达定理得，代入，得出关系，然后观察直线方程可得定点坐标．【小问1详解】设圆的标准方程为，由已知可得：解得：，所以圆的标准方程为【小问2详解】（2）（i）因为，所以，从而直线经过圆心，是直角三角形，且，设，则，又，所以，当且仅当时取等号，所以.（ii）由已知得：直线的斜率必存在，设直线方程为，由，消去得：，，（※）又，即，代入（※）得：，即，解得：，或，当时，此时直线的方程为，过定点（舍去），.当时，此时直线的方程为，过定点，故当，动弦过定点. 甲乙234567234567不满意一般满意女性2564男性1536