湖南省2023_2024学年高二数学上学期11月期中联考试题含解析

班级：______姓名：______准考证号：______（本试卷共6页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，将答题卡上交．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据交集结果得到，从而得到不等式，求出实数的取值范围.【详解】由可得，所以且，解得.故选：B．2. 若是虚数单位，复数的共轭复数是，且，则复数的虚部等于（）A. B. 3 C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算先求出，找到的虚部即可.【详解】易得，所以，虚部为，故选：D．3. 平面内顺次连接，，，，所组成的图形是（）A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】利用向量得到⊥，，且，故得到四边形为直角梯形.【详解】因为，，，因为，所以⊥，又，故，且，所以四边形为直角梯形.故选：B．4. 已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（）A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条【答案】C【解析】【分析】分别研究位于直线同侧以及位于直线两侧时的情况，即可得出答案.【详解】当位于直线同侧时，只有时，且两平行线之间的距离为时，满足条件，这样的直线有2条；又，所以位于直线两侧时，只有当直线恰为直线的中垂线时，满足条件，此时的直线有1条.综上所述，满足条件的直线共有3条.故选：C．5. 已知，则（）A. 0 B. 4 C. D. 4046【答案】B【解析】【分析】化简后得到，从而求出结果.【详解】，定义域为R，其中，故.故选：B6. 一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求出关于的对称点，然后根据两点式求解直线方程即可；【详解】设关于的对称点为，则有，解得：，即，反射光线所在直线为，整理得：故选：B．7. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则点到轴的距离为（）A. B. C. 3 D. 【答案】A【解析】【分析】首先求得点B的坐标，然后根据距离公式求解点到轴的距离.【详解】因为点关于轴的对称点为，所以，所以点到轴的距离，故选：A．8. 已知为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左、右焦点，的内切圆圆心为，过做，垂足为，下列结论错误的是（）A. 的横坐标为 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合双曲线的定义进行判断．【详解】设的内切圆在，，上得切点分别为，，．设切点的坐标．因为．所以，因为，的横坐标为，A正确；，所以B正确；延长交于点，因为为的角平分线，且，故．所以，所以，所以C正确．，D错．故选：D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（）A. 与是共线向量B. 与同向的单位向量是C. 在方向上的投影向量是D. 与的夹角为【答案】BC【解析】【分析】利用共线向量的定义可判断A选项；利用与同向的单位向量是可判断B选项；利用投影向量的定义可判断C选项；利用空间向量数量积的坐标运算可判断D选项.【详解】已知空间中三个向量，，，对于A选项，因为，故、不共线，A错；对于B选项，与同向的单位向量是，B对；对于C选项，在方向上的投影向量是，C对；对于D选项，因为，则、不垂直，D错.故选：BC．10. 设函数，给出下列命题，正确的是（）A. 的图象关于点对称B. 若，则C. 把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象D. 在内使的所有的和为【答案】ACD【解析】【分析】对原函数使用辅助角公式.对于A选项，根据对称中心的定义即可；对于B选项，和一个为函数的最大值，一个为最小值即可求解；对于C选项，求出，根据偶函数的定义即可；对于D选项，令，求出在的根即可.【详解】．A：当时，，经检验是它的一个对称中心，故A正确；B：若，则和一个为函数的最大值，一个为最小值，∴，故B错误；C：的图象向左平移个单位长度得到，为偶函数，故C正确；令，∵，∴，在的根分别为：，，，，则有，，，，在内使的所有的和为：，故D正确．故选：ACD．11. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则下列说法正确的是（）A. 圆上有且仅有一个点到直线的距离等于1B. 四边形面积的最小值为1C. 当为等边三角形时，点的坐标为D. 直线过定点【答案】BD【解析】【分析】根据圆心到直线的距离，判断A错误；由切线的性质可得四边形面积是面积的两倍，可判断B正确；根据点位于以原点为圆心，半径为2的圆上，联立两圆方程可判断C错误；先根据两圆公共弦方程求得直线的方程为，结合可得定点坐标，即可判断D正确．【详解】选项A：圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，又因为．所以圆上有两个点到直线的距离等于1，故A错误；选项B：由切线的性质知，为直角三角形，，最小值为，四边形面积是面积的两倍，最小值为1，故B正确；选项C：当为等边三角形时，，则点位于以原点为圆心，半径为2的圆上，故，联立与得：，解得：或0，故点的坐标为和，故C错误；选项D：设点，，，所以四点，，，共圆，为直径，圆心为，半径，所以圆的方程为，又圆，两圆相减得，所以直线的方程为，因为点在直线上，所以，，所以，整理得由，得，所以直线过定点，故D正确．故选：BD．12. 如图，正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，是其表面上的一个动点，则下列说法正确的是（）A. 当在表面上运动时，三棱锥的体积为定值B. 当在线段中点时，平面截正方体所得截面的面积为C. 当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是D. 使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为【答案】BCD【解析】【分析】求出三棱锥的底面积和高即可判断A项；作出截面图形即可判断B项；建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用向量关系即可确定点坐标满足的关系，从而可求长度的表达式，进而判断C项；分在各个面内讨论，可判断D项.【详解】选项A：当在表面上运动时，由于的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长，所以三棱锥的体积不变，且，所以A错误；选项B：由平面在两平行平面上的交线互相平行，取的中点，的中点，的中点，连接，，，，延长，一定与交于一点，所以，，，四点共面，同理可证，，，四点共面，则过点，，作正方体的截面，截面为正六边形，边长为，设正六边形对角线交点为，则正六边形的面积为，故B正确；选项C：当在底面上运动，以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，可得，，，，，，设，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，取，可得，，所以，因为平面，所以，可得，所以，当时，等号成立，所以C正确；选项D：因为直线与平面所成的角为45°，由平面，得直线与所成的角为45°，若点在平面和平面内，因为，，故不成立；若点在平面内，此时点的轨迹是；若点在平面内，此时点的轨迹是；若点在平面时，作平面，如图所示，因为，所以，又因为，所以，所以，所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点的轨迹的长度为，综上，点的轨迹的总长度为，所以D正确；故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为______．【答案】【解析】【分析】由，可得，结合，不共线，列方程组求解即可.【详解】由，，三点共线，可得，又，，则，又，不共线，则，解得．故答案为：．14. 已知双曲线，，是其两个焦点，点在双曲线上，若，则的面积为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，得到为直角三角形，得到，再由双曲线的定义，得到，联立方程组，求得，结合面积公式，即可求解.【详解】由双曲线，可得，则，所以双曲线焦距为，因为，为直角三角形，可得，又因为，可得，即，解得，所以面积为．故答案为：．15. 设，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，的最小值为______．【答案】．【解析】【分析】求出两直线所过定点坐标，由两直线垂直得点轨迹是圆，设的中点为，由向量加法法则得，由圆的性质得点轨迹也是圆，圆心为原点，利用两圆心距可得两圆上两点间距离的最小值，从而得出结论．【详解】变形得到，令，解得，从而，变形得到，令，解得，从而，由，由勾股定理得，点的轨迹为以为直径的圆，其中线段的中点坐标为，半径为，点轨迹方程为，圆的圆心为，半径为3，设的中点为，由垂径定理得，故点的轨迹方程为，因为点轨迹方程为，则的最小值为圆心距减去两半径，即，其中，所以的最小值为．故答案为：．16. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则最小值等于______．【答案】【解析】【分析】利用椭圆、双曲线的定义及性质，结合勾股定理可得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】设椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，，为两曲线在第一象限的交点，为两曲线在第三象限的交点，如图，由椭圆和双曲线定义与对称性知，，四边形为平行四边形，，，而，则，因此，即，于是有，则，，所以，当且仅当，时取等号．故答案为：四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合余弦定理即可求解，（2）由面积公式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得，整理得，∴，由，∴；【小问2详解】①，又②，由①②得，，∴．18. “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会优质平台．某市宣传部门为了解市民利用“学习强国”学习国家政策的情况，从全市抽取100人进行调查，统计市民每周利用“学习强国”的时长，并按学习时间（单位：小时）的长短分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示：（1）试估计这100名市民学习时间的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值代表，结果保留两位小数）；（2）现采用分层抽样的方法在学习时长位于和的市民中共抽取5人参加学习心得交流会，再从这5人中选2人发言，求发言者中恰有1人是学习时长在上的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据中位数的计算公式即可求解，（2）根据抽样比可计算各个层所抽取的人数，即可利用列举法求解所有基本事件，由古典概型的概率公式即可求解.【小问1详解】学习时间位于上的市民数为：；同理可得学习时间位于，，，，上的市民数分别为：15，20，30，15，10，∵，，∴100名市民学习时间的中位数为．【小问2详解】的市民频率为0.15，市民频率为0.1；由分层抽样可得的市民有人，的市民有人，将的市民分别记为，，，的市民分别记为，，则这5人中选2人的基本事件有：，，，，，，，，，共10种，其中事件发言者中恰有1人是学习时长在包含的基本事件有：，，，，，，共6种；所以事件发言者中恰有1人是学习时长在上的概率19. 已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的、两点．（1）求抛物线的方程；（2）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．【答案】（1）（2）过定点【解析】【分析】（1）将点代入抛物线方程，可得，从而可得答案；（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，由数量积公式结合韦达定理可得，进而可得答案.【小问1详解】由题意可知，将点代入抛物线方程，可得，解得，则抛物线方程为．【小问2详解】因为，直线与抛物线相交于不同的、两点，所以直线不与x轴平行，可设，与联立，得，设，，∴，．由，解得，∴过定点．20. 若圆的圆心在上，且圆与直线切于点．（1）求圆的标准方程；（2）已知点，，若为圆上任意一点，求的最大值并求出取得最大值时点的坐标．【答案】（1）（2）最大值为53，的坐标为【解析】【分析】（1）根据圆心在直线上，结合相切，即可求解圆心和半径，（2）方法一，利用三角换元，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解最值，方法二，利用坐标法可将问题转化为圆上的点到点距离的平方的最值，即可联立直线与圆的方程求解坐标．【小问1详解】设圆心，由于直线与圆相切于点，所以，故，，所以圆的标准方程为【小问2详解】方法一：设，则，其中，，所以，当时，的最大值为53．此时，，，，，所以．方法二：设，则，∴．又，所以，因为表示圆上的点到点距离的平方．易得，的最大值为，所以的最大值为53．此时，，和三点共线，且，位于两侧时，直线方程，联立直线与可得，解得或（舍去），则故的坐标为．21. 如图，和所在平面互相垂直，且，，为的中点．（1）证明：；（2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）或【解析】【分析】(1) 取中点，连接，，用线面垂直的判定定理即可证得；(2) 为原点，，，为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，代入公式即可求得的值.【小问1详解】取中点，连接，，易得，得，所以．又∵，∴，又∵，又因为平面，平面∴平面∴．【小问2详解】过点作于点，连接，∵平面平面，平面平面，，∴平面，由，可得，∴，，两两垂直．以为原点，，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．设，则，，，，，∴，，设为平面法向量，得，得，令，得，，化简得解得或22. 过圆上任意一点，作轴于点，点满足．（1）求点的轨迹的方程；（2）若直线与圆相切，且与曲线交于，两点，，是圆上位于两边的两个动点．求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设点为且，根据题意，得到且，代入圆的方程，即可求解；（2）设，根据与圆相切，得到，联立方程组，结合圆的弦长公式求得，分、和斜率不存在时，求得，进而求得四边形面积的最大值.【小问1详解】解：设点为所求轨迹上的任意一点，且，因为，可得，则，又因为，可得且，因为，所以的轨迹的方程：.【小问2详解】解：当的斜率存在时，设，因为与圆相切，可得，整理得，又由，整理得，设，，则，，则当时；当时，，当斜率不存在时，，因为是圆上位于两边的两个动点，设到的距离，到的距离，则的最大值为，所以四边形面积的最大值为.