内蒙古鄂尔多斯市东胜区2024—2025学年九年级上学期期中质量检测数学试题

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考生须知
1．本试卷共8页，有三道大题，21道小题．满分100分，考试时间90分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号填写在答题纸上相应的位置，并认真核准条形码上的座位号及姓名，在规定的位置贴好条形码．
3．试题答案一律填涂或书写在答题纸规定的位置上，在草稿纸、本试卷上作答无效．
4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
一、单项选择题（本大题8个小题，每小题3分，共24分）
1．2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器成功着陆，实现世界首次月球背面采样返回，这是我国建设航天强国、科技强国取得的又一标志性成果．下列是与中国航天事业相关的图标，其中可以看作是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．将抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
3．电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，第一周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若第三周累计票房的增长率是第二周累计票房的增长率的一半，设第二周的增长率为，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．抛物线（为常数）中，与的部分对应值如表：
下列结论中，正确的是（ ）
A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小D．抛物线的顶点坐标为
5．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为2米，则的半径长为（ ）
图1 图2
A．2米B．3米C．4米D．5米
6．如图，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则为（ ）
A．42°B．40°C．38°D．36°
7．在正方形网格中，以格点为圆心画圆，使该圆经过格点，并在圆弧上取点，连接，则的度数为（ ）
A．135°B．130°C．120°D．不确定
8．如图，四边形中，，则四边形的面积为（ ）
A．32B．34C．40D．50
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
9．若点与点关于原点对称，则点坐标为________
10．已知是方程的两个根，已知一根为1，则________．
11．如图，正五边形内接于为上的一点（点不与点重合），则的度数为________．
12．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，则的解集是________．
13．如图，为的直径，弦，点P是直径AB上一点，连接交于点，连接，若，则的长为________．
14．如图，在四边形中，平分，若，则CD的长为________．
三、解答题（本大题共7题，共58分．解答时要写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
15．（本题满分8分，每小题4分）
用适当的方法解下列方程：
（1）；（2）；
16．（本题满分7分）
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．
（1）画出绕原点O逆时针旋转得到的，并写出点的对应点的坐标；
（2）在（1）的旋转过程中，点B经过的路径长为________（结果保留）
17．（本题满分6分）
如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中水平的墙长为9米，竖直的墙长为6米，中间用平行于的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米．
（1）设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，所围矩形苗圃的面积为？
18．（本题满分8分）
阅读以下信息，探索完成任务．
19．（本题满分9分）
如图，为的直径，过圆外一点作的两条切线，切点分别为点，交的延长线于点，连接．
（1）与有怎样的位置关系？并说明理由；
（2）若，求的半径；
20．（本题满分10分）
如图，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点第一象限是抛物线上的一个动点．
图1 图2
（1）如图1，当点A的坐标为（时，
①求该拋物线的解析式；
②连接，当的面积最大时，求点D的坐标；
（2）如图2，当点D的横坐标是1，时，过点D作轴的平行线，交x轴于点M，过点F作轴的平行线交抛物线于点E，连接，求证：平分；
21．（本题满分10分）
在一次数学实践活动课上，老师了给一个，要求同学们利用旋转自己编题并解答：
图1 图2
（1）第一小组编题如下：
将绕点逆时针旋转得到，如图1，当点的对应点与点在同一直线上，若．求旋转角及BE的长
（2）第二小组受第一小组的启发，编题如下：
将中的线段AC绕点C逆时针旋转得到线段CD，当点A的对应点D与点在同一直线上时，如图2，过C作于E，取BD的中点M，若，将EM绕点M顺时针旋转得MN，连接．
求证：
请完成以上（1）和（2）的解答过程
2024-2025学年第一学期初三期中质量检测
数学答案（仅供参考）
一、选择题
1．A 2．D 3．B 4．C 5．D 6．B 7．A 8．C
二、填空题
9． 10．4 11． 12． 13． 14．
三、解答题
15．（1）解：．
或
（2）解：．
或
．
16．（1）画图
16．（2）
17．解：（1）
即
（2）当时
解得（舍去）
当x为5时矩形面积为．
18．解：任务一：
设应涨价x元
解得．（舍去）
（元）
答：该手工作品应该定价为50元．
任务二：设涨价x元，利润为y元．
当时
（元）
答：该手工作品应定价为60元时，可使指出的善款最多．
19．（1）解：，理由如下：
连接OD
，EB切于点
又弧弧
（2）解法一：
由（1）知
设半径为r．
在中
解得
的半径为3．
解法二：（给分参照证法一）
在中．
设半径分r，则．
解得
的半径为3
解法三：（给分参照证法一）
解得
的半径为3
20．解：（1）①把代入
，得
解得
②令，则
解得
当时，
设
把代入，得
过作轴交BC于点
设
当时，最大
当时，
（2）证明：的横坐标为1
．
又轴
平分．
21．（1）解：由旋转可得．
过点作于
在中
（2）由旋转可知
延长BN到F，使，连接．
是的中点
是的中位线
设，则．
又
证法二：（给分参照证法一）
取的中点为0．
连接．
是BD的中点
是的中位线
又
又
点在以为圆心的圆上
为直径
1
3
4
5
7
4
5
4
凤凰快讯1
“乐学雷锋好榜样，爱心义卖暖人心”凤凰中学举行义卖活动，同学们用自己的手工制作表达爱心，将义卖所获的所有利润全部捐给慈善机构，该手工作品的生产成本为30元/个．
凤凰快讯2
义卖一段时间后发现，当义卖价格为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上义卖价格每上涨1元，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1
若该学校要捐出善款8000元，且尽可能让更多的人参与献爱心活动，请问该手工作品应该定价为多少元？
任务2
请问该手工作品应该定价为多少元时，可使捐出的善款最多？