四川省南充市高坪中学2024-—2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份四川省南充市高坪中学2024-—2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题4分。共40分．）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、是分式方程，不符合题意；
B、原方程可化为是一元一次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、是二元二次方程，不符合题意．
故选：C
2. 若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
A. 1B. C. 1或D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程解的定义、一元二次方程的定义是解题的关键．将代入求出的值，需注意即可．
【详解】解：将代入
得，
解得或，
∵该方程一元二次方程，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3. 平移二次函数的图象，使其顶点落在第二象限，且顶点到轴的距离为2，到轴的距离为3，则平移后二次函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的平移，以及二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．根据题意得到顶点坐标为，即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得，顶点坐标为，
故平移后二次函数的解析式为．
故选C．
4. 杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个，5月份销售万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x（），则可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用5月份的销售量3月份的销售量该摆件销售量的月平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设该摆件销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5. 已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后通过增减性判断即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
∵，
∴是y随x的增大而增大，
是y随x的增大而减小，
又∵(﹣3，)比(1，)距离对称轴较近，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，找到对称轴，注意二次函数的增减性是解题的关键．
6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右侧
C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3
【答案】D
【解析】
【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7. 在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可．
本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键．
【详解】A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；
B. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；

C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；

D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即； 一致，符合题意，
故选D.
8. 已知，关于的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】可以将关于的方程的解为看作是二次函数与轴交点的横坐标，而与轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，即可以求出与，当函数值时，就是抛物线位于轴上方的部分所对应的的取值范围，再根据，做出判断．
【详解】解：关于的一元二次方程的解为，可以看作二次函数与轴交点的横坐标，
∵二次函数与轴交点坐标为，如图：
当时，就是抛物线位于轴上方的部分，此时，或；
又∵
∴；
∴，
故选A．
【点睛】考核知识点：二次函数和一元二次方程.数形结合分析问题是关键.
9. 关于x方程有实数根，则k的取值范围是（ ）．
A. B. 且
C. D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解、根的判别式等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
分和两种情况，分别根据一元一次方程的解和根的判别式解答即可．
【详解】解：分两种情况：
①当，则，即时，为一元一次方程，一定有实数根；
②，即时，为一元二次方程，则根的判别式，解得．
综上可得．
故选：C．
10. 抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤当是等腰三角形时，的值有个．其中正确的有个（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图像与系数的关系，二次函数与x轴交于点，，可知二次函数的对称轴为，即，可判断①；将A、B两点代入消去a得可得c、b的关系，可判断②；函数开口向下，时取得最小值，则时，可判断③；根据图像，设点D坐标为，运用勾股定理求出y，得到顶点D为，设顶点式，将代入即可判断④；由图像知，从而可以判断⑤．
【详解】解：抛物线交轴于，
抛物线对称轴为直线：
故①正确；
②∵交轴于，．
，
消去a得
故②错误；
∵抛物线开口向上，对称轴是
∴时，二次函数有最小值
∴时，
故③正确；
④∵，，是等腰直角三角形．
设点D坐标为．
则．
解得．
∵点D在x轴下方．
∴点D为．
设二次函数解析式为，过点．
∴．
解得．
故④正确；
⑤由题意可得，
，
．
故是等腰三角形时，只有两种情况，故a的值有2个．
故⑤错误．
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
【点睛】主要考查了二次函数的图像和性质，以及二次函数与几何图形结合的综合判断．掌握函数图像基本性质和数形结合思想是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．）
11. 设，是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根与系数关系“两根之和等于，两根之积等于”．根据一元二次方程根的定义可得，根据根与系数的关系可得出，将其代入中即可得出结论．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
12. 抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．
【答案】－3＜x＜1
【解析】
【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．
【详解】解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），
所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
【点睛】考点：二次函数的图象．
13. 已知二次函数，当x >4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是_______________
【答案】m≤4

【解析】
【详解】∵二次函数y=x2﹣mx﹣1中，a=﹣1＜0，∴此函数开口向下，∵当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，∴二次函数的对称轴x= ≥4，即m≤4，故答案为m≤4．
14. 若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为________________．
【答案】4
【解析】
【分析】设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，然后求得y，进而求得x即可．
【详解】解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，
解得：y＝4或﹣2，
当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，
当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程没有实数根，舍去，
所以x2+2x＝4．
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握换元法成为解答本题的关键．
15. 已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．
【详解】∵a－b2＝4
∴
将代入a2－3b2＋a－14中
得：
∵
∴
当a=4时，取得最小值为6
∴的最小值为6
∵
∴的最小值6
故答案为：6．
【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．
16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．
①方程是“倍根方程”；
②若是“倍根方程”，则；
③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”；
④若方程是“倍根方程”，则必有．
【答案】②③④
【解析】
【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；
②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；
③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；
④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【详解】①解方程，得，
，
方程不是“倍根方程”．故①不正确；
②“倍根方程”，且，
因此或．
当时，，
当时，，
，故②正确；
③，
，
，
，
因此是“倍根方程”，故③正确；
④方程的根为，
若，则，
即，
，
，
，
，
，
若，则，
，
，
，
，
．故④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共86分．第17-19题每题8分，第20-24题每题10分，第25题12分．）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题的关键。
（1）因式分解法解一元二次方程；
（2）因式分解法解一元二次方程．
【小问1详解】
解：
或
解得：或，
∴原方程的根为：，；
【小问2详解】
解：
或
解得：或，
∴原方程的根为：，．
18. 已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)，且图象过点(1，－3)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)写出它的开口方向、对称轴．
【答案】(1) y＝－ (x＋1)2＋2；(2)向下， x＝－1.
【解析】
【详解】试题分析：
（1）由二次函数的图象的顶点坐标为（-1，2）可设其解析式为：，再代入点B（1，-3）就可求出的值，从而得到此函数的解析式；
（2）根据（1）中所求得的这个二次函数的解析式可以知道其图象的开口方向和对称轴.
试题解析：
(1)设函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2，
把点(1，－3)代入，得a＝－.
∴抛物线的解析式为y＝－ (x＋1)2＋2.
(2)由抛物线的解析式为：y＝－ (x＋1)2＋2，可知抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－1.
点睛：（1）抛物线的开口方向是由二次函数表达式中“”的值确定的，当时，开口向上，当时，开口向下；（2）要求抛物线的顶点坐标或对称轴，就把抛物线的表达式化为“顶点式：”，则其顶点坐标为：，对称轴为直线：.
19. 已知是方程的两个实数根，求：
（1）和的值，
（2）的值．
【答案】（1），
（2）8
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟悉此关系是解题的关键．
（1）由一元二次方程根与系数的关系即可求解；
（2）利用完全平方公式变形及根与系数的关系，整体代入即可求解．
【小问1详解】
解：∵是方程的两个实数根，
∴，；
【小问2详解】
解：
．
20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
（1）若外墙的长为，当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）当羊圈的长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；
（2）羊圈的面积不能达到．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【小问1详解】
解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，（舍去）；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；
【小问2详解】
解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
21. 如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点在二次函数图象上，且，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）点的坐标为或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点的坐标，进而求出的面积，则由三角形面积公式可求出点的纵坐标，进而求出点的坐标即可．
本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，灵活运用所学知识是解题的关键．
【小问1详解】
解：依题意，把，代入中，
得，
，
二次函数解析式为；
【小问2详解】
解：当时，则，
解得或，
，
，，
，
，
，
，
，
当时，
解得，
即；
当时，
解得或，
即或；
综上所述，点的坐标为1,4或或．
22. 已知二次函数（m 为常数）．
（1）证明：不论 m 为何值，该函数的图像与 x 轴总有两个公共点；
（2）当 m 的值改变时，该函数的图像与 x 轴两个公共点之间的距离是否改变？若不变， 请求出距离；若改变，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）图像与轴两个公共点之间的距离为
【解析】
【分析】（1）证明判别式△＞0即可证得；
（2）将二次函数表达式化简成交点式，得到函数与x轴交点，通过交点可以证明函数的图像与 x 轴两个公共点之间的距离为定值即可.
【详解】解：（1）证明：令, 得
∴ 此方程有两个不相等的实数根．
∴ 不论为何值，该函数的图像与轴总有两个公共点．
（2）
当时，
∴ 图像与轴两个公共点坐标为
∴ 图像与轴两个公共点之间的距离为.
【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，可以利用判别式△的符号进行判断，还涉及到因式分解.
23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．
（1）若商场平均每天要赢利元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天䇔利最多？
【答案】（1）每件衬衫应降价元
（2）每件衬衫降价元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为元
【解析】
【分析】（1）设每件衬衫应降价元，则每件所得利润为(40-x)元，但每天多售出件即售出件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求解．
（2）设商场平均每天赢利元，根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：设每件衬衫应降价元，
根据题意得，
整理得
解得，．
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，
故每件衬衫应降元．
答：每件衬衫应降价元．
【小问2详解】
设商场平均每天赢利元，则
．
当时，取最大值，最大值为．
答：每件衬衫降价元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，根据题意列出方程与函数关系式是解题的关键．
24. 已知关于的方程
（1）求证：该方程总有实数根；
（2）若方程有一根大于5且小于7，求的整数值；
（3）在（2）的条件下，对于一次函数和二次函数当时，有，直接写出的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可；
（2）先求解出方程的根，再根据题意建立不等式求解即可；
（3）利用函数与不等式的关系，大致画出图象，结合一次函数与二次函数的性质即可求解．
【详解】（1），
∴方程总有实数根；
（2）解方程可得，
∴，且为整数，
∴
（3）画出抛物线的大致图象如下，易知该图象与x轴的两个交点为(-1，0)和(6，0)
∵当时，有，
∴当时，一次函数的图象应在二次函数图象的上方
∴如图所示，当过(-1，0)时，此时0=-1＋b，
解得：b=1
联立
解得：或
∴和的两个交点为（-1，0）和（7，8）
∴此时符合当时，一次函数的图象在二次函数图象的上方
当直线向下平移时，如虚直线所示，此时不符合题意；
当直线向上平移时，此时当时，一次函数的图象在二次函数图象的上方
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，以及函数与不等式和方程之间的联系，熟练运用根的判别式及画二次函数图象并理解函数与方程和不等式之间的联系是解题关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A−2,0，B4,0两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作交抛物线于点，点为直线上一动点，连接，，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）将抛物线向右平移1个单位，为平移后抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由
【答案】（1）
（2）四边形的面积最大为32，
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）直接利用两点式写出函数解析式即可；
（2）过点P作x轴的垂线，交直线于点H，根据平行线间的距离相等，得到的面积等于的面积，进而得到四边形面积等于的面积加上的面积，得到当的面积最大时，四边形面积最大，转化为二次函数求最值即可；
（3）求出平移后的解析式，分为菱形的边和为菱形的对角线，两种情况进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于A−2,0，B4,0两点，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴当时，，
∴，
设直线的解析式为：，
把B4,0代入，得：，解得：，
∴直线的解析式为．
如图，过点P作x轴的垂线，交直线于点H，
设点P的坐标为 ，则 ，其中．
，
∴，
∵
∴和的边上的高相等，
∴


，
∵，
∴当时，四边形的面积最大为32，此时．
【小问3详解】
解：∵，
∴抛物线向右平移一个单位，得到新的抛物线的解析式为：；
∴新的抛物线的对称轴为直线，
设，
∵，
∴，，
当为菱形的边时：分两种情况：
①四边形为菱形，
∵点先向左平移4个单位，再向上平移8个单位得到点，
∴点先向左平移4个单位，再向上平移8个单位得到点，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②四边形为菱形，
∵点先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到点，
∴点先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到点，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
当为对角线时：此时为另一对角线，则垂直平分，
∵的中点为，
又的横坐标为2，
∴不存在点，能构成菱形．
综上：或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及交点式求函数解析式，二次函数与面积问题，二次函数的平移，二次函数与特殊四边形的问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题．