抽象函数问题小题限时训练-2025届高三数学二轮复习

这是一份抽象函数问题小题限时训练-2025届高三数学二轮复习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2023·常德质检]已知f(x)是周期为4的奇函数，f(3)＝2，则f(9)＝( )
A.6 B. －6 C.2 D.－2
2.[2024·南通模拟]定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且当2＜x≤6时，f(x)＝3－x，则f(1)的值为( )
A.－2 B.2 C.－1 D.1
3.[2024·徐州模拟]已知偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A.f(π)＞f(－2)＞f(－3) B.f(π)＞f(－3)＞f(－2)
C.f(π)＜f(－2)＜f(－3) D.f(π)＜f(－3)＜f(－2)
4.[2024·青岛检测]定义域为R的函数f(x)满足：当x∈[0，1)时，f(x)＝3x－1，且对任意实数x，均有f(x)＋f(x＋1)＝1，则f(lg34)＝( )
A.3 B.2 C.eq \f(4,3) D.eq \f(2,3)
5.[2024·江苏省八市联考]已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(x)的最小值为( )
A.e B.2eq \r(2) C.2eq \r(3) D.2e
6.[2024·湖南师大附中模拟]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝0，则不等式(2x－5)f(x－1)＜0的解集为( )
A. (－∞，－2)∪(eq \f(5,2)，4) B. (4，＋∞)
C (－2，eq \f(5,2))∪(4，＋∞) D. (－∞，－2)
7.[2024·辽宁省五校联考]已知f(x)是定义域为R的函数，f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，则( )
A.f(－x)＋f(x)＝0 B.f(－x)＝f(x)
C.f(x)＝f(x＋4) D.f(1－x)＝f(x)
8.[2024·衡阳模拟]定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x5.设直线y＝eq \f(x－2,11)与函数y＝f(x)的图象相交于点P(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)(n∈N*)，记ti＝xi－yi，则eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))ti＝( )
A.18 B.20 C.22 D.24
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2024·广西北海调研]已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(1)＝－1，则满足f(x－2)≥－1的x的值可能为( )
A.－1 B.0C.1 D.2
10.[2024·赣州模拟]定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(x)是单调函数，f(1)＝eq \f(1,2)，则( )
A.f(0)＝0 B.f(－1)＜f(2)
C.f(－eq \f(1,2))＝－1 D.f(x2－x＋2)＞f(1)
11.[2023·湖南九校联考]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且y＝f(2－x)为偶函数，则下列说法一定正确的是( )
A.函数f(x)的周期为2 B.函数f(x)的图象关于(1，0)对称
C.函数f(x)为偶函数 D.函数f(x)的图象关于x＝3对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2024·常德模拟]已知定义在R上的函数f(x)的周期为2，当x∈[0，1]时，f(x)＝lg2(x＋1)，则f(13)＋f(－14)＝________.
13.[2024·枣庄模拟]已知函数y＝f(x)是定义在[－4，4]上的减函数，且f(a＋1)＞f(2a)，则a的取值范围是______.
14.[2023·烟台质检]已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x＋2)＝－f(x)，若eq \(∑,\s\up12(2 023),\s\d4(k＝1))f(k)＝－1，则f(0)的值为________.
抽象函数问题 (突破练)
1.D [∵f(x)是周期为4的奇函数，
∴f(9)＝f(1)＝－f(－1)＝－f(3)＝－2，
故选D.]
2.A [∵定义在R上的函数f(x)满足
f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
又当2＜x≤6时，f(x)＝3－x，
∴f(1)＝f(5)＝3－5＝－2.故选A.]
3.B [因为f(x)为偶函数，所以
f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3).
又当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，
且π＞3＞2，所以f(π)＞f(3)＞f(2)，
即f(π)＞f(－3)＞f(－2).故选B.]
4.D [由f(x)＋f(x＋1)＝1，
得f(x＋1)＝1－f(x)，
则f(lg34)＝1－f(lg34－1)
＝1－f(lg3eq \f(4,3))＝1－(3lg3eq \f(4,3)－1)
＝1－eq \f(4,3)＋1＝eq \f(2,3).故选D.]
5.B [因为函数y＝f(x)＋ex为偶函数，
则f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex，
即f(x)－f(－x)＝e－x－ex①，
又因为函数y＝f(x)－3ex为奇函数，
则f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex，
即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x②，
联立①②可得f(x)＝ex＋2e－x，
由基本不等式可得
f(x)＝ex＋2e－x≥2eq \r(ex·2e－x)＝2eq \r(2)，
当且仅当ex＝2e－x时，即当x＝eq \f(1,2)ln 2时，
等号成立，故函数f(x)的最小值为2eq \r(2).
故选B.]
6.C [依题意，
函数的大致图象如图.
因为f(x)是定义在R上的偶函数，
在[0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝0，
所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，
且f(－3)＝0，则当x＞3或x＜－3时，
f(x)＜0；当－3＜x＜3时，f(x)＞0，
不等式(2x－5)f(x－1)＜0化为
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－5＞0,f（x－1）＜0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－5＜0,f（x－1）＞0))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－5＞0,x－1＞3))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－5＞0,x－1＜－3))或
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－5＜0,－3＜x－1＜3))，解得x＞4或x∈∅或
－2＜x＜eq \f(5,2)，即－2＜x＜eq \f(5,2)或x＞4，
即原不等式的解集为(－2，eq \f(5,2))∪(4，＋∞).故选C.]
7.C [因为f(x＋2)为奇函数，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)①，因为f(2x＋1)为偶函数，所以f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，用x替换2x得到f(－x＋1)＝f(x＋1)②.
在②中，用x＋1替换x得到
f[－(x＋1)＋1]＝f(x＋2)，
即f(x＋2)＝f(－x)，代入①式得：
f(－x＋2)＝－f(－x)，
即f(x＋2)＝－f(x)，
则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).故选C.]
8.C [因为f(x)为定义在R上的奇函数，
得f(－x)＋f(x)＝0.
由f(x)＝f(2－x)，得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f(－x)＝－f(x)＝－f(2－x)，所以f(x)＝－f(2＋x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即4为函数f(x)的一个周期.
又f(x)＝f(2－x)，且f(x)＝－f(2＋x)，
故f(2－x)＝－f(2＋x)，所以函数f(x)的图象关于点(2，0)对称.在同一平面直角坐标系内作出y＝f(x)的图象与直线y＝eq \f(x－2,11)，如图所示，
由图可知它们共有11个不同的交点，且除交点(2，0)外，其余10个交点关于点(2，0)中心对称，不妨设x1＜x2＜x3＜…＜x11，则y1＜y2＜y3＜…＜y11，
所以x1＋x11＝x2＋x10＝…＝x5＋x7＝4，
x6＝2，y1＋y11＝y2＋y10＝…＝y5＋y7＝0，
y6＝0，所以eq \(∑,\s\up12(11),\s\d4(i＝1))ti＝eq \(∑,\s\up12(11),\s\d4(i＝1))xi－eq \(∑,\s\up12(11),\s\d4(i＝1))yi＝5×4＋2－0＝22.故选C.]
9.CD [因为偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(1)＝－1，则f(x－2)≥－1⇔f(|x－2|)≥f(1)，因此|x－2|≤1，即－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3，所以选项A、B不满足，C、D满足.故选CD.]
10.ABD [因为定义在R上的函数f(x)满足
f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)是奇函数，从而f(0)＝0，所以A正确；
因为f(x)是单调函数，且0＝f(0)＜f(1)＝eq \f(1,2)，所以f(x)是R上的单调递增函数，
故f(－1)＜f(2)，所以B正确；
由B项分析可得f(eq \f(1,2))＜f(1)＝eq \f(1,2)，
又f(－eq \f(1,2))＝－f(eq \f(1,2))＞－eq \f(1,2)，
所以C错误；
由于x2－x＋2＝(x－eq \f(1,2))2＋eq \f(7,4)＞1，
且f(x)是R上的单调递增函数，
故f(x2－x＋2)＞f(1)，所以D正确.
故选ABD.]
11.BC [依题意，R上的函数f(x)，f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，函数f(x)的周期为4，A错误；
因为函数y＝f(2－x)是偶函数，则f(2－x)＝f(2＋x)，函数f(x)的图象关于x＝2对称，且f(2－x)＝－f(x)，
即f(2－x)＋f(x)＝0，
函数f(x)图象关于(1，0)对称，B正确；
由f(2－x)＝f(2＋x)得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，C正确；
由f(x＋2)＋f(x)＝0得
f(x＋3)＋f(1＋x)＝0，
由f(2－x)＝f(2＋x)得
f(3－x)＝f(1＋x)，
因此f(x＋3)＋f(3－x)＝0，函数f(x)的图象关于点(3，0)对称，D错误，故选BC.]
12.1 [由题设f(x)是周期为2的函数，
所以f(13)＋f(－14)＝f(1)＋f(0)
＝lg22＋lg21＝1.]
13.(1，2] [∵函数y＝f(x)是定义在[－4，4]上的减函数，
且f(a＋1)＞f(2a)，
∴－4≤a＋1＜2a≤4，
解得1＜a≤2.]
14.1 [因为f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)的周期为4，
所以f(2)＝－f(0)，f(3)＝－f(1)，
f(4)＝－f(2)＝f(0)，
即f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)－f(0)－f(1)＋f(0)＝0.
若eq \(∑,\s\up12(2 023),\s\d4(k＝1))f(k)＝－1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋
f(4)＋…＋f(2 023)＝－1，
即505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－1，
可得f(1)＋f(2)＋f(3)
＝f(1)－f(0)－f(1)＝－1，所以f(0)＝1.]
小题速练9