2021年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（word版，含解析）

这是一份2021年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（word版，含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年湖南省长沙市中考数学适应性试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中，是无理数的为（　　）
A．﹣2 B． C．π D．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2x+3y＝5xy B．（m+2）2＝m2+4
C．（xy2）3＝xy6 D．a10÷a5＝a5（a≠0）
3．（3分）智能手机已遍及生活中的各个角落，移动产业链条正处于由4G到5G的转折阶段．据中国移动2020年3月公布的数据显示，中国移动5G用户数量约31720000户．将31720000用科学记数法表示为（　　）
A．0.3172×108 B．3.172×108 C．3.172×107 D．3.172×109
4．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）不等式4+2x＞0的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）3月12日植树节，某单位组织职工开展植树活动，如图是根据植树情况绘制的条形统计图，下面说法错误的是（　　）

A．参加本次植树活动共有30人
B．每人植树量的众数是4棵
C．每人植树量的中位数是5棵
D．每人植树量的平均数是5棵
7．（3分）如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是（　　）

A．∠1＝∠3 B．∠2+∠3＝180° C．∠2+∠4＜180° D．∠3+∠5＝180°
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，OC＝4，∠AOC＝60°且以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OC于点D、E；再分别以点D、点E为圆心，大于DE的长度为半径画弧，两弧相交于点F，过点O作射线OF，交BC于点P．则点P的坐标为（　　）

A．（4，2） B．（6，2） C．（2，4） D．（2，6）
9．（3分）《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（　　）
A．82+x2＝（x﹣3）2 B．82+（x+3）2＝x2
C．82+（x﹣3）2＝x2 D．x2+（x﹣3）2＝82
10．（3分）如图，以矩形ABCD对角线AC为底边作等腰直角△ACE，连接BE，分别交AD，AC于点F，N，CD＝AF，AM平分∠BAN．下列结论：
①EF⊥ED；②∠BCM＝∠NCM；③AC＝EM；④BN2+EF2＝EN2；⑤AE•AM＝NE•FM，其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：x2+xy＝　 　．
12．（3分）生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉50只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕捉200只，其中有标记的雀鸟有2只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约为　 　只．
13．（3分）某校数学社团的同学对天心阁的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为　 　．

14．（3分）已知x1、x2是方程x2﹣x+1＝0的两根，则x12+x22的值为　 　．
15．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，若AE＝1，则EF的长为　 　．

16．（3分）如图，点A，D在反比例函数y＝（m＜0）的图象上，点B，C在反比例函数y＝（n＞0）的图象上．若AB∥CD∥x轴，AC∥y轴，且AB＝4，AC＝3，CD＝2，则n＝　 　．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：2cos30°+|﹣3|﹣+tan45°．
18．（6分）化简求值：（1﹣）÷，其中x＝3．
19．（6分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）在图中画出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；
（2）若点B的坐标为（﹣3，5），点C的坐标为（﹣3，1），在图中建立直角坐标系，并画出△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2．

20．（8分）为了了解春节晚会群众喜爱节目类型（“歌舞类”、“语言类”、“戏曲类”、“其他”）情况，对某地区的部分群众的喜爱节目类型做了调查，其中每人只能填选一项，现根据调查情况绘制了如图直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）此次调查中一共调查了多少人？
（2）求所调查的群众中，喜爱“戏曲”的人数，并补全直方图的空缺部分；
（3）若该地区共有人口360万人，估计该地区喜爱“语言类”约有多少人．

21．（8分）如图，▱ABCD的边AB与经过A、C、D三点的⊙O相切．
（1）求证：AC＝AD；
（2）如图2，延长BC交⊙O于点E，连接DE．若sin∠ADE＝，求tan∠DCE的值．

22．（9分）某大学公益组织计划购买A、B两种的文具套装进行捐赠，关注留守儿童经洽谈，购买A套装比购买B套装多用20元，且购买5套A套装和4套B套装共需820元．
（1）求购买一套A套装文具、一套B套装各需要多少元？
（2）根据该公益组织的募捐情况和捐助对象情况，需购买A、B两种套装共60套，要求购买A、B两种套装的总费用不超过5240元，则购买A套装最多多少套？
23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G
（1）当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；
（2）延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；
（3）当AG＝AE时，求CD的长．

24．（10分）对于函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在实数x0，使得ax02+（b+1）x0+b﹣2＝x0成立，则称x0为函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点．
（1）当a＝2，b＝﹣2时，求y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点；
（2）若对于任何实数b，函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的图象上A，B两点的横坐标是函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点，且直线y＝﹣x+是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a、b、c为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，A（﹣6，0），C（1，0），B（0，）．
（1）求该抛物线的函数关系式与直线AB的函数关系式；
（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标：若不存在，请说明理由；
ii：试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．


2021年湖南省长沙市中考数学适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中，是无理数的为（　　）
A．﹣2 B． C．π D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A．﹣2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．π是无理数，故本选项符合题意；
D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2x+3y＝5xy B．（m+2）2＝m2+4
C．（xy2）3＝xy6 D．a10÷a5＝a5（a≠0）
【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法进行计算，再逐个判断即可．
【解答】解：A．2x与3y不能合并，故本选项不符合题意；
B．（m+2）2＝m2+4m+4，故本选项不符合题意；
C．（xy2）3＝x3y6，故本选项不符合题意；
D．a10÷a5＝a5，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）智能手机已遍及生活中的各个角落，移动产业链条正处于由4G到5G的转折阶段．据中国移动2020年3月公布的数据显示，中国移动5G用户数量约31720000户．将31720000用科学记数法表示为（　　）
A．0.3172×108 B．3.172×108 C．3.172×107 D．3.172×109
【分析】根据科学记数法表示大数的方法，将31720000写成a×10n的形式即可．
【解答】解：31720000＝3.172×107，
故选：C．
4．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
5．（3分）不等式4+2x＞0的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得．
【解答】解：移项，得：2x＞﹣4，
系数化为1，得：x＞﹣2，
故选：A．
6．（3分）3月12日植树节，某单位组织职工开展植树活动，如图是根据植树情况绘制的条形统计图，下面说法错误的是（　　）

A．参加本次植树活动共有30人
B．每人植树量的众数是4棵
C．每人植树量的中位数是5棵
D．每人植树量的平均数是5棵
【分析】根据众数、平均数、中位数的定义分别进行解答，即可得出答案
【解答】解：A、∵4+10+8+6+2＝30（人），
∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；
B、∵10＞8＞6＞4＞2，
∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；
C、∵共有30个数，第15、16个数为5，
∴每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；
D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），
∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确．
故选：D．
7．（3分）如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是（　　）

A．∠1＝∠3 B．∠2+∠3＝180° C．∠2+∠4＜180° D．∠3+∠5＝180°
【分析】根据平行线的性质对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、∵OC与OD不平行，
∴∠1＝∠3不成立，故本选项错误；
B、∵OC与OD不平行，
∴∠2+∠3＝180°不成立，故本选项错误；
C、∵AB∥CD，
∴∠2+∠4＝180°，故本选项错误；
D、∵AB∥CD，
∴∠3+∠5＝180°，故本选项正确．
故选：D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，OC＝4，∠AOC＝60°且以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OC于点D、E；再分别以点D、点E为圆心，大于DE的长度为半径画弧，两弧相交于点F，过点O作射线OF，交BC于点P．则点P的坐标为（　　）

A．（4，2） B．（6，2） C．（2，4） D．（2，6）
【分析】延长BC交y轴于E，则BE⊥y轴，求出∠COE＝30°，由直角三角形的性质得出CE＝OC＝2，OE＝CE＝2，由作法得∠AOP＝∠COP，证∠COP＝∠CPO，得PC＝OC＝4，则PE＝PC+CE＝6，即可得出答案．
【解答】解：延长BC交y轴于E，如图所示：
则BE⊥y轴，
∴∠OEC＝90°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠COE＝30°，
∴CE＝OC＝2，OE＝CE＝2，
由题意得：OP平分∠AOC，
∴∠AOP＝∠COP，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，
∴∠AOP＝∠CPO，
∴∠COP＝∠CPO，
∴PC＝OC＝4，
∴PE＝PC+CE＝6，
∴点P的坐标为（6，2）；
故选：B．

9．（3分）《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（　　）
A．82+x2＝（x﹣3）2 B．82+（x+3）2＝x2
C．82+（x﹣3）2＝x2 D．x2+（x﹣3）2＝82
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+82＝x2，
故选：C．
10．（3分）如图，以矩形ABCD对角线AC为底边作等腰直角△ACE，连接BE，分别交AD，AC于点F，N，CD＝AF，AM平分∠BAN．下列结论：
①EF⊥ED；②∠BCM＝∠NCM；③AC＝EM；④BN2+EF2＝EN2；⑤AE•AM＝NE•FM，其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】①正确，只要证明A，B，C，D，E五点共圆即可解决问题；
②正确，只要证明点M是△ABC的内心即可；
③正确，想办法证明EM＝AE，即可解决问题；
④正确．如图2中，将△ABN逆时针旋转90°得到△AFG，连接EG．想办法证明△GEF是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；
⑤错误．利用反证法证明即可；
【解答】解：如图1中，连接BD交AC于O，连接OE．

∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OD＝OB，
∵∠AEC＝90°，
∴OE＝OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE，
∴A，B，C，D，E五点共圆，
∵BD是直径，
∴∠BED＝90°，
∴EF⊥ED，故①正确，
∵CD＝AB＝AF，∠BAF＝90°，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠FBC＝45°，
∴BM平分∠ABC，
∵AM平分∠BAC，
∴点M是△ABC的内心，
∴CM平分∠ACB，
∴∠MCB＝∠MCA，故②正确，
∵∠EAM＝∠EAC+∠MAC，∠EMA＝∠BAM+∠ABM，∠ABM＝∠EAC＝45°，
∴∠EAM＝∠EMA，
∴EA＝EM，
∵△EAC是等腰直角三角形，
∴AC＝EA＝EM，故③正确，
如图2中，将△ABN绕点A逆时针旋转90°，得到△AFG，连接EG，

∵∠NAB＝∠GAF，
∴∠GAN＝∠BAD＝90°，
∵∠EAN＝45°，
∴∠EAG＝∠EAN＝45°，
∵AG＝AN，AE＝AE，
∴△AEG≌△AEN（SAS），
∴EN＝EG，GF＝BN，
∵∠AFG＝∠ABN＝∠AFB＝45°，
∴∠GFB＝∠GFE＝90°，
∴EG2＝GF2+EF2，
∴BN2+EF2＝EN2，故④正确，
不妨设AE•AM＝NE•FM，
∵AE＝EC，
∴＝，
∴只有△ECN∽△MAF才能成立，
∴∠AMF＝∠CEN，
∴CE∥AM，
∵AE⊥CE，
∴MA⊥AE（矛盾），
∴假设不成立，故⑤错误，
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：x2+xy＝　x（x+y）　．
【分析】直接提取公因式x即可．
【解答】解：x2+xy＝x（x+y）．
12．（3分）生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉50只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕捉200只，其中有标记的雀鸟有2只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约为　5000　只．
【分析】由题意可知：重新捕获200只，其中带标记的有2只，可以知道，在样本中，有标记的占到 ．而在总体中，有标记的共有50只，根据比例即可解答．
【解答】解：根据题意得：
50÷＝5000（只），
答：估计这片山林中雀鸟的数量约为5000只；
故答案为：5000．
13．（3分）某校数学社团的同学对天心阁的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为　51m　．

【分析】由题意得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．
【解答】解：根据题意得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，
∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝30°，
∴∠ADB＝∠A＝30°，
∴BD＝AB＝60m，
∴CD＝BD•sin60°＝60×＝30≈51（m）．
故答案为51m．
14．（3分）已知x1、x2是方程x2﹣x+1＝0的两根，则x12+x22的值为　3　．
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝，x1x2＝1，再把原式变形得（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝，x1x2＝1，
所以原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×1＝3．
故答案为3．
15．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，若AE＝1，则EF的长为　　．

【分析】如图，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM，由“SAS”可证△DEF≌△DMF，可得EF＝MF，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．

∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∠A＝∠DCM＝90°，
∴∠DCM+∠DCF＝180°，
∴点F，点C，点M三点共线，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝45°，
∴∠EDF＝∠FDM，
在△DEF和△DMF中，

∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF；
设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝1，AB＝BC＝3，
∴EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，BM＝BC+CM＝3+1＝4，
∴BF＝BM﹣MF＝4﹣x．
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
则EF的长为，
故答案为：．
16．（3分）如图，点A，D在反比例函数y＝（m＜0）的图象上，点B，C在反比例函数y＝（n＞0）的图象上．若AB∥CD∥x轴，AC∥y轴，且AB＝4，AC＝3，CD＝2，则n＝　　．

【分析】先设B（x，），再根据AB＝4，AC＝3，CD＝2，表示出点A、C、D的坐标，列出关于x、m、n的方程组，解出即可．
【解答】解：设B（x，），则A（x﹣4，），C（x﹣4，），D（x﹣2，），依题意有
，解得：，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：2cos30°+|﹣3|﹣+tan45°．
【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂计算即可．
【解答】解：原式＝2×+3﹣×1+1
＝+3﹣+1
＝4．
18．（6分）化简求值：（1﹣）÷，其中x＝3．
【分析】通分，将除法转化为乘法，因式分解，约分，再代值计算．
【解答】解：（1﹣）÷
＝•
＝，当x＝3时，原式＝．
19．（6分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）在图中画出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；
（2）若点B的坐标为（﹣3，5），点C的坐标为（﹣3，1），在图中建立直角坐标系，并画出△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2．

【分析】（1）根据旋转的性质，在图中画出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1即可；
（2）根据点B的坐标为（﹣3，5），点C的坐标为（﹣3，1），在图中建立直角坐标系，即可画出△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2．
【解答】解：如图，

（1）△AB1C1即为所求；
（2）直角坐标系及△A2B2C2即为所求．
20．（8分）为了了解春节晚会群众喜爱节目类型（“歌舞类”、“语言类”、“戏曲类”、“其他”）情况，对某地区的部分群众的喜爱节目类型做了调查，其中每人只能填选一项，现根据调查情况绘制了如图直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）此次调查中一共调查了多少人？
（2）求所调查的群众中，喜爱“戏曲”的人数，并补全直方图的空缺部分；
（3）若该地区共有人口360万人，估计该地区喜爱“语言类”约有多少人．

【分析】（1）用“其他”类别人数除以其所占百分比可得答案；
（2）用总人数乘以“戏曲”类人数所占比例求出其人数，再用总人数减去歌舞、戏曲、其他类别人数求得语言类人数，从而补全图形；
（3）用总人数乘以样本中语言类人数所占比例即可．
【解答】解：（1）39÷26%＝150（人），
答：此次调查中一共调查了150人；
（2）所调查的群众中，喜爱“戏曲”的人数为150×20%＝30（人），
喜爱“语言”的人数为150﹣（36+30+39）＝45（人），
补全图形如下：

（3）该地区喜爱“语言类”约有360×＝108（万人）．
21．（8分）如图，▱ABCD的边AB与经过A、C、D三点的⊙O相切．
（1）求证：AC＝AD；
（2）如图2，延长BC交⊙O于点E，连接DE．若sin∠ADE＝，求tan∠DCE的值．

【分析】（1）连接AO并延长交CD于F，如图，根据切线的性质得到AF⊥AB，再利用平行四边形的性质得到AB∥CD，所以AF⊥CD，根据垂径定理可判断AF垂直平分CD，从而得到结论；
（2）过A点作AH⊥BC，如图，先根据圆内接四边形的性质得到∠ACB＝∠ADE，在Rt△ACH中利用正弦的定义得到sin∠ACH＝＝，则可设AH＝24x，AC＝25x，所以CH＝7x，所以BC＝AD＝AC＝25x，BH＝18x，接着根据正切定义得到tanB＝，然后证明∠DCE＝∠B，从而得到tan∠DCE的值．
【解答】（1）证明：连接AO并延长交CD于F，如图，
∵AB为切线，
∴AF⊥AB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴AF⊥CD，
∴CF＝DF，即AF垂直平分CD，
∴AC＝AD；
（2）解：过A点作AH⊥BC，如图，
∵∠ACB+∠ACE＝180°，∠ADE+∠ACE＝180°，
∴∠ACB＝∠ADE，
∴sin∠ACB＝sin∠ADE＝，
在Rt△ACH中，∵sin∠ACH＝＝，
∴设AH＝24x，AC＝25x，
∴CH＝＝7x，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD，AB∥CD，
而AD＝AC，
∴BC＝AC＝25x，
∴BH＝CB﹣CH＝25x﹣7x＝18x，
在Rt△ABH中，tanB＝＝＝，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠B，
∴tan∠DCE＝．

22．（9分）某大学公益组织计划购买A、B两种的文具套装进行捐赠，关注留守儿童经洽谈，购买A套装比购买B套装多用20元，且购买5套A套装和4套B套装共需820元．
（1）求购买一套A套装文具、一套B套装各需要多少元？
（2）根据该公益组织的募捐情况和捐助对象情况，需购买A、B两种套装共60套，要求购买A、B两种套装的总费用不超过5240元，则购买A套装最多多少套？
【分析】（1）设购买一套A套装需要x元，购买一套B套装凳需要y元，根据“买A套装比购买B套装多用20元，且购买5套A套装和4套B套装共需820元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A套装m套，则购买B套装（60﹣m）套，根据购买A、B两种套装的总费用不超过5240元列不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）设购买一套A套装需要x元，购买一套B套装凳需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买一套A套装需要100元，购买一套B套装需要80元；
（2）设购买A套装m套，则购买B套装（60﹣m）套，根据题意得100m+80（60﹣m）≤5240，
解得：m≤22，
∴购买A套装最多22套，
答：要求购买A、B两种套装的总费用不超过5240元，则购买A套装最多22套．
23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G
（1）当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；
（2）延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；
（3）当AG＝AE时，求CD的长．

【分析】（1）证明△ADE≌△BFE（ASA），推出AD＝BF，构建方程求出CD即可．
（2）过点A作AM⊥BE于M，想办法求出AB，AM即可解决问题．
（3）如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出x即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝DE＝EF＝CF，∠CDE＝∠DEF＝∠F＝90°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠DEF＝90°，
∴∠AED＝∠BEF，
∵∠ADE＝∠F＝90°，DE＝FE，
∴△ADE≌△BFE（ASA），
∴AD＝BF，
∴AD＝5+CF＝5+CD，
∵AC＝CD+AD＝12，
∴CD+5+CD＝12，
∴CD＝，
∴正方形CDEF的面积为．

（2）如图2中，过点A作AM⊥BE于M．

∵∠ABG＝∠EBH，
∴当∠BAG＝∠BEH＝∠CBG时，△ABG∽△EBH，
∵∠BCG＝∠ACB，∠CBG＝∠BAG，
∴△CBG∽△CAB，
∴CB2＝CG•CA，
∴CG＝，
∴BG＝＝＝，
∴AG＝AC﹣CG＝，
∵∠BCG＝∠AMG＝90°，∠CGB＝∠AGM，
∴∠GAM＝∠CBG，
∴cos∠GAM＝cos∠CBG＝＝＝，
∴AM＝，
∵AB＝＝＝13，
∴sin∠ABM＝＝．

（3）如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．

∵AE＝AG＝AN，
∴∠GEN＝90°，
由（1）可知，△NDE≌△BFR，
∴ND＝BF，
设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，
∴AN＝AE＝5+x﹣（12﹣x）＝2x﹣7，
在Rt△ADE中，∵AE2＝AD2+DE2，
∴x2+（12﹣x）2＝（2x﹣7）2，
∴x＝1+或1﹣（舍弃），
∴CD＝1+．
24．（10分）对于函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在实数x0，使得ax02+（b+1）x0+b﹣2＝x0成立，则称x0为函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点．
（1）当a＝2，b＝﹣2时，求y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点；
（2）若对于任何实数b，函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的图象上A，B两点的横坐标是函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点，且直线y＝﹣x+是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．
【分析】（1）将a＝2，b＝﹣2代入函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），得y＝2x2﹣x﹣4，然后令x＝2x2﹣x﹣4，求出x的值，即y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点；
（2）对于任何实数b，函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）时，对于任何实数b都有△＞0，然后再设t＝△，即可求得a的取值范围；
（3）根据y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的图象上A，B两点的横坐标是函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点，可知点A和点B均在直线y＝x上，然后设出点A和点B的坐标，从而可以得到线段AB的中点坐标，再根据直线y＝﹣x+是线段AB的垂直平分线，从而可以求得b的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2，b＝﹣2时，
函数y＝2x2﹣x﹣4，
令x＝2x2﹣x﹣4，
化简，得x2﹣x﹣2＝0
解得，x1＝2，x2＝﹣1，
即y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点是﹣1或2；
（2）令x＝ax2+（b+1）x+b﹣2，
整理，得
ax2+bx+b﹣2＝0，
∵对于任何实数b，函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）恒有两相异的不动点，
∴△＝b2﹣4a（b﹣2）＞0，
设t＝b2﹣4a（b﹣2）＝b2﹣4ab+8a，对于任何实数b，t＞0，
故（﹣4a）2﹣4×1×8a＜0，
解得，0＜a＜2，
即a的取值范围是0＜a＜2；
（3）由题意可得，
点A和点B在直线y＝x上，
设点A（x1，x1），点B（x2，x2），
∵A，B两点的横坐标是函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点，
∴x1，x2是方程ax2+bx+b﹣2＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣，
∵线段AB中点坐标为（，），
∴该中点的坐标为（，），
∵直线y＝﹣x+是线段AB的垂直平分线，
∴点（，）在直线y＝﹣x+上，
∴＝
∴﹣b＝＝，（当a＝时取等号）
∴0＜﹣b≤，
∴﹣≤b＜0，
即b的取值范围是﹣≤b＜0．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a、b、c为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，A（﹣6，0），C（1，0），B（0，）．
（1）求该抛物线的函数关系式与直线AB的函数关系式；
（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标：若不存在，请说明理由；
ii：试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．

【分析】（1）根据已知条件可以设抛物线解析式为y＝a（x+6）（x﹣1），然后把点B的坐标代入函数解析式求得系数a的值即可；利用待定系数法求得直线AB的解析式；
（2）由点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，得到D（m，m+），当DE为底时，作BG⊥DE于G，根据等腰三角形的性质得到EG＝GD＝ED，GM＝OB＝，列方程即可得到结论；
（3）i：根据已知条件得到ON＝OM′＝4，OB＝，由∠NOP＝∠BON，特殊的当△NOP∽△BON时，根据相似三角形的性质得到＝＝＝，于是得到结论；
ii：根据题意得到N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由①知，＝＝，得到NP＝NB，于是得到（NA+NB）的最小值＝NA+NP，此时N，A，P三点共线，根据勾股定理得到结论．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+6）（x﹣1），（a≠0）．
将B（0，）代入，得＝a（x+6）（x﹣1），
解得a＝﹣，
∴该抛物线解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣1）或y＝﹣x2﹣x+．
设直线AB的解析式为y＝kx+n（k≠0）．
将点A（﹣6，0），B（0，）代入，得
，
解得，
则直线AB的解析式为：y＝x+；

（2）∵点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，
∴D（m，m+），当DE为底时，
如图1，作BG⊥DE于G，则EG＝GD＝ED，GM＝OB＝，
∵DM+DG＝GM＝OB，
∴m++（﹣m2﹣m+﹣m﹣）＝，
解得：m1＝﹣4，m2＝0（不合题意，舍去），
∴当m＝﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；

（3）i：存在，如图2．
∵ON＝OM′＝4，OB＝，
∵∠NOP＝∠BON，
∴当△NOP∽△BON时，＝＝＝，
∴不变，
即OP＝ON＝×4＝3，
∴P（0，3）；

ii：∵N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由i知，＝＝，
∴NP＝NB，
∴（NA+NB）的最小值＝NA+NP，
∴此时N，A，P三点共线，
∴（NA+NB）的最小值＝＝3．