江苏省扬州市朱自清中学2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A. 在图形中不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
B、在图形中不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
C、在图形中能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
D、在图形中不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故选：C
【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2. 下列各式，，，，，中，分式共有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查分式的判断，解题的关键是根据分式的定义“形如，其中A、B为整式，且B中含有字母的式子叫分式”．
【详解】解：分式为，，，，共个，
故选：D．
3. 下列分式中是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查最简分式，根据分子分母没有公因式，不能约分的分式是最简分式，进行判断即可．
【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意；
B、，不是最简分式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，不是最简分式，不符合题意；
故选C．
4. 代数式中的、都扩大10倍，则代数式的值 （ ）.
A. 扩大10倍B. 缩小10倍C. 不变D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
【详解】解：把分式的，同时扩大10倍，得
，
∴分式的值扩大10倍．
故选：A．
5. 能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用平行四边形的判定定理判定，即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．
【详解】解：A、，，则四边形不一定为平行四边形，可能为等腰梯形，故本选项不符合题意；
B、，，则四边形为平行四边形；故本选项正确，符合题意；
C、，，则四边形不一定为平行四边形，可能为等腰梯形，故本选项不符合题意；
D、，，不能判定四边形为平行四边形；故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键．
6. 如图，对角线交于点，请添加一个条件使得是矩形（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定．根据矩形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、若添加，无法得到是矩形，故本选项不符合题意；
B、若添加，无法得到是矩形，故本选项不符合题意；
C、若添加，无法得到是矩形，故本选项不符合题意；
D、若添加，根据平行四边形的对角线相等，可得到是矩形，故本选项符合题意；
故选：D
7. 如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是菱形，需要加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理可得，，再由菱形的判定，即可求解．
【详解】解：、、、分别是线段、、、的中点，
，，
当时，四边形是菱形，
当时，四边形是菱形．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理，菱形的判定定理是解题的关键．
8. 如图，在中，点是边上中点，平分于点，若，则的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及中位线定理的运用，延长交于D，运用三角形全等的判定和性质，可得N为的中点，得到是的中位线，由中位线定理，计算即可得到所求值．
【详解】解：如图，延长交于D，
，
，
，，
为的中点，
是的中位线，
．
故选：B．
二、填空题（共10小题，每题3分，共30分）
9. 若分式有意义，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用分式的定义得出，进而得出答案．
【详解】解：∵分式有意义，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握分式的定义是解题关键．
10. 分式和的最简公分母是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了最简公分母，先把分母因式分解，再取各分母系数的最小公倍数即可．
【详解】解：，，
分式和的最简公分母是：，
故答案为：．
11. 已知，则值等于______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减法，先通分得到，再结合已知即可求出结果．
【详解】解：
，
故答案为：2．
12. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2．
【答案】24
【解析】
【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式．
13. 如图，△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，，则∠DAC的度数为______________．
【答案】10°
【解析】
【分析】根据旋转的性质，再利用角的和差定义求解即可．
【详解】解：由旋转的性质可知，∠BAD=40°，
∵∠BAC=50°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=50°-40°=10°，
故答案为：10°．
【点睛】本题考查旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是________________.
【答案】1cm＜OA＜4cm
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系定理得到AC的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出OA的取值范围．
【详解】解：∵AB=3cm，BC=5cm，
∴2cm＜AC＜8cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
∴1cm＜OA＜4cm，
故答案为：1cm＜OA＜4cm．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的三边关系．理解三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题关键．
15. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________度．
【答案】22.5°
【解析】
【详解】四边形ABCD是矩形，
AC=BD，OA=OC，OB=OD，
OA=OB═OC，
∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∠EAC=2∠CAD，
∠EAO=∠AOE，
AE⊥BD，
∠AEO=90°，
∠AOE=45°，
∠OAB=∠OBA=67.5°，
即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．
16. 若关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】此题考查解分式方程．利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
∵分式方程解为正实数，
∴且，
∴且，
解得：且．
故答案为：且
17. 如图，在中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B，C重合），于点E，于点F，则EF的最小值为______．
【答案】4.8
【解析】
【分析】连接，根据勾股定理的逆定理，得是直角三角形，；根据，，判定四边形是矩形，得；当时，有最小值，故最小；根据三角形的面积公式，求出，即的值．
【详解】解：连接
∵，，
∴
∴
∴是直角三角形，
又∵，
∴四边形是矩形
∴
∵当时，有最小值
∴最小
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查动点问题，垂直线距离最短，矩形的判定，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握垂直线距离最短，矩形的判定，三角形的面积公式．
18. 在矩形中，，点是直线一动点，若将沿折叠，使点落在点处，若三点在同一条直线上，则______．
【答案】1或25##25或1
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，矩形性质中折叠问题，全等三角形性质及判定．根据题意分情况讨论，由勾股定理可以求出的长，设，在中，有勾股定理列方程即可，另一种情况先证明，再利用勾股定理即可．
【详解】解：①当点P在线段上时，
根据折叠的性质得：，
在中，，
设，则，
在中，，
解得：，
即；
②当点P在线段的延长线上时，
根据折叠的性质得：，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：1或25
三、解答题（共10小题，共96分）
19. 计算．
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的混合运算：
（1）直接分式的减法运算法则计算，即可；
（2）先计算除法，再计算减法，即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 解分式方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解答本题的关键．
（1）根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，检验并作答的步骤解答即可；
（2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，检验并作答的步骤解答即可．
【小问1详解】
解：，
方程两边同时乘，得：，
去括号，得：，
解得：，
经检验，是方程得解，
所以分式方程的解是；
【小问2详解】
，
方程两边同时乘，得：，
去括号，得：，
解得：，
检验，时，
所以不是原方程的解，
原分式方程无解．
21. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上．
（1）以点为旋转中心，将绕点逆时针旋转得到，画出；
（2）画出关于原点O成中心对称的，则点的坐标为 ．
（3）若可看作是由绕点逆时针旋转得到的，则点的坐标为 ．
【答案】（1）图形见解析
（2）图形见解析；
（3）
【解析】
【分析】本题考查旋转作图，坐标与图形．
（1）通过找点，描点，连线方法进行作图即可；
（2）先找到点A，B，C关于原点对称的点，再连线作图即可；
（3）根据可看作是由绕点逆时针旋转得到的，可得，结合图形即可得到点的坐标．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
点的坐标为；
故答案为：
【小问3详解】
解：∵可看作是由绕点逆时针旋转得到的，
∴，
∵点，
∴点P的坐标为．
故答案为：
22. 如图，矩形的对角线与相交于点，延长到点，使，连接．试判断四边形的形状并说明理由．
【答案】四边形是平行四边形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定．矩形的性质得到，根据，得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵矩形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
23. 如图，四边形是平行四边形，是对角线上两点，且．
求证：
（1）；
（2）
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了平四边形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质．
（1）由平行四边形的性质可出，，然后利用即可证明．
（2）由可得出，，再利用等角的补角相等得出，可得出，即可证四边形是平行四边形，即可得出．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴
【小问2详解】
由（1）知，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
24. 如图，四边形中，，，点是的中点，与交于点，且是的中点.
（1）求证：四边形是菱形：
（2）若，，求四边形的面积.
【答案】（1）见解析；（2）15
【解析】
【分析】（1）由题意得四边形ADCE是平行四边形，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AE=CE,即可证得；
（2）由题意得：，再由菱形的性质得，即可求得面积．
【详解】证明
（Ⅰ）∵
∴
∵是中点
∴
在和中，

∴
∴
∵，是中点
∴
∴，且
∴四边形是平行四边形
且
∴四边形是菱形
（2）∵，，
∴
∵是中点
∴
∵四边形是菱形
∴
∴四边形的面积,
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，利用三角形中线的性质求三角形面积是解题的关键．
25. 已知关于的分式方程
（1）若该方程的增根为，求的值；
（2）若该方程有增根，求的值．
（3）若该方程无解，求的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据分式方程解法，去分母得到方程，再由增根的定义得到方程求解即可得到答案；
（2）根据分式方程增根的定义，得到增根为或，根据分式方程解法去分母，将增根代入求解即可得到答案；
（3）根据解分式方程的方法，当有增根时，方程无解；当，方程无解；从而得到答案．
【小问1详解】
解：，
去分母得，即，
该方程的增根为，
，解得；
【小问2详解】
解：若分式方程有增根，则增根为或，
由（1）去分母得，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，或；
【小问3详解】
解：由（2）知当或，方程有增根，则分式方程无解；
由（1）可知，原分式方程去分母后得到，
当，即时，方程无解；
综上所述，或．
【点睛】本题考查解分式方程，涉及分式方程有增根、分式方程无解的条件、增根定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键．
26. 某商场用元购进A、B两类商品共个，购买A商品与购买B商品的费用相同，已知A类商品的单价是B类商品单价的倍．求A、B两类商品的单价各是多少？
【答案】A口罩单价为元/个，B口罩单价为3元/个
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的实际应用．依题意，根据A口罩的单价口罩的单价、数量总价单价、A口罩的数量口罩的数量三等量关系列出方程，解之即可解答．
【详解】解：设B口罩的单价为x元/个，则A口罩单价为元/个． 根据题意，得
，
解之，得．
检验：当时，，
∴是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A口罩单价为4.5元/个，B口罩单价为3元/个．
27. 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．
如：；．
根据上面材料回答下列问题：
（1）下列分式中，属于“假分式”的是： （填序号）：
① ② ③ ④
（2）假分式可化为带分式形式 ；
（3）将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，写出过程．
（4）先化简分式，并求取什么整数时该分式的值为整数．
【答案】（1）①③ （2）
（3），过程见解析
（4）；取时该分式的值为整数
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的混合运算：
（1）根据“假分式”的定义，逐项判断即可求解；
（2）根据材料中假分式化带分式的方法解答，即可求解；
（3）根据材料中假分式化带分式的方法解答，即可求解；
（4）先化简原式分式，再把所得结果化为带分式，可得的值为整数，即可求解．
【小问1详解】
解：①是假分式；
②不是假分式；
③是假分式；
④是真分式；
属于“假分式”的是：①③；
故答案为：①③
【小问2详解】
解：；
故答案为：
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
，
∵该分式的值为整数，
∴的值为整数，
即9是的倍数，
∴取，
∴x的值为，
即取时该分式的值为整数．
28. 如图1，将矩形放在直角坐标系中，为原点，点在轴上，点在轴上，．把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点．
（1）点的坐标为 ；点的坐标为 ；
（2）如图2，过点作，交于点，交于点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，点是坐标轴上一点，直线上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）四边形是菱形，理由见解析
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）证明，设，则，在中，利用勾股定理构建方程求解即可；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
（3）有5种情形，画出图形分别求解即可．
【小问1详解】
解：四边形是矩形，，
∴，
∴
∵把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点，
∴，，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即，
∴点E的坐标为，，
如图，过点D作于点L，交于点K，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴点E的坐标为；
故答案为：；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，理由如下：
∵，
∴，
∵把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点，
∴，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问3详解】
解：当点与点G重合时，点与点A重合时，四边形是平行四边形，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴点D到x轴的距离为，点G到x轴的距离为，
∴，
∴，
∴；
当四边形是平行四边形时，此时点与G重合，且，则；
当四边形是平行四边形时，此时点与C重合，且，
即线段向右平移8个单位得到线段，则点是点0的对应点，点是点D的对应点，
∵，
∴，即；
当四边形是平行四边形时，此时点与A重合，，且，即线段向左平移个单位，再向下平移个单位得到线段，则点O是点D的对应点，点是点的对应点，
∵，
∴，即；
当四边形平行四边形时，且，
∵轴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
即线段向左平移个单位，再向下平移个单位得到线段，则点O是点D的对应点是点的对应点，
∵，
∴，即；
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，翻折变换和平移等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．