2024-2025学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−1,1}，B={(x,y)|x∈A，y∈A}，则A∩B=( )
A. AB. BC. ⌀D. R
2.已知复数z=1+i，则z⋅z−=( )
A. 2B. 2C. −2D. − 2
3.在△ABC中，“sinA=csB”是“C=π2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.若sin(α+β)=1，则sin2α=( )
A. sin2βB. cs2βC. −sin2βD. −cs2β
5.已知数列{an}满足a1=4，an+1=2−4an，则{an}的前2024项的和为( )
A. 2024B. 2025C. 2026D. 2027
6.若实数x，y满足x2+9y2=1，则x+3y的最小值为( )
A. 1B. −1C. 2D. − 2
7.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点A(x1,y1)，B(x2,y2)，O为坐标原点，定义余弦相似度为cs(A,B)=cs，余弦距离为1−cs(A,B).已知A(csα,sinα)，B( 3,−1)，若A，B的余弦距离为13，则cs(2α+π3)=( )
A. −79B. −19C. 19D. 79
8.已知点O为△ABC的外心，且向量AO=λAB+(1−λ)AC，λ∈R，若向量BA在向量BC上的投影向量为15BC，则csB的值为( )
A. 32B. 55C. 2 55D. 12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正项等比数列{an}中，a4=4，a6=16，则( )
A. 数列{anan+1}的首项为12B. 数列{anan+1}是公比为2的等比数列
C. 数列{anan+1}是公比为4的等比数列D. 数列{anan+1}的前n项和为16(4n−1)
10.下列向量运算，一定正确的有( )
A. (a+b)⋅(a−b)=a2−b2B. |a+b|2=a2+2a⋅b+b2
C. |a+b||a−b|=|a2−b2|D. |a+b|3=(a+b)3
11.已知函数f(x)=ex+e−x2，函数g(x)=ex−e−x2，x∈R，则( )
A. 对任意实数x，f2(x)−g2(x)=1
B. 存在实数x，使得f(x)>2g(x)
C. 对任意实数x，y，g(x+y)g(x−y)=g2(x)+g2(y)
D. 若直线y=t与函数y=f(x)和y=g(x)的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3>ln(1+ 2)
三、填空题：本题共3小题，共13分。
12.函数y=ln(−x2+2x)的定义域为______．
13.已知点C在以AB为直径的圆上，点D为BC的中点，若AB=8，AC=4，则DA⋅DB的值为______．
14.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a4=6，S5=20，设bn=sin2csancsan+1，则a5= ______，数列{bn}的前n项和为______(用n表示)．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设函数f(x)=(ex+ke−x)sinx，x∈R．
(1)若函数f(x)为偶函数，求实数k的值；
(2)当k=0且x∈[−2π,2π]时，解不等式f(x)+f(−x)>0．
16.(本小题15分)
设函数f(x)=sinx+csx，x∈R，△ABC的内角A满足f(A)= 2．
(1)求A的值；
(2)若AB⋅BC=−12BC2，且边BC的长为1，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
在△ABC中，AB=6，AC=3，∠BAC=π3，点D在边BC上，AD为∠BAC的平分线．
(1)求AD的长；
(2)若点P为线段AD上一点，且△PCD为等腰三角形，求tan∠ABP的值．
18.(本小题17分)
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足(an+1)2=4Sn，n∈N∗．
(1)求证：数列{an}为等差数列，并求出它的通项公式；
(2)若数列{an+λ}的前n项和为Tn，Tn≤2n−2+(n−1)2恒成立，求实数λ的最大值；
(3)已知数列{bn}满足b1=b2=1，bnbn+1bn+2=2an，求{bn}的前n项和Pn．
19.(本小题17分)
设函数f(x)=xex，x∈R．
(1)求f(x)的极值；
(2)已知实数a>0，若存在正实数x使不等式a⋅3axln3−f(lnx)x≤0成立，求a的取值范围；
(3)已知不等式f(m)−f(n)>k(m−n)2对满足m>n>0的一切实数m，n恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.A
5.D
6.D
7.B
8.B
9.ACD
10.AB
11.ABD
12.(0,2)
13.−12
14.8 tan2n
15.解：(1)由于f(x)为偶函数，故f(−x)=f(x)恒成立，
故f(−x)=(e−x+kex)sin(−x)=−(e−x+kex)sinx=f(x)，
因此(ex+ke−x+e−x+kex)sinx=0对任意的x∈R恒成立，
故(k+1)(ex+e−x)=0恒成立，故k=−1；
(2)当k=0时，f(x)=exsinx，
则f(x)+f(−x)=exsinx+e−xsin(−x)=(ex−e−x)sinx>0，
当x∈(0,π)时，sinx>0，则(ex−e−x)sinx>0⇒ex−e−x>0⇒x>0，故此时不等式的解为(0,π)，
当x∈(π,2π)时，sinx<0，则(ex−e−x)sinx>0⇒ex−e−x<0⇒x<0，故此时不等式的解为⌀，
当x∈(−π,0)时，sinx<0，则(ex−e−x)sinx>0⇒ex−e−x<0⇒x<−x⇒x<0，故此时不等式的解为(−π,0)，
当x∈(−2π,−π)时，sinx>0，则(ex−e−x)sinx>0⇒ex−e−x>0⇒x>−x⇒x>0，故此时不等式的解为⌀，
综上可知：不等式的解为(−π,0)∪(0,π)．
16.解：(1)由题意得f(x)=sinx+csx= 2sin(x+π4)，
因为f(A)= 2，所以 2sin(A+π4)= 2，
即sin(A+π4)=1，
因为A∈(0,π)，所以A+π4∈(π4,5π4)，
所以A+π4=π2，则A=π4；
(2)在△ABC中，设A、B、C的对边为a、b、c，
由AB⋅BC=−12BC2，则AB⋅AC−AB2=−12BC2，
得|AB|⋅|AC|csA−|AB|2=−12|BC|2，
又BC=1，即|BC|=1，由(1)知A=π4，
则c⋅b⋅ 22−c2=−12，
又由余弦定理得b2+c2−2bc⋅ 22=1，
解得b2=c2=2+ 22，
所以S△ABC=12b2⋅ 22= 2+14．
17.解：(1)因为AD为∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD=30°，
因为S△ABC=S△ABD+S△ACD，
所以12AB⋅AC⋅sin∠BAC=12AD⋅AC⋅sin∠CAD+12AB⋅AD⋅sin∠BAD，
所以12×6×3× 32=12⋅AD⋅3×12+12×6⋅AD⋅12，
即9 3=92AD，可得：AD=2 3；
(2)由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs60°，
所以BC2=36+9−2×6×3×12=27，所以BC=3 3，
由角平分线定理可得：ABAC=BDDC=63=2，
又因为BC=3 3，所以BD=2 3,DC= 3，
又因为AC=3，AD=2 3，
所以DC2+AC2=AD2，所以∠C=π2,∠ADC=π3，
又因为△PCD为等腰三角形，∠ADC=π3，
所以△PCD为等边三角形，所以PD= 3，
则P为AD的中点，在△BDP中，
由余弦定理可得BP2=BD2+PD2−2BD⋅PD⋅cs120°=15+6=21，
所以BP= 21，故在△ABP中，
由余弦定理可得cs∠ABP=BP2+AB2−AP22AB⋅BP=21+36−32× 21×6=9 2142，
因为∠ABP∈(0,π2)，所以sin∠ABP= 714，
所以tan∠ABP= 39．
18.解：(1)证明：由(an+1)2=4Sn，n∈N∗，
可得n=1时，(a1+1)2=4S1=4a1，所以a1=1，
由(an+1)2=4Sn可得(an+1+1)2=4Sn+1，
相减可得(an+1+1)2−(an+1)2=4Sn+1−4Sn=4an+1，
因此an+12−an2=2(an+1+an)⇒(an+1+an)(an+1−an−2)=0，
由于{an}为正项数列，所以an+1+an>0，an+1−an=2，
故数列{an}是首项为1，公差为2的为等差数列，
故an=2n−1；
(2)an+λ=2n−1+λ，由等差数列的求和公式，可得Tn=(1+2n−1)n2+λn=n2+λn，
由Tn≤2n−2+(n−1)2可得n2+λn≤2n−2+(n−1)2，化简可得λn≤2n−2−2n+1，
因此λ≤2n−2−2n+1n，
记cn=2n−2−2n+1n，则cn+1−cn=2n−1−2(n+1)+1n+1−2n−2−2n+1n=n2n−1−2n(n+1)+n−(n+1)(2n−2−2n+1)n(n+1)
=(n−1)2n−2−1n(n+1)，
当n=1时，c2−c1=−12<0，故c2当n≥3，n∈N∗时，n−1≥1,2n−2≥12,(n−1)2n−2−1≥0,(n−1)2n−2−1n(n+1)≥0，
cn+1−cn≥0，故⋯≥c4≥c3，
故c2=c3=−1为数列{cn}的最小项，故λ≤−1，
故λ的最大值为−1；
(3)由bnbn+1bn+2=2an可得bn+3bn+1bn+2=2an+1，
故bn+3bn+1bn+2bnbn+1bn+2=2an+12an⇒bn+3bn=2an+12an=2an+1−an=22=4，
又b1b2b3=2a1=2，故b3=2，
可得b3n−2=1×4n−1=4n−1，
b3n−1=1×4n−1=4n−1，
b3n=2×4n−1，
故当n=3k，k∈N∗时，Pn=P3k=(b1+b4+...+b3k−2)+(b2+b5+...+b3k−1)+(b3+b6+...+b3k)
=1−4k1−4+1−4k1−4+2(1−4k)1−4=4(4n3−1)3，
当n=3k−1，k∈N∗时，则Pn−2=P3k−3=4(4k−1−1)3，
Pn=Pn−2+bn−1+bn=4(4k−1−1)3+b3k−2+b3k−1=4(4k−1−1)3+4k−1+4k−1=10×4k−1−43，
当n=3k−2，k∈N∗时，
则Pn−1=P3k−3=4(4k−1−1)3，
Pn=Pn−1+bn=4(4k−1−1)3+b3k−2=4(4k−1−1)3+4k−1=7×4k−1−43，
综上可得Pn=4(4k−1)3,n=3k10×4k−1−43,n=3k−17×4k−1−43,n=3k−2，即Pn=4(4n3−1)3,n=3k10×4n−23−43,n=3k−17×4n−13−43,n=3k−2，其中k∈N∗．
19.解：(1)易知f(x)的定义域为R，
可得f′(x)=(x+1)ex，
当x<−1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)有极小值f(−1)=−1e，无极大值．
(2)若a⋅3axln3−f(lnx)x≤0且x∈(0,+∞)，
此时ax⋅3axln3−f(lnx)=3axln3ax−xlnx≤0，
所以当a>0时，∃x∈(0,+∞)使3axln3ax≤xlnx成立，
令y=xlnx，
可得y′=1+lnx，
当x=1时，y=0，
当0当x>1e时，y′>0，y单调递增，对应值域为(−1e,+∞)，
因为3ax>1，
所以x≥3ax>1e，
即x≥3ax>1，
此时0设g(x)=lg3xx，函数定义域为(1,+∞)，
可得g′(x)=lg3exx2，
故10，g(x)单调递增；
当x>e时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)max=g(e)=lg3ee，
则0故a的取值范围为(0,lg3ee]；
(3)令m−n=t>0，
此时f(m)−f(n)=mem−nen>k(m−n)2，
所以k<(n+t)en+t−nent2=nen⋅et−1t2+en⋅ett在n，t∈(0,+∞)上恒成立，
设φ(n)=nen⋅et−1t2+en⋅ett，函数定义域为(0,+∞)，
令φ(n)在定义域上单调递增，
此时φ(n)>φ(0)=ett，
令k(t)=ett，
可得k′(t)=(t−1)ett2，
当t∈(0,1)时，k′(t)<0，k(t)单调递减；
当t∈(1,+∞)时，k′(t)>0，k(t)单调递增，
所以k(t)≥k(1)=e，
综上φ(n)>e．
则实数k的取值范围为(−∞,e]．