2024-2025学年北京市东城区第一零九中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市东城区第一零九中学高三上学期期中考试数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z的共轭为z，若z+z=2，则z的实部为( )
A. 1B. −1C. −iD. i
2.已知函数f(x)=(x−a)(x−b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)=ax+b的图象是( )
A. B.
C. D.
3.在▵ABC中，a=1，b= 3，A=30∘，则c=( )
A. 1B. 2C. 1或2D. 无解
4.已知数列1an是首项为5，公差为2的等差数列，则a11=( )
A. 125B. 122C. 117D. 119
5.已知正四棱锥S−ABCD，底面边长是2，体积是4 33，那么这个四棱锥的侧棱长为( )
A. 3B. 2C. 5D. 2 2
6.已知向量a,b满足2≤a⋅b≤4，且|a⇀|=2，则|b⇀|的取值范围是( )
A. 0,1B. 1+∞C. 2,+∞D. 0,2
7.设等比数列an的前n项和为Sn，则“a10,θb>0)的离心率为12，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为F1、F2.过右焦点F2的直线l交椭圆于点M、N，且△F1MN的周长为16．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记直线AM、BN的斜率分别为k1、k2，证明：k1k2为定值．
20.(本小题12分)
已知整数n≥4，数列A:a1,a2,...,an是递增的整数数列，即a1,a2,...,an∈Z且a1B，
又csinC=bsinB，sinC=csinBb=(1+ 3)× 222= 2+ 64，∴C角可能为锐角也可能为钝角，三角形是两解，不合题意；
选③，csA= 32，而A∈(0,π)，∴A=π6，sinA=12，以下同选①．

17.(1)证明：过M作MN//CD交PD于N，连接AN，
则MNCD=PMPC=13，∴MN=13CD=1，
又AB//CD，AB=1，
∴AB//MN，AB=MN，
∴四边形ABMN是平行四边形，
∴BM//AN，又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，
∴BM//平面PAD．
(2)连接BD，
∵AB=1，AD=2，∠BAD=π3，∴BD= 1+4−2×1×2×csπ3= 3，
∴AB2+BD2=AD2，∴AB⊥BD，
又AB//CD，∴BD⊥CD，
以D为原点，以DB，DC，DP为坐标轴建立空间直角坐标系D−xyz，如图所示，
则D0,0,0，M0,1,2，P0,0,3，B 3,0,0，C0,3,0，
∴DM=0,1,2，BC=− 3,3,0，BP=− 3,0,3，
设平面PBC的法向量为n=x,y,z，则{n⇀⋅BC⇀=0n⇀⋅BP⇀=0，即− 3x+3y=0− 3x+3z=0,
令y=1可得n= 3,1,1，
∴csDM,n=DM⋅nDMn=3 5× 5=35，
∴直线DM与平面PBC所成的角的正弦值为35．
(3)∵MC=2PM，
∴VM−PAB=13VC−PAB=13VP−ABC=13×13×12×1× 3×3= 36．

18.(1)由表可知，男生成绩优秀的人数为6人，女生成绩优秀的人数为7人，
则该学校男生综合成绩的优秀率为615=25，女生综合成绩的优秀率为715；
(2)表中成绩良好的男生5人，女生4人，共9人，
从中随机抽取3人，女生人数X为0，1，2，3．
则P(X=0)=C53C93=542，P(X=1)=C41C52C93=1021，P(X=2)=C42C51C93=514，P(X=3)=C43C93=121．
∴X的分布列为：
E(X)=1×1021+2×514+3×121=43；
(3)3名学生的综合成绩为88，87，80．

19.解：(1)由△F1MN的周长为16，及椭圆的定义，可知：4a=16，即a=4，
又离心率为c=ca=12所以c=2，
b2=a2−c2=16−4=12，
所以椭圆C的方程为：x216+y212=1 ；
(2)
依题意，直线l与x轴不重合，
设l的方程为：x=my+2．
联立x216+y212=1x=my+2得：3m2+4y2+12my−36=0，
因为F2在椭圆内，所以Δ>0，
即12m2+43m2+4×36>0，易知该不等式恒成立，
设Mx1,y1,Nx2,y2，
则y1+y2=−12m3m2+4,y1y2=−363m2+4．
又A(−4,0),B(4,0)，则
k1k2=y1x1+4y2x2−4=y1x2−4y2x1+4=y1my2−2y2my1+6=my1y2−2y1my1y2+6y2
注意到y1+y2y1y2=−12m−36=m3，即：my1y2=3y1+y2，
则k1k2=my1y2−2y1my1y2+6y2=3(y1+y2)−2y13(y1+y2)+6y2=y1+3y23y1+9y2=13．

20.(1)根据“相邻数列”的概念可知b1=a1=2，b4=a4=8，
b2=a1+1=3或b2=a3−1=5，b3=a2+1=5或b3=a4−1=7，
所以A的所有“相邻数列”有2,3,5,8；2,3,7,8；2,5,5,8；2,5,7,8．
(2)任取A的一个“相邻数列”B:b1,b2,...,b10，
因为b2=a1+1=b1+1>b1或b2=a3−1≥a2>a1=b1，
b9=a8+1≤a9