2023-2024学年天津市红桥区高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年天津市红桥区高一（下）期中数学试卷（含答案），共5页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(−2,3)，b=(4,−2)，则a+b=( )
A. (−2,1)B. (−2,−1)C. (2,1)D. (−2,5)
2.设平面向量a=(1,2)，b=(x,−3)，若a//b，则x=( )
A. −6B. −32C. −23D. 6
3.已知复数z满足(3+4i)z=5i，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.已知向量a，b的位置如图所示，若图中每个小正方形的边长均为1，则|a+b|=( )
A. 2 2B. 2 3
C. 4D. 2 5
5.若复数z=(m2+m−6)+(m2−m−2)i，当z是纯虚数时，实数m值为( )
A. −1或2B. 2或−3C. 2D. −3
6.在△ABC中，已知角A=π4，B=π3，边AC= 3，则边BC=( )
A. 2B. 3C. 1D. 6
7.把函数y=sin(x−π3)的图象向右平移π3个单位得到的函数解析式为( )
A. y=sinxB. y=csxC. y=sin(x−2π3)D. y=cs(x−2π3)
8.在函数①y=cs|2x|，②y=|csx|，③y=cs(2x+π6)，④y=tan(2x−π4)中，最小正周期为π的所有函数为( )
A. ①②③B. ①③④C. ②④D. ①③
9.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ| 0)的部分图象如图所示，则( )
A. y=2sin(2x−π6)B. y=2sin(2x−π3)
C. y=2sin(x+π6)D. y=2sin(x+π3)
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.i是虚数单位，复数7+i3+4i=______．
11.若a为实数，且2+ai1+i=3+i，则a=______．
12.若i为虚数单位，则复数3i−11+i的模是______．
13.已知平面向量a，b，若|a|=2，|b|=3，且a⊥b，则|2a−b|= ______
14.设△ABC的内角，A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B.则a的值为______．
15.在△ABC中，OA+OB+OC=0，AE=2EB，|AB|=λ|AC|，若AB⋅AC=9AO⋅EC，则实数λ= ______．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知复数z=51+2i+1+i，i为虚数单位．
(1)求z−；
(2)若复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根，求实数m，n的值．
17.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b=1，c= 2，csA=− 24．
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)求cs(2A−π6)的值．
18.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+c2=b2−ac．
(Ⅰ)求角B的值；
(Ⅱ)若a= 3，b=3，求△ABC的面积．
19.(本小题10分)
已知函数f(x)= 2sinxcsx− 2sin2x．
(Ⅰ)求f(x)的单调增区间；
(Ⅱ)求f(x)在区间[−π2,0]上的最小值．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.D
5.D
6.A
7.C
8.A
9.A
10.1−i
11.4
12. 5
13.5
14.2 3
15. 62
16.解：(1)因为复数z=51+2i+1+i=5(1−2i)(1+2i)(1−2i)+1+i=5(1−2i)1−4i2+1+i=1−2i+1+i=2−i，
所以z−=2+i；
(2)因为复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根，
所以(2−i)2+m(2−i)+n=0，
可得4−4i+i2+2m−mi+n=0，即(3+2m+n)−(m+4)i=0，
所以3+2m+n=0m+4=0，解得m=−4，n=5．
17.解：(Ⅰ)因为b=1，c= 2，csA=− 24，
所以由余弦定理可得a= b2+c2−2bccsA= 1+2−2×1× 2×(− 24)=2；
(Ⅱ)由题意sinA= 1−cs2A= 144，sin2A=2sinAcsA=− 74，cs2A=2cs2A−1=−34，
所以cs(2A−π6)=cs2Acsπ6+sin2Asinπ6=(−34)× 32+(− 74)×12=−3 3+ 78．
18.解：(Ⅰ)因为a2+c2=b2−ac，可得a2+c2−b2=−ac，
所以csB=a2+c2−b22ac=−ac2ac=−12，
因为B∈(0,π)，
所以B=2π3；
(Ⅱ)因为a= 3，b=3，a2+c2=b2−ac，可得3+c2=9− 3c，整理可得c2+ 3c−6=0，
解得c= 3，或−2 3(舍去)，
所以△ABC的面积S=12acsinB=12× 3× 3× 32=3 34．
19.解：(I)由题意得，f(x)= 22sin2x+ 22cs2x− 22=sin(2x+π4)− 22，
令−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，
解得，x∈[kπ−3π8,kπ+π8],k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8]，k∈Z；
(Ⅱ)因为−π2≤x≤0，
所以−3π4≤2x+π4≤π4，
所以−1≤sin(2x+π4)≤ 22，
当x=−3π8时，函数取得最小值为−1− 22