四川省成都市邛崃市第二片区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份四川省成都市邛崃市第二片区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作＋10℃，则－3℃表示气温为（ ）
A．零上3℃B．零下3℃C．零上7℃D．零下7℃
2．如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．八年级（1）班与（2）班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为17.5，（2）班成绩的方差为15，由此可知（ ）
A．（1）班比（2）班的成绩稳定B．（2）班比（1）班的成绩稳定
C．两个班的成绩一样稳定D．无法确定哪班的成绩更稳定
5．已知，则的值是（ ）
A．B．C．1D．
6．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．《九章算术》是我国古代数学的重要著作，“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，尺、寸、丈不是法定计量单位）若设高是x尺，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，，，，，在边AB上取点，使得与相似，则这样的点共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
9．因式分解：__________．
10．方程的根为__________．
11．已知是关于的一元二次方程的一个根，则实数的值是__________．
12．在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是__________．
13．两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象，已知一根点燃的蜡烛距小孔20cm，光屏在距小孔30cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2cm，则光屏上火焰所成像的高度为__________cm．
14．若是关于的一元二次方程的解，则的值是__________．
15．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为__________cm．（结果保留根号）
16．如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若，，则矩形的对角线AC的长为__________．
17．如图，在矩形中，对角线AC，BD相交于点，，垂足为，，，则AB的值为__________．
18．如图，在中，，，D和M分别是BC、AC边上的动点，则的最小值是__________．
三、计算题：本大题共1小题，共8分．
19．某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．
四、解答题：本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
20．（本小题12分）
（1）计算：；
（2）解不等式组．
21．（本小题8分）
若关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设方程的两根分别是、，且满足，求的值．
22．（本小题10分）
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的；
（2）画出将绕原点顺时针方向旋转90°得到；
（3）在轴上存在一点，满足点到与点距离之和最小，请直接写出点的坐标．
23．（本小题10分）
如图，在中，，，．动点从点出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒，连接MN．
（1）若与相似，求t的值；
（2）连接AN，CM，若，求t的值．
24．（本小题8分）
某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32．4元．
（1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率；
（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
25．（本小题10分）
如图1，直线与坐标轴分别交于点A，B，与直线交于点．
（1）求的面积；
（2）如图2，若有一条垂直于轴的直线以每秒1个单位的速度从点出发沿射线AO方向做匀速滑动，分别交直线，及轴于点M，N和．设运动时间为，连接1．
①当时，求的值；
②试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
26．（本小题12分）
已知线段BD是正方形的一条对角线，点E在射线BD上运动，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°，得到线段CF，连接DF．
（1）如图1，若点E在线段BD上，请直接写出线段BE与线段DF的数量关系与位置关系；
【模型应用】
（2）如图2，若点E在线段BD的延长线上运动，请写出线段CD，DE，DF之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，已知线段BD是矩形的一条对角线，，，点E在射线BD上运动，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°，得到CM，在CM上截取线段，连接EF，若，直接写出线段EF的长．
答案和解析
1．【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，由此直接得出结论即可．
【解答】
解：若气温为零上10℃记作＋10℃，则－3℃表示气温为零下3℃．
故选：B．
2．【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了简单几何体的三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】
解：从正面看，易得上面一层最右边有1个正方形，下面一层有3个正方形，故A、B、D错误，C正确．
故选C．
3．【答案】A
【解析】解：A：，正确；
B：因为，与不是同类项，不能合并，所以B选项错误；
C：，所以C选项错误；
D：，所以D选项错误；
故：选A
合并同类项只是将同类项的系数相加，字母及其指数都不变，而的错误之处是把合并同类项与同底数幂的乘法混为一谈了
本题容易出错的选项是B选项，有些学生把合并同类项与同底数幂的乘法运算混为一谈，需要注意．
4．【答案】B
【解析】解：班成绩的方差为17．5，（2）班成绩的方差为15，
（1）班成绩的方差>（2）班成绩的方差，
（2）班比（1）班的成绩稳定．
故选：B．
根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．【答案】D
【解析】解：令，得：、、，．
故选：D．
令，得到：、、，然后代入即可求解．
本题考查了比例的性质，解题的关键是用一个字母表示出a、b、c，然后求值．
6．【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
根据判别式的意义得到，然后解一元一次不等式即可．
【解答】
解：根据题意得，解得．
故选：C．
7．【答案】C
【解析】解：高是x尺，则宽为尺，根据勾股定理，得，
故选：C．
高是x尺，则宽为尺，根据矩形门的高、宽、对角线构成直角三角形，利用勾股定理即可列出方程．
本题考查勾股定理，正确理解题意，找到各个量的关系列出方程是解题的关键．
8．【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
设，则有，分两种情况考虑：三角形与三角形相似；三角形与三角形相似，分别求出x的值，即可确定出P的个数．
【解答】
解：设，则有，
由，当，时，即，解得：或，
当，时，即，解得：，
综上，这样的点共有3个，
故选：C．
9．【答案】
【解析】【分析】
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
【解答】
解：
．
故答案为：．
10．【答案】，，
【解析】解：，
，，，或，，，
故答案为：，．
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程—因式分解法．
11．【答案】
【解析】解：把代入方程得：，解方程得．
故答案为：
已知是关于的一元二次方程的一个根，把代入方程，即可得到一个关于的方程，解方程即可求出值．
本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
12．【答案】6
【解析】解：装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，
该盒子中装有黄色乒乓球的个数是：．
故答案为：6．
直接利用摸到黄色乒乓球的概率为，利用总数乘以概率即可得出该盒子中装有黄色乒乓球的个数．此题主要考查了概率公式，正确利用摸到黄色乒乓球的概率求出黄球个数是解题关键．
13．【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．如图，，，，通过证明得到，然后利用比例性质求CD即可．
【解答】
解：如图，，，，
，，，
即，，
即光屏上火焰所成像的高度为3cm．
故答案为3．
14．【答案】2025
【解析】解：将代入原方程得：，
，．
故答案为：2025．
将代入原方程，可得出，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的解，将方程的解代入原方程，求出是解题的关键．
15．【答案】
【解析】解：点是靠近点的黄金分割点，，
，
点是靠近点的黄金分割点，，
，
，
支撑点C，D之间的距离为，
故答案为：．
根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
16．【答案】
【解析】解：连接AE，如图，由作法得MN垂直平分AC，，
在中，，
在中，．
故答案为．
连接AE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AC，则，然后利用勾股定理先计算出AD，再计算出AC．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于己知角；作己知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线：过一点作已知直线的垂线）．
17．【答案】
【解析】解：四边形是矩形，，
，，，，
，，
为等边三角形，，
，，，，，
故答案为：．
根据矩形的对角线相等且平分，以及到线段两端点的距离相等的点在线段的中垂线上，得到为等边三角形，利用30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可．
本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质．解答本题的关键是首先推导出为等边三角形．
18．【答案】
【解析】解：如图作点A关于BC的对称点E，连接BE、AE交BC于点O，
作垂足为M，EM交BC于，此时最小（垂线段最短）．
，，，，
，，，
，，．最小值为，
故答案为．
如图作点A关于BC的对称点E，连接BE、AE交BC于点O，作垂足为M，EM交BC于D，此时最小，由，得即可解决问题．
本题考查轴对称—最短问题、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称，垂线段最短找到点D、M的位置，属于中考常考题型．
19．【答案】解：（1）（名），
答：这次调查的学生共有280名；
（2）（名），
（名），
补全条形统计图，如图所示，
根据题意得：，，
答：“进取”所对应的圆心角是108°；
（3）由（2）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为：
用树状图为：
共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种，
恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是．
【解析】（1）根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可；
（2）求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可；
（3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“C”和“E”的情况数，即可求出所求的概率．此题考查了列表法与树状图法，扇形统计图，以及条形统计图，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【答案】解：
．
（2）解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为：．
【解析】（1）根据实数的运算法则计算即可求解；
（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题考查了实数的运算，求不等式组的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．【答案】解：（1）关于的方程有两个不相等的实数根，
，即，解得：；
（2）设方程的两根分别是、，
，，
又，，即，
，，
解得：，符合题意．
【解析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得出方程解答即可．
本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系，关键是一元二次方程根与系数关系的应用．
22．【答案】解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）如图，点即为所求，点的坐标，
【解析】【分析】
本题考查作图-平移变换，旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，．即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，；
（3）作点关于轴的对应点，连接交轴于点，点即为所求．
【解答】
解：（1）（2）见答案；
（3）作关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，
点，，设，
，解得：，
，令，则，解得，点．
故答案为：点．
23．【答案】解：（1），，，
，
由题意得，，．
当时，，即，解得：；
当时，，即，解得：，
综上所述，与相似时，的值为或；
（2）如图，过点作于点，
，，
，，
，，，，
，，，
，，，，．，，
，，即，解得．
【解析】（1）根据勾股定理求出AB，分，两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（2）过点M作于点D，分别证明，，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
24．【答案】解：（1）设这个降价率为，
依题意，得：，解得：，（舍去）．
答：这个降价率为10%．
（2）设每千克应涨价y元，则每天可售出千克，
依题意，得：，
整理，得：，解得：，．
要使顾客得到实惠，．
答：每千克应涨价5元．
【解析】（1）设这个降价率为，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）设每千克应涨价元，则每天可售出千克，根据总利润=每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．【答案】解：（1）对于直线，
当时，，即，，
当时，，
解得，即，，立，
解得，即，则的面积为；
（2）①由题意可知，，，
，，即，，
，，
解得或；
②，，
，，，
如图，要使以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形，则有三种情况：、和，
当时，则，解得，
当时，则，
解得或（此时点与点重合，舍去），
当时，则，解得，
综上，存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形，此时的值为2或4或．
【解析】（1）先根据一次函数的解析式分别求出，，，再利用三角形的面积公式求解即可得；
（2）①先求出，，，从而可得，再根据建立方程，解方程即可得；
②先求出，，．，再分三种情况：、、，分别建立方程，解方程即可得．
本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的应用、菱形的判定、一元二次方程的应用、两点之间的距离公式等知识，较难的是题（2）（2），正确分三种情况讨论是解答本题的关键．
26．【答案】解：（1），；
四边形是正方形，，，
，
将线段CE绕点顺时针旋转90°，得到线段CF，
，，，
，，
，，
则，即；
（2）；
理由：四边形是正方形，，，
由旋转得，，，
即，，
在中，，，
（3）过点C作于点，四边形是矩形，
，，，
，，
，．
若点E在线段BD上，
，，，
将CE绕点顺时针旋转90°，得到CM，，，
，．
若点E在BD的延长线上时，
同理，，，
同理，．
综上，线段EF的长为或．
【解析】（1）利用正方形、旋转的性质以及边角边关系证全等，即可得到结论；
（2）利用全等的性质得到，利用勾股定理求得，代入转化即可；
（3）利用旋转的性质得到是直角三角形，再根据转化为求CE的长，通过作垂线构造，利用勾股定理求解即可．
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质以及矩形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和直角三角形．
A
B
C
D
E
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
（A，E）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
（B，E）
C
（C，A）
（C，B）
（D，C）
（C，D）
（C，E）
D
（D，A）
（D，B）
（D，E）
E
（E，A）
（E，B）
（E，C）
（E，D）