2024-2025学年度第一学期人教版九年级期末数学预测训练试卷及解答

这是一份2024-2025学年度第一学期人教版九年级期末数学预测训练试卷及解答，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．设是一元二次方程的两根，则（ ）
A．2B．C．D．10
3 . 某市举办的“乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆的出入口示意图．
市民甲、乙从同一入口进入参观，参观结束后，甲、乙两人各自随机选择一个出口离开，
他们恰好从同一出口走出的概率是（ ）

A．B．C．D．
4 . 将二次函数图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数是（ ）
A．B．C．D．
5 . 正方形在坐标系中的位置如图所示，将正方形绕点顺时针方向旋转，
得正方形，则点的对应点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，
则拱高为（ ）

A．B．C．D．
如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点P处放置一水平的平面镜，
光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端C处，若，
测得，则该古城墙的高度是（ ）

A．3mB．4.5mC．8mD．5m
8 . 如图，点是函数图象上一点，过点作轴，轴，
分别与函数的图象相交于点和点，则的面积是（ ）

A．4B．C．6D．
9 . 如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，
则水面应下降的高度是（ ）

A．B．C．D．
10 . 如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，
则截面圆中弦的长为（ ）
A．B．C．D．
11 . 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．
设矩形菜园的边的长为,面积为,其中．

有下列结论：
①x的取值范围为；
②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为；
③矩形菜园的面积的最大值为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
12 . 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），
与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若关于x的一元二次方程的一个根为，则k的值为 ．
如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，
那么小球最终停留在黑色区域的概率是 ．

已知抛物线过，，三点，
则，，的大小关系是 ．（用“”号连接）
如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，
如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，养鸡场的面积最大为 ．

将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，
顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，
则第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为________

18 . 如图，平面直角坐标系中有一点，在以为圆心，2为半径的圆上有一点，
将点绕点旋转后恰好落在轴上，则点的坐标是 ．

三、解答题（本大题共8小题，共66分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解下列方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）(x﹣1)(x+3)＝5(x﹣1)．
20．如图，顶点的坐标分别为，，．

(1)画出绕点A顺时针旋转后得到的；
(2)在旋转的过程中，点B旋转到点时经过的路径长为______．（结果保留）
南宁市某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动．为了解学生参与情况，
随机抽取部分学生对研学活动时长（用表示，单位：h）进行调查．经过整理，
将数据分成四组（A组：；B组：；C组：；D组：），
并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．

(1)请补全条形统计图；
(2)扇形统计图中，的值为___________，A组对应的扇形圆心角的度数为_________；
(3)D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，
请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是两名男生的概率．
22．已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点.

求反比例函数解析式；
(2) 求直线与x轴的交点C的坐标及的面积；
(3) 若、、是反比例函数上的三点，
当时，根据图象直接写出、、的大小关系．
23 .如图，是的直径，点C在上，连接，过点O作于点D，使得．

(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；
第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，
根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低价应高于购进的价格；
第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，
设第二个月降价元，销售这批T恤能获利w元.
(1)填表：
(2)求w与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)批发商通过销售这批T恤最多能获利多少元？
25 . 在和中，，，，
将绕点旋转任意角度，连接，．
完成填空：如图①，当点恰好在线段上时，
线段与的数量关系是______，位置关系是_______．

如图②，直线与直线交于点．

① （1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．
② 若，，请直接写出在旋转过程中，线段长度的取值范围______
26.如图，已知抛物线与轴的一个交点为，
另一个交点为，与轴的交点为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点，使的面积是，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知点为轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标．
2024-2025学年度第一学期人教版九年级期末数学预测训练试卷解答
（试题范围：第21-26章）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故选：C．
2．设是一元二次方程的两根，则（ ）
A．2B．C．D．10
【答案】D
【分析】利用根与系数的关系确定出原式的值即可．
【详解】∵是一元二次方程的两根，
∴， ，
∴，
故选：D
3 . 某市举办的“乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆的出入口示意图．
市民甲、乙从同一入口进入参观，参观结束后，甲、乙两人各自随机选择一个出口离开，
他们恰好从同一出口走出的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种，
他们恰好从同一出口走出的概率是，
故选：．
4 . 将二次函数图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．
【详解】解：将二次函数图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数是，
故选C．
5 . 正方形在坐标系中的位置如图所示，将正方形绕点顺时针方向旋转，
得正方形，则点的对应点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意在所给坐标系中画出正方形绕点顺时针方向旋转后所得的正方形，由此即可得到旋转后点的对应点的坐标.
【详解】解：如图所示，

由图可知，的坐标为（4，0）.
故选：A．
如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，
则拱高为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据垂径定理和勾股定理得出求解即可．
【详解】解：根据垂径定理可知，
在直角中，根据勾股定理得：
则
解得：或4，
根据题中，可知不合题意，故舍去，
∴．
故选：C．
如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点P处放置一水平的平面镜，
光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端C处，若，
测得，则该古城墙的高度是（ ）

A．3mB．4.5mC．8mD．5m
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，结合镜面反射角度相等，证明，列出比例式，求解即可．解题的关键是证明三角形相似．
【详解】解：由题意，结合镜面反射原理知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴该古城墙的高度是4.5m，
故选：B．
8 . 如图，点是函数图象上一点，过点作轴，轴，
分别与函数的图象相交于点和点，则的面积是（ ）

A．4B．C．6D．
【答案】B
【分析】由反比例函数上点的坐标特征，设，则，，根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：设，则，，
，
故选：B．
9 . 如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，
则水面应下降的高度是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查建立平面直角坐标系，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是关键．
以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为与轴交于，水面下降后宽度为与轴交于，由，抛物线的对称轴为轴，可求点利用待定系数法可求抛物线解析式为，设水面下降，可求，，由点在抛物线上，代入解析式解方程即可．
【详解】解：以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为，与轴交于，水面下降后宽度为，与轴交于，

∵，抛物线的对称轴为轴，
∴点，
设抛物线为．
∵抛物线过点，
，
，
∴抛物线解析式为，
设水面下降，
，
，
∵点在抛物线上，
，
解得：．
故选：B．
10 . 如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，
则截面圆中弦的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键．
根据勾股定理求得的长，根据垂径定理可得，进而即可求解．
【详解】解：根据题意得：
，
，
，，
，
在中，
，
故选：B.
11 . 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．
设矩形菜园的边的长为,面积为,其中．

有下列结论：
①x的取值范围为；
②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为；
③矩形菜园的面积的最大值为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的面积，构造二次函数求最值，熟练掌握矩形的性质，二次函数的性质是解题的关键，根据题意，列出方程，构造二次函数计算即可．
【详解】∵，则，依题意，得：
，
∵
∴，
解得，
故①错误；
当时，
即，
解得：，，
当时，不在范围中，舍去，
当时，成立．
故②错误；
，
∴当时，y有最大值为．
故③正确，
故选B．
12 . 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），
与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤
【答案】D
【详解】解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴当x=﹣1时，y==0，
∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，
∵对称轴为直线x=1，
∴=1，即b=﹣2a，
∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，
∴4ac﹣=4•a•（﹣3a）﹣=＜0，
∵8a＞0，
∴4ac﹣＜8a，
故③正确；
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＞a＞，
故④正确；
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c，
故⑤正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若关于x的一元二次方程的一个根为，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入，即可求解，
解题的关键是：明确方程的解一定使原方程成立．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是，
∴，解得：，
故答案为：．
如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，
那么小球最终停留在黑色区域的概率是 ．

【答案】
【分析】本题考查的是几何概率．先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】解：∵由图可知，黑色方砖可拼成3块，共有9块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值，
∴小球最终停留在黑色区域的概率是，
故答案为：．
已知抛物线过，，三点，
则，，的大小关系是 ．（用“”号连接）
【答案】
【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，解题关键是掌握二次函数的对称性及增减性．
根据二次函数的性质，得到对称轴为直线，再利用对称性得到的对称点坐标为，最后利用增减性即可得到答案．
【详解】解：，
对称轴为直线，
的对称点坐标为，
，
抛物线开口向下，有最大值，在对称轴左侧，随的增大而增大，
，
，
故答案为：．
如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，
如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，养鸡场的面积最大为 ．

【答案】
【分析】本题为二次函数的应用，由条件可用表示出鸡场的宽，可用表示出鸡场的面积，再利用二次函数的性质可求得答案．
【详解】解：设养鸡场的长为，则宽为，设养鸡场的面积为，
根据题意可得，
，
抛物线开口向下，
当时，有最大值，
即当时，养鸡场的面积最大，最大值为，
故答案为：．
将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，
顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，
则第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为________

【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型：点的坐标，解直角三角形等知识，6次一个循环，分别求出第一次到第六次的点A的坐标，利用规律解决问题即可．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵将绕原点逆时针旋转，每次旋转，
∴第一次旋转后的坐标为，
第二次旋转后的坐标为，
第三次旋转后的坐标为，
第四次旋转后的坐标为，
第五次旋转后的坐标为，
第六次旋转后的坐标为，
，
6次一个循环，
∵，
∴第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为，
故答案为：
18 . 如图，平面直角坐标系中有一点，在以为圆心，2为半径的圆上有一点，
将点绕点旋转后恰好落在轴上，则点的坐标是 ．

【答案】（，4）或（﹣，4）．
【分析】因为将点P绕点A旋转180°后恰好落在x轴上，推出点P的纵坐标为4，
当点P在第一象限时，过点P作PT⊥y轴于T，连接PM．解直角三角形求出P的坐标，
再根据对称性解决问题即可．
【详解】解：如图，

∵将点P绕点A旋转180°后恰好落在x轴上，点，
∴点P的纵坐标为4，
当点P在第一象限时，过点P作PT⊥y轴于T，连接PM．
∵T（0，4），M（0，3），
∴OM＝3．OT＝4，
∴MT＝1，
∴PT＝＝＝，
∴P（，4），
根据对称性可知，点P关于y轴的对称点P′（﹣，4）也满足条件．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，4）或（﹣，4）．
故答案为：（，4）或（﹣，4）．
三、解答题（本大题共8小题，共66分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解下列方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）(x﹣1)(x+3)＝5(x﹣1)．
解：（1）x2+4x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝﹣1，
∴△＝42﹣4×1×(﹣1)＝20＞0，
则x＝＝＝﹣2，
即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）(x﹣1)(x+3)＝5(x﹣1)，
(x﹣1)(x+3)﹣5(x﹣1)＝0，
(x﹣1)(x﹣2)＝0，
则x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝2．
20．如图，顶点的坐标分别为，，．

(1)画出绕点A顺时针旋转后得到的；
(2)在旋转的过程中，点B旋转到点时经过的路径长为______．（结果保留）
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查作图，旋转以及弧长公式，熟练掌握弧长的公式是解题的关键．
（1）根据旋转的基本作图技巧画图即可；
（2）根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：图形即为所求．
（2）解：，
．
南宁市某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动．为了解学生参与情况，
随机抽取部分学生对研学活动时长（用表示，单位：h）进行调查．经过整理，
将数据分成四组（A组：；B组：；C组：；D组：），
并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．

(1)请补全条形统计图；
(2)扇形统计图中，的值为___________，A组对应的扇形圆心角的度数为_________；
(3)D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，
请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是两名男生的概率．
【答案】(1)见解析
(2)32，
(3)
【分析】本题考查了列表法与树状图法，条形统计图和扇形统计图关联．
（1）用组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后求出组的人数，从而补全统计图；
（2）用组的人数除以总人数，求出，再用乘以组所占的百分比，从而得出组对应的扇形圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出所选的两人恰好是两名男生的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】（1）解：抽取的总人数有：（人），
组的人数有：（人），
补全统计图如下：
（2）解：，即；
组对应的扇形圆心角的度数为：；
故答案为：32，；
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是两名男生的结果数为2，
所以所选的两人恰好是两名男生的概率．
22．已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点.

求反比例函数解析式；
(2) 求直线与x轴的交点C的坐标及的面积；
(3) 若、、是反比例函数上的三点，
当时，根据图象直接写出、、的大小关系．
【答案】(1)；
(2)，6；
(3)．
【分析】（1）把，分别代入一次函数和反比例函数，运用待定系数法分别求其解析式；
（2）把三角形的面积看成是三角形和三角形的面积之和进行计算；
（3）根据图象即可得出答案；
【详解】（1）解：∵在上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵点在上，
∴，
∴，
∵经过，，
∴，
解之得，
∴一次函数的解析式为，
∵C是直线与x轴的交点，
∴当时，，
∴点，
∴，
∴；
（3）解： 根据图象可知：若，则，
∴．
23 .如图，是的直径，点C在上，连接，过点O作于点D，使得．

(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)的长为；
【分析】（1）本题考查切线的证明，连接，证明即可得到答案；
（2）本题考查垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，三角形全等的判定与性质，先根据勾股定理得到，结合垂径定理得到，再证明，结合中位线求解即可得到答案；
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵是半径，
∴为的切线；
（2）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵O是的中点，D是的中点，
∴．
某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；
第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，
根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低价应高于购进的价格；
第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，
设第二个月降价元，销售这批T恤能获利w元.
(1)填表：
(2)求w与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)批发商通过销售这批T恤最多能获利多少元？
【答案】(1)，；；
(2)
(3)批发商通过销售这批T恤最多能获利9000元
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以用含x的代数式表示出第二个月的单价和相应的销售量；
（2）根据题意，可以写出利润与x的函数关系式；
（3）根据二次函数的性质，可以计算出批发商通过销售这批T恤最多能获利多少元．
【详解】（1）解：第二个月降价x元，
则第二个月的单价为元，销售量为件，
清仓时的销售量为件，
故答案为：，；；
（2）解：由题意得：且，
∴，
，
∴；
（3）解：由（2）得，
∵，
∴当时，w取得最大值，此时，
答：批发商通过销售这批T恤最多能获利9000元．
25 . 在和中，，，，
将绕点旋转任意角度，连接，．
完成填空：如图①，当点恰好在线段上时，
线段与的数量关系是______，位置关系是_______．

如图②，直线与直线交于点．

① （1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．
② 若，，请直接写出在旋转过程中，线段长度的取值范围______
【答案】(1)；
(2)①（1）中的两个结论仍然成立，理由见解析；②
【分析】（1）线段与的数量关系是，位置关系是．证明，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理即可得出结论；
（2）①（1）中的两个结论仍然成立．证明，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理即可得出结论；
②分两种情况：当点恰好在线段上时；当点恰好在线段上时，分别求出线段长度即可．
【详解】（1）解：线段与的数量关系是，位置关系是,
理由：设交于点，
∵，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
∴，
故答案为：；；
（2）①（1）中的两个结论仍然成立．
理由：∵，，，
∴，
，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②如图，当点恰好在线段上时，过点作于点，

由①知：，即，此时点与点重合，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，，，，
∴，即，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴，
如图，当点恰好在线段上时，
由①知：，
∵，，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴线段长度的取值范围是．
26.如图，已知抛物线与轴的一个交点为，
另一个交点为，与轴的交点为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点，使的面积是，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知点为轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)或或
【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理，等腰三角形的定义等．
（1）将点和点的坐标分别代入解析式，即可求解；
（2）设点的坐标为，根据三角形的面积列出方程，解方程求出的值，即可求出点的坐标；
（3）先根据勾股定理求出的长，再分为点是等腰的顶点和点是等腰的顶点，两种情况进行分析即可求解．
【详解】（1）解：把点、代入解析式，
得，
解得：，
故抛物线的解析式为．
（2）解：设点的坐标为，
则，
根据题意可得：，
整理得：，
解得：或，
当时，；
当时，；
即点的坐标为，．
（3）解：连接，如图：
在中，，
当点是等腰的顶点时，此时点在点的上方，
则，
故此时点的坐标为；
当点是等腰的顶点，点在点的下方时，
此时，
故此时点的坐标为；
当点是等腰的顶点，点在点的上方时，
此时，
故此时点的坐标为；
故点的坐标为或或．
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价（元）
80
______
40
销售量（件）
200
______
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