北京市第十四中学2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份北京市第十四中学2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转角至，使得点恰好落在AB边上，则等于( )
A.
B.
C.
D.
4.关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围( )
A. B. C. 且D. 且
5.如图，点A，B，C都在上，，点A在上，且，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
6.某厂家2020年月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程( )
A. B.
C. D.
7.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，E是线段BD的中点，连接OE，则线段OE的最大值是( )
A. 2B. C. 3D.
8.计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
若圆的半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为下列描述正确的是( )
A.
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.在平面直角坐标系xOy中，点关于原点对称的点的坐标为______.
10.若是关于x的二次函数，则m的值为______.
11.如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，不等式的解集为______.
12.如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为______.
13.如图，C，D为AB的三等分点，分别以C，D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点E，F，连接若，则EF的长为 .
14.已知函数，当时，函数的最小值是，则实数a的取值范围是______.
15.在二次函数中，y与x的部分对应值如表：
则m，n的大小关系为m ______填“>”“=”或“
【解析】解：由表格知：图象对称轴为：直线，当时，，
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
，n分别为点和的纵坐标，
，
故答案为：
根据表格的x、y的值找出函数的对称轴，利用二次函数的性质即可得出答案．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能根据表中点的坐标特点找出对称轴是解此题的关键．
16.【答案】4；
【解析】解：以AC为边作正，并作，垂足为点H，连接FD、CE，如图：
在中，，，，
，
，
，
正，等边三角形ADE，
，，
在和中，
，
≌，
，
最小即是FD最小，
当时，FD最小，此时，
四边形FDCH是矩形，
，
的最小值是
故答案为：4，
以AC为边作正，并作，垂足为点H，连接FD、CE，在中，，由≌，得，CE最小即是FD最小，此时，故CE的最小值是
本题考查了垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及锐角三角函数的定义，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17.【答案】解：，
，
；
解：，
，
，
原方程无实根；
解：，
，

【解析】先把二次项系数化成1，再直接开平方即可；
先把方程变成般形式，再用公式法计算根的判别式，得出，即可判断出方程无解；
用公式法先计算根的判别式，再用求根公式求解即可．
本题考查了一元二次方程的解法，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
18.【答案】解：；
由二次函数知，该图象与x轴的交点为或；
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，
用上述五点描点连线得到函数图象如下：
或；

【解析】解：见答案；
观察函数图象知，当自变量x的取值范围满足时，
当自变量x的取值范围满足或时，
故答案是：或；
观察函数图象知，当时，y的取值范围是：
故答案是：
利用配方法化简即可；
将已知二次函数解析式转化为两点式，可以直接得到答案；
用“五点法”取值描点连线即可求解；
、观察函数图象即可求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
19.【答案】解：补全图形如图所示，则直线PC即为所求；
直径所对的圆周角等于90度；切线的判定.
【解析】【分析】
本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
根据题干中的作图步骤补全图形即可；
根据直径所对的圆周角等于90度得到，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】
解：见答案；
证明：是的直径，
直径所对的圆周角等于90度，
又是的半径，
是的切线切线的判定
故答案为：直径所对的圆周角等于90度；切线的判定．
20.【答案】证明：，
，，，
，
不论m为何值，该方程总有两个实数根；
解：把代入方程得，
即：，
原式

【解析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
先根据一元二次方程根的定义得到，再把展开得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
21.【答案】解：如图，即为所求，点的坐标；
如图，即为所求，点的坐标

【解析】利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可．
本题考查作图-中心对称，旋转变换等知识，解题的关键是掌握中心对称，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
22.【答案】垂直弦的直径平分弦；45；；
【解析】根据垂径定理，利用勾股定理构建方程求解即可．
本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：如题图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为点O，半径为r cm，
过点O作弦AB的垂线OC，交于点C，点D为垂足，则点D是AB的中点，
其推理依据是：垂直弦的直径平分弦；
经测量：，，则；
用含r的代数式表示OD，，
在中，由勾股定理可列出关于r的方程：
，
解得
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
故答案为：垂直弦的直径平分弦；45；；
23.【答案】解：根据图中信息可设抛物线表达式为，
由抛物线过点，
得，
解得：，
铅球路径所在抛物线的表达式为；
令，
则，
解得：，，
点C在x轴正半轴，
，
，
，
小明此次试投的成绩能达到优秀．
【解析】根据图中信息可设抛物线表达式为，再将点A坐标代入表达式中可求出a值，以此即可求出抛物线的表达式；
根据题意解方程即可解答．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
24.【答案】证明：连接OA，
是切线，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
解：过点O作，垂足为F，
，，求的半径和AD的长．
，，
，
四边形AEFO是矩形，
，，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
，
，
在中，，
的半径为5，AD的长为
【解析】连接OA，根据切线的性质可得，再利用角平分线和等腰三角形的性质可证，然后利用平行线的性质求出，即可解答；
过点O作，垂足为F，根据垂径定理可得，再利用的结论可得四边形AEFO是矩形，从而可得，，然后在中，利用勾股定理求出OF的长，进而可得，最后在中，利用勾股定理求出AD的长，即可解答．
本题考查了切线的性质，角平分线的性质，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：①二次函数经过，
，
，
二次函数的解析式为；
②，
，N关于抛物线的对称轴对称，
对称轴是直线，且，
，，
当时，，
当时，顶点到MN的距离；
若M，N在对称轴的异侧，，
，
，
，
，
，
函数的最大值为，最小值为，
，
，
，
若M，N在对称轴的异侧，，，
，
，
函数的最大值为，最小值为，
，
，
，
，
，
综上所述，
【解析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
①把点代入二次函数的解析式求出a即可；
②判断出M，N关于抛物线的对称轴对称，求出点M的纵坐标，可得结论；
两种情形：若M，N在对称轴的异侧，，若M，N在对称轴的异侧，，，分别求解即可．
26.【答案】解：①如图1中，
，，
，
，
，，，
；
②结论：
理由：如图1中，过点C作交AE于
，
，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
是等腰直角三角形，
，
①补全图形，如图2所示：
②猜想：当D在BC边的延长线上时，；理由如下：
过点C作，交AD的延长线于点F，
如图3所示：则，
，
，
，
即，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是等腰直角三角形，
，
即

【解析】①由等腰直角三角形的性质得出，求出再根据三角形内角和定理得出即可；
②结论：如图1中，过点C作交AE于证明≌，推出，，是等腰直角三角形，即可解决问题．
①依题意补全图形即可；
②猜想：当D在BC边的延长线上时，；过点C作，交AD的延长线于点F，证出，，由ASA证明≌，得出，得出是等腰直角三角形，由勾股定理得出，即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，通过作辅助线证明三角形全等是解题关键．
27.【答案】解：①连接WP，
是弦MN的中点，
，
，，
，
轴，，
，
，
；
②，，
点在以W为圆心，为半径的圆上，
顺时针旋转得到OQ，
点在以为圆心，为半径的圆上，
，
；
是MN的中点，
，
，
，
，，
，
，
点在以MW为圆心的圆上，
顺时针旋转得到OQ，
点在以为圆心，1为半径的圆上，
线段AB上存在弦MN的“中点对应点”点Q，
直线与圆G相切或相交，
，
解得或，
时，线段AB上存在弦MN的“中点对应点”点
【解析】①连接WP，由垂径定理可得，再由勾股定理求出OP的长即可求OQ；
②根据题意可得Q点在以为圆心，为半径的圆上，再求WQ的取值范围即可；
由题意可得Q点在以为圆心，1为半径的圆上，再由线段AB上存在弦MN的“中点对应点”点Q，可知直线与圆G相切或相交，再由，求出或，即可求出b的取值范围．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的切线的性质，勾股定理，垂径定理，能够确定Q点的轨迹是解题的关键．x
…
0
2
3
…
y
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m
n
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