2024年山东省济宁市汶上县中考数学二模试卷

这是一份2024年山东省济宁市汶上县中考数学二模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．将数据1040000000用科学记数法表示为（ ）
A．104×107B．10.4×108
C．1.04×109D．0.104×1010
2．（3分）在一个不透明的塑料袋中装有红色球、白色球共40个，除颜色外其他都相同．小明通过多次摸球试验后发现，摸到红色球的频率稳定在20%左右，则塑料袋中红色球可能有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
3．（3分）用配方法解方程x2+10x+9＝0，配方正确的是（ ）
A．（x+5）2＝16B．（x+5）2＝34C．（x﹣5）2＝16D．（x+5）2＝25
4．（3分）在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，csC的值是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝1，则S△ABC＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AB＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，连接CC'，则CC'的长为（ ）
A．4B．6C．D．
7．（3分）已知反比例函数y＝﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（ ）个．
A．3B．2C．1D．0
8．（3分）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y＝﹣2x2+80x+758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润是（ ）
A．1554元B．1556元C．1558元D．1560元
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，D是边AC上一动点（不与A，C两点重合），沿A→C的路径移动，过点D作ED⊥AC，交AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠得到△A'DE．若设AD＝x，△A'DE与△ABC重叠部分的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.）
10．（3分）计算：的结果为 ．
11．（3分）若二次函数y＝﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的一个解x1＝3，另一个解x2＝ ．
12．（3分）按一定规律排列的单项式：a，，，2a4，，…，则第n个单项式为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，点D为AC中点，点E在AB上，当AE为 时，△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
14．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共55分，解答时应写出证明过程或演算步骤.）
15．（5分）计算：22﹣tan60°+|﹣1|﹣（3﹣π）0．
16．（6分）2023年5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，举国振奋．为使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，我县某中学九（1）班团支部组织了一场手抄报比赛，要求该班每位同学从A：“北斗”，B：“5G时代”，C：“东风快递”，D：“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题，比赛结束后，该班团支部统计了同学们所选主题的频数，绘制成如图两种不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题．
（1）九（1）班共有 名学生；
（2）补全图1中的折线统计图；
（3）若贾林和王峰两位同学分别从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
17．（7分）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根．
18．（7分）为了防洪需要，汶上溢流坝决定新建一座拦水坝．如图，拦水坝的横截面为四边形ABCD，其中，AD∥BC，斜面AB的坡度i＝3：4（指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比），已知斜坡CD的长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin18°≈0.31，cs18°≈0.95，tan18°≈0.32）
19．（9分）某同学借助反比例函数y＝（k≠0）的图象设计了“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF．
（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
（3）求图中阴影部分面积之和．
20．（10分）【初步感知】
（1）如图1，点A，B，P均在⊙O上，若∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为 度；
【深入探究】
（2）如图2，小明遇到这样一个问题：⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接PA，PB，PC．求证：PB＝PA+PC；小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
（3）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA，PB，PC，若PB＝2PA，则的值为 ．
21．（11分）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．
（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年山东省济宁市汶上县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.）
1．（3分）党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．将数据1040000000用科学记数法表示为（ ）
A．104×107B．10.4×108
C．1.04×109D．0.104×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1040000000＝1.04×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法—表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）在一个不透明的塑料袋中装有红色球、白色球共40个，除颜色外其他都相同．小明通过多次摸球试验后发现，摸到红色球的频率稳定在20%左右，则塑料袋中红色球可能有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【分析】利用频率估计概率求解即可．
【解答】解：由题意知，塑料袋中红色球可能有40×20%＝8（个），
故选：C．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
3．（3分）用配方法解方程x2+10x+9＝0，配方正确的是（ ）
A．（x+5）2＝16B．（x+5）2＝34C．（x﹣5）2＝16D．（x+5）2＝25
【分析】移项，配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方），即可得出答案．
【解答】解：x2+10x+9＝0，
x2+10x＝﹣9，
x2+10x+52＝﹣9+52，
（x+5）2＝16．
故选：A．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．
4．（3分）在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，csC的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三角形的内角和，可得∠C，根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：由三角形的内角和，得∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝30°，
csC＝cs30°＝，
故选：C．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
5．（3分）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝1，则S△ABC＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据三角形中位线定理求得DE∥BC，，从而求得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵S△ADE＝1，
∴S△ABC＝4，
故选：D．
【点评】本题考查三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，本题难度较低，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AB＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，连接CC'，则CC'的长为（ ）
A．4B．6C．D．
【分析】先根据勾股定理计算AC的长，由旋转的性质得△CAC'是等腰直角三角形，并由勾股定理可得结论．
【解答】解：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝2，
∴AC＝＝，
由旋转得：AC＝AC'，∠CAC'＝90°，
∴CC'＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质知识，证明△ACC'是等腰直角三角形是解题的关键．
7．（3分）已知反比例函数y＝﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（ ）个．
A．3B．2C．1D．0
【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．
【解答】解：①当x＝﹣2时，y＝4，即图象必经过点（﹣2，4），正确；
②k＝﹣8＜0，图象在第二、四象限内，正确；
③k＝﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，错误；
④k＝﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，若0＞x＞﹣1，y＞8，x＞0时，y＜8，故④错误，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟记反比例函数的性质是解题关键．
8．（3分）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y＝﹣2x2+80x+758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润是（ ）
A．1554元B．1556元C．1558元D．1560元
【分析】将二次函数关系式化为顶点式，找出对称轴，根据二次函数图象的增减性即可求解．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+80x+758＝﹣2（x﹣20）2+1558，
∴二次函数的对称轴为x＝20，开口向下，
∴当x＜20时，y随x的增大而增大，
∵15≤x≤19，
∴x＝19时，y取最大值，
此时y＝﹣2×（19﹣20）2+1558＝1556，
即一周可获得最大利润是1556元，
故选B．
【点评】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，注意自变量的范围是解题的关键．
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，D是边AC上一动点（不与A，C两点重合），沿A→C的路径移动，过点D作ED⊥AC，交AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠得到△A'DE．若设AD＝x，△A'DE与△ABC重叠部分的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分0≤x≤2和2＜x≤4两种情况，利用三角形相似分别求出DE和CF，然后由三角形和梯形的面积公式分别求出y与x的函数解析式即可．
【解答】解：①当0≤x≤2时，△A'DE与△ABC重叠部分的面积为△A'DE的面积，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝＝3，
∵∠EDA＝∠BCA，∠A＝∠A，
∴△BCA∽△EDA，
∴＝，
即＝，
∴DE＝x，
∵△ADE沿直线DE折叠得到△A'DE，
∴A′D＝AD＝x，
∴y＝S△A′DE＝A′D•DE＝x•x＝x2，
∵＞0，
∴抛物线开口向上，当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y有最大值，最大值为，
故排除A，C；
②当2＜x≤4时，A′位置如图所示：
此时AE与BC相交于F，
∵A′D＝AD＝x，CD＝AC﹣AD＝4﹣x，
∴A′C＝A′D﹣CD＝2x﹣4，
∵∠A′＝∠A，∠A′CF＝∠ACB＝90°，
∴△A′CF∽△ACB，
∴＝，
即＝，
∴CF＝，
∴y＝S梯形FCDE＝（CF+DE）•CD＝×（+x）×（4﹣x）＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣）2+2，
∵﹣＜0，2＜x≤4，
∴当x＝时，y有最大值，最大值为2，
综上所述，图象过（2，）和（，2）两点，且两端图象先开口向上，再开口向下，
故选：D．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定和性质以及对折变换，二次函数的图象和性质，关键是确定出y与x的函数解析式．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.）
10．（3分）计算：的结果为 1 ．
【分析】根据分式的加减法法则计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了分式的加减法，解题关键是熟练掌握分式的加减法法则．
11．（3分）若二次函数y＝﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的一个解x1＝3，另一个解x2＝ ﹣1 ．
【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，直接求出x2的值．
【解答】解：由图可知，对称轴为x＝1，
根据二次函数的图象的对称性，
＝1，
解得，x2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，要注意数形结合，熟悉二次函数的图象与性质．
12．（3分）按一定规律排列的单项式：a，，，2a4，，…，则第n个单项式为 an．
【分析】通过观察，先将第n个单项式的数字系数和指数分别表示出来，即可得出结果．
【解答】解：观察可知，数字系数为：1，，，2，，⋯，
∴第n个单项式的数字系数为：，
∵指数是1，2，3，4，5，⋯，
∴第n个单项式的指数为：n，
因此，第n个单项式为：an，
故答案为：an．
【点评】本题考查的是数字的变化规律和算术平方根，从题目中找出单项式间的变化规律是解题的关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，点D为AC中点，点E在AB上，当AE为 3或时，△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
【分析】先得到，再分与两种情况讨论即可解答．
【解答】解：当时，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴，
当时，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
综上，AE＝3或，
故答案为：3或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是分类讨论思想的运用及熟练掌握相似三角形的判定定理．
14．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．
【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF＝2EH＝20E•sin∠EOH＝20E•sin60°，因此当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF＝2EH．
【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝2，
∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，
由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，
∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝1×＝，
由垂径定理可知EF＝2EH＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．
三、解答题（本大题共7个小题，共55分，解答时应写出证明过程或演算步骤.）
15．（5分）计算：22﹣tan60°+|﹣1|﹣（3﹣π）0．
【分析】根据幂的运算，特殊角的函数值，零指数幂的运算，绝对值的化简计算即可．
【解答】解：
＝﹣1﹣1
＝2．
【点评】本题考查了幂的运算，特殊角的函数值，零指数幂的运算，绝对值的化简，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
16．（6分）2023年5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，举国振奋．为使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，我县某中学九（1）班团支部组织了一场手抄报比赛，要求该班每位同学从A：“北斗”，B：“5G时代”，C：“东风快递”，D：“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题，比赛结束后，该班团支部统计了同学们所选主题的频数，绘制成如图两种不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题．
（1）九（1）班共有 50 名学生；
（2）补全图1中的折线统计图；
（3）若贾林和王峰两位同学分别从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比即可；
（2）求出D的人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有16种等可能的结果，小林和小峰选择相同主题的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）九（1）班共有学生人数为：20÷40%＝50（名），
故答案为：50；
（2）D的人数为：50﹣10﹣20﹣5＝15（名），
补全折线统计图如下：
（3）画树状图如图：
共有16种等可能的结果，小林和小峰选择相同主题的结果有4种，
∴小林和小峰选择相同主题的概率为＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及折线统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．掌握概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
17．（7分）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根．
【分析】（1）一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0；
（2）在m的范围内，找到最小奇数，然后把m的值代入一元二次方程 （m+1）x2+2mx+m﹣3＝0中，再解出方程的解即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0 有两个不相等的实数根，
∴m+1≠0且Δ＞0．
∵Δ＝（2m）2﹣4（m+1）（m﹣3）＝4（2m+3），
∴2m+3＞0．
解得 m＞．
∴m的取值范围是 m＞且m≠﹣1．
（2）在m＞且m≠﹣1的范围内，最小奇数m为1．
此时，方程化为x2+x﹣1＝0．
∵Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，
∴．
∴方程的根为 ，．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，以及一元二次方程的解法，关键是掌握（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
18．（7分）为了防洪需要，汶上溢流坝决定新建一座拦水坝．如图，拦水坝的横截面为四边形ABCD，其中，AD∥BC，斜面AB的坡度i＝3：4（指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比），已知斜坡CD的长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin18°≈0.31，cs18°≈0.95，tan18°≈0.32）
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，根据正弦的定义求出DE，根据坡度的概念求出BF，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，
则四边形AFED为矩形，
∴DE＝AF，
在Rt△DEC中，CD＝20米，∠C＝18°，
∵sinC＝，
∴DE＝DC•sinC≈20×0.31＝6.20（米），
∵斜面AB的坡度i＝3：4，AF＝6.20米，
∴BF≈8.27（米），
∴AB＝≈10.3（米），
答：斜坡AB的长度约为10.3米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
19．（9分）某同学借助反比例函数y＝（k≠0）的图象设计了“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF．
（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
（3）求图中阴影部分面积之和．
【分析】（1）将A（，1）代入y＝中即可求解；
（2）利用勾股定理求边长，再根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半求解出角度，最后根据菱形的性质求解；
（3）先计算出S菱形AOCD＝2，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出S△FBO＝，从而问题即可解答．
【解答】解：（1）将A（，1）代入到y＝中，
得：1＝，
解得：k＝；
（2）过点A作OD 的垂线，交x轴于G，
∵A（，1），
∴AG＝1，OG＝，
OA＝＝2，
∴半径为2；
∵AG＝OA，
∴∠AOG＝30°，
由菱形的性质可知，∠AOG＝∠COG＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴圆心角的度数为60°；
（3）∵OD＝2OG＝2，
∴S菱形AOCD＝AC×OD＝2，
∴S扇形AOC＝×π×r2＝，
在菱形OBEF中，S△FHO＝S△BHO，
∵S△FHO＝＝，
∴S△FBO＝2×＝，
∴S阴影＝S△FBO+S菱形AOCD﹣S扇形AOC＝+2﹣π＝3﹣．
【点评】本题考查反比例函数及k的几何意义，菱形的性质，圆心角与弧的关系等，正确k的几何意义是解题关键．
20．（10分）【初步感知】
（1）如图1，点A，B，P均在⊙O上，若∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为 45 度；
【深入探究】
（2）如图2，小明遇到这样一个问题：⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接PA，PB，PC．求证：PB＝PA+PC；小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
（3）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA，PB，PC，若PB＝2PA，则的值为 ．
【分析】【初步感知】根据圆周角定理即可得出答案；
【深入探究】先构造出△PBC≌△EBA（SAS），得出PB＝EB，进而得出△PBE是等边三角形，即可得出结论；
【启发应用】先构造出△PBC≌△GBA（SAS），进而判断出∠PBG＝90°，进而得出△PBG是等腰直角三角形，即可得出结论．
【解答】【初步感知】解：∵∠AOB＝90°，
∴∠APB＝∠AOB＝45°（在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半），
故答案为：45；
【深入探究】证明：如图②，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，
∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，
∴∠BAP+∠BCP＝180°，
∵∠BAP+∠BAE＝180°，
∴∠BCP＝∠BAE，
∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，∠ACB＝60°，
又∵AE＝PC，
∴△PBC≌△EBA（SAS），
∴PB＝EB，
∴∠APB＝∠ACB＝60°，
∴△PBE为等边三角形，
∴PB＝PE＝AE+AP＝PC+AP；
【启发应用】解：如图③，延长PA至点G，使AG＝PC，连接BG．
∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，
∴∠BAP+∠BCP＝180°，
∵∠BAP+∠BAG＝180°，
∴∠BCP＝∠BAG，
∵BA＝BC，AG＝PC，
∴△PBC≌△GBA（SAS），
∴PB＝GB，∠PBC＝∠GBA，
∵∠ABC＝90°，
∴∠PBG＝∠GBA+∠ABP＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝90°，
∴PG＝BP，
∵PG＝PA+AG＝PA+PC，
∴PC＝PG﹣PA＝×2PA﹣PA＝3PA，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
21．（11分）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．
（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题得抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），将点C坐标代入求a，进而得到抛物线的解析式；设直线BC的解析式为y＝kx+t，将B、C两点坐标代入求解即可得到直线BC的解析式．
（2）由题可得M坐标，分别求出OC，OM，CM，对等腰三角形OCM中相等的边界线分类讨论，进而列方程求解．
（3）对P点在B点左右两侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解m，进而得到点P，点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0），
∴抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣2），
将点C（0，2）代入得，2＝﹣2a，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣2），即y＝﹣x2+x+2．
设直线BC的表达式为y＝kx+t，
将B（2，0），C（0，2）代入得，
，
解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+2．
（2）∵点M在直线BC上，且P（m，n），
∴点M的坐标为（m，﹣m+2），
∴OC＝2
∴CM2＝（m﹣0）2+（﹣m+2﹣2）2＝2m2，OM2＝m2+（﹣m+2）2＝2m2﹣4m+4，
当△OCM为等腰三角形时，
①若CM＝OM，则CM2＝OM2，
即2m2＝2m2﹣4m+4，
解得m＝1；
②若CM＝OC，则CM2＝OC2，
即2m2＝4，
解得或m＝﹣（舍去）；
③若OM＝OC，则OM2＝OC2，
即2m2﹣4m+4＝4，
解得m＝2或m＝0（舍去）．
综上，m＝1或m＝或m＝2．
（3）∵点P与点C相对应，
∴△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB，
①若点P在点B的左侧，
则，
当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝45°时，
直线OP的表达式为y＝x，
∴﹣m2+m+2＝m，
解得或m＝﹣（舍去），
∴，即OP＝2，
∴，即，
解得OQ＝，
∴，
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°时，
，
∴，即，
解得m＝1±（舍去）．
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°时，
PQ＝，OQ＝m﹣（﹣m2+m+2）＝m2﹣2，
∴，即，
解得m＝，（负值舍去），
∴P（），Q（0.）．
②若点P在点B的右侧，
则∠CBN＝135°，BN＝m﹣2，
当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝135°时，
直线OP的表达式为y＝﹣x，
∴﹣m2+m+2＝﹣m，
解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），
∴，
∴，即，
解得OQ＝1，
∴，
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝135°时，
PQ＝，OQ＝|﹣m2+m+2+m|＝m2﹣2m﹣2，
∴，即，
解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），
∴，
综上，P（），Q（0， ）或P（），Q（0，）或P（），Q（0，1）或P（1+），Q（0，﹣2）．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等相关知识．