福建省福州市晋安区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份福建省福州市晋安区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.“二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.下列图案分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3.用配方法解一元二次方程，此方程可变形为( )
A. B. C. D.
4.将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是( )
A. B. C. D.
5.下列说法中，正确的是( )
A. 半圆是弧，弧也是半圆B. 长度相等的弧是等弧
C. 弦是直径D. 在一个圆中，直径是最长的弦
6.方程的根的情况是( )
A. 方程有两个不相等的实数根B. 方程有两个相等的实数根
C. 方程没有实数根D. 无法确定
7.保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松.某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子.该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子.若这两年培育新品种数量的平均年增长率为x，则根据题意列出的符合题意的方程是( )
A. B.
C. D.
8.如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点C，B，共线，则的度数为( )
A. B. C. D.
9.已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
根据表，下列判断正确的是( )
A. 该抛物线开口向上B. 该抛物线的对称轴是直线
C. 该抛物线一定经过点D. 该抛物线在对称轴左侧部分是下降的
10.若点，均在二次函数的图象上点A在点B的左侧，且当时，，则b的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.点关于原点对称的点的坐标是______.
12.方程的解为______.
13.已知方程有一个根是m，则代数的值为______.
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，则与x轴的另一个交点为 .
15.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为若，则______.
16.二次函数的图象与x轴交于点A，将该函数图象向右平移个单位后与x轴交于点B，平移前后的函数图象相交于点C，若，则m的值为______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
解方程：
18.本小题8分
已知：关于x的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根.
19.本小题8分
已知二次函数，
填空：抛物线的对称轴是直线______，顶点坐标是______；
列表，在如图所示的直角坐标系中画出的图象.
20.本小题8分
紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图.如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A、B两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点若，，求这个紫砂壶的壶口半径.
21.本小题8分
如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转，得到线段AE，连接CD，
求证：≌；
连接DE，若，求的度数.
22.本小题10分
2024年是甲辰龙年，作为中华民族的重要精神象征和文化符号，龙的形象贯穿文学、艺术等各个领域，呈现了平安幸福的美好寓意.某商店进了一批与龙有关的吉祥物，在销售中发现平均每天可售出30件，每件盈利40元.为迎接“二月二——春龙节”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存.经市场调查发现：如果每件吉祥物降价1元，那么平均每天就可多售出3件.要想平均每天销售这种吉祥物盈利1800元，那么平均每件吉祥物应降价多少元.
23.本小题10分
在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴为直线，两个不同的点，在抛物线上.
若，求t的值；
若，求t的取值范围.
24.本小题12分
请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月.一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中.到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明.我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法.
赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法.首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为
任务：
参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______从序号①②③中选择
请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解写出必要的思考过程
25.本小题14分
在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转得到线段AQ，连接BP，
如图1，当点P在线段AM上时，依题意补全图1；
在图1的条件下，延长BP，QD交于点H，求证：
在图2中，当点P在线段AM的延长线上时，连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线时，猜想DP，DQ，AB之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由各选项图形可知，既是轴对称图形又是中心对称图形的A选项．
故选：
根据中心对称图形、轴对称图形的定义可得答案．
本题考查中心对称图形、轴对称图形，熟练掌握中心对称图形、轴对称图形的定义是解答本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：
由二次函数的顶点式可得二次函数图象的顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
3.【答案】D
【解析】解：移项，得，
配方，得，
即
故选：
根据完全平方公式将方程化成的形式即可．
本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键．
4.【答案】D
【解析】解：将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的函数解析式是，即
故选：
利用平移的规律“左加右减，上加下减”可得到答案．
本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、半圆是弧，正确，但弧不一定是半圆，不符合题意；
B、同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故不符合题意；
C、直径是弦，但弦不一定是直径，不符合题意；
D、在一个圆中，直径是最长的弦，符合题意．
故选：
利用圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了圆的认识，了解圆中有关的概念是解答本题的关键，难度不大．
6.【答案】A
【解析】解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：
根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出方程没有实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：由题意可得，
，
故选：
根据题意和题目中的数据，可以列出方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质．
根据旋转的性质得出，，再根据等腰三角形的性质即可求出答案．
【解答】
解：绕点A逆时针旋转得到，
，，
点C，B， 共线，
9.【答案】C
【解析】解：由表格中点，，
可知函数的对称轴为，
设函数的解析式为，
将点，代入，
得到，，
函数解析式；
抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分是上升的；
故选：
由表格中点，可求对称轴，再任意取两点可确定函数的解析式即可．
本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，并能用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：由题意，，
该二次函数的图象开口向上．
又点，均在该二次函数的图象上，
，
点A在点B的左侧，
又当时，，
当时，，即
又，
又，
故选：
依据题意，由，故该二次函数的图象开口向上．又点，均在该二次函数的图象上，则，，从而结合点A在点B的左侧，则，又当时，，故当时，，即，可得，又，进而可以判断得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
11.【答案】
【解析】解：平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，
点关于原点中心对称的点的坐标是
故答案为：
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．
12.【答案】，
【解析】解：由题意得，或，
解得，，
故答案为：，
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键．
13.【答案】2024
【解析】解：方程有一个根是m，
，
，
故答案为：
由方程有一个根是m，可得出，再将其代入中，即可求出结论．
本题主要考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
抛物线与x轴的另一个交点为，
故答案为：
根据对称性得出抛物线与x轴的另一个交点．
本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线对称轴的相关知识是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形的位置，
，，
，
，
而，
，
，
即
故答案为：
先利用旋转的性质得到，，再利用已知条件和四边形内角和计算出，然后利用互余计算出，从而得到的值．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
16.【答案】2
【解析】解：当时，，
解得，
，
将该函数图象向右平移个单位，
抛物线的解析式为，
；
解方程组得，
，
抛物线为对称轴图形，
而，
为等腰直角三角形，
，
解得舍去，，
即m的值为
故答案为：
先解方程得，再利用抛物线的平移得到平移后的抛物线的抛物线解析式为，则；接着解方程组可得，然后利用为等腰直角三角形得到，于是可关于m的方程即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象上的点的坐标特征和等腰直角三角形的性质．
17.【答案】解：，
，
，
，
，
，
【解析】配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为1；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
18.【答案】证明：
，
该方程总有两个实数根．
【解析】证明判别式的在大于等于0即可．
本题考查根的判别式，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
19.【答案】 0 1 2 0 3 4 3 0
【解析】解：，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
故答案为：，；
在对称轴两侧分别取一些点，如、、、、、，
在坐标系中描点、连线如图所示：
故答案为：x取值：，，，0，1，2；y取值：0，3，4，3，0，
将抛物线化为顶点式即可求解；
在对称轴两侧分别取一些点，如、、、、、，描点后用光滑的曲线依次连接即可．
本题考查了二次函数的性质，描点法画二次函数图象，掌握以上知识和技能是解题关键．
20.【答案】解：设这个紫砂壶的壶口半径为r，
，，
，
，
，
，
，
，
这个紫砂壶的壶口半径为10，
【解析】根据可得，再根据勾股定理构建关于半径r的等式求解即可．
本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是理解垂径定理构建关于半径r的等式．
21.【答案】证明：是等边三角形，
，，
由旋转得，，
，
在和中，
，
≌
解：，，
是等边三角形，
，
≌，
，
，
的度数是
【解析】由等边三角形的性质得，，由旋转得，，则，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明≌；
由，，证明是等边三角形，得，由全等三角形的性质得，则
此题重点考查等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明，进而证明≌是解题的关键．
22.【答案】解：设每件吉祥物降价x元，则每件吉祥物的销售利润为元，平均每天可售出件，根据题意得：
，
整理得：，
解得：，，
又要尽量减少库存，
答：平均每件吉祥物应降价20元．
【解析】设每件吉祥物降价x元，则每件吉祥物的销售利润为元，平均每天可售出件，利用总利润=每件吉祥物的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可确定结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：解：由题意得：，
解得：；
由题意得：或，
解得：或
【解析】根据纵坐标相等，点关于对称轴对称，列方程求解；
根据开口方向及纵坐标的大小，结合图象列不等式组求解．
本题考查二次函数的性质及点的坐标特征，掌握数形结合思想是解题的关键．
24.【答案】②
【解析】解：应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，
大正方形的面积又可表示为，
大正方形的边长为7，所以，
，
故正确构图②．
故答案为：②；
首先构造了如图2所示的图形，
图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，
所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得
仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法；
仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题．
本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，体现了数形结合的思想．
25.【答案】解：补全图形如图1：
如图1，延长BP，QD交于点H，
四边形ABCD是正方形，
，，
将线段AP绕点A顺时针旋转得到线段AQ，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
；
证明：连接BD，如图2，
线段AP绕点A顺时针旋转得到线段AQ，
，，
四边形ABCD是正方形，
，，
≌，
，，
在中，，
，
在中，，
又，，

【解析】根据要求画出图形，即可得出结论；
由旋转的性质可得，，由“SAS”可证≌，可得，，由平角的性质和四边形内角和定理可得，即可得出结论；
连接BD，如图2，只要证明≌，，即可解决问题．
此题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．x
⋅⋅⋅
0
1
3
4
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⋅⋅⋅
y
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
x
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______
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______
______
______
…
y
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______
______
______
…