北京市广渠门中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份北京市广渠门中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷，共5页。
一.选择题（共8小题，每道小题2分，共16分）
1．下列四个品牌图标中，是中心对称图形的是（ ）

B． C． D．
用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的解析式是（ ）
A. B. C. D.
4. 一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4B．k＜4且k≠0C．k≤4D．k≤4且k≠0
5. 如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A’B’C’．若∠A＝40°，∠B’＝110°，则∠BCA’的度数是（ ）
A．90°B．80°C．50°D．30°

（5题图） （6题图） （7题图）
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝70°，则∠D的度数是（ ）
A．110°B．90° C．70° D．50°
如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝40°，∠B＝30°，则∠APD的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．70°
8．如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B．以点A为圆心，线段AP的长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S．则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数、一次函数 B．一次函数，正比例函数
C．一次函数关系，二次函数 D．正比例函数关系，二次函数
二.填空题（共8小题，每道小题2分，共16分）
9. 请写出一个开口向上，经过点的抛物线的解析式__________.
10.平面直角坐标系中，若点，则点A关于原点中心对称的点的坐标是__________.
11．二次函数y＝x2﹣6x+c的图象与x轴只有一个公共点，则c的值为 ．
12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2（x﹣1）2+k经过点A（2，m），B（3，n）．则m n（填“＞”，“＝”或“＜”）．
13. 如图，在⊙O中AB是直径，CD⊥AB，∠BAC＝30°，OD＝2，那么DC的长等于 ．

13题图 14题图 16题图
14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB绕点O顺时针旋转，若点A的对应点A′的坐标为（2，0），则点B的对应点B′的坐标为 ．
15. 某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为x，降价后的出厂价为144元、依题意可列方程为： ．
16. 如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM，若⊙O的半径为6，则CM长的最大值是 ．
三、解答题（本题共68分）
17．（6分）解方程：（1）x2+2x﹣1＝0 （2）．
（5分）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的根，求代数式 m（m﹣1）+5 的值
19.（5分）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.

图1 图2
已知：如图1，和外一点P.
求作：过点P的的切线.
作法：如图2，
（1）连结，作线段的中点M；
（2）以M为圆心，的长为半径作圆，交于点A，B；
（3）作直线和.
直线，即为所求作的切线.
请在图2中补全图形，并完成下面的证明.
证明：连接， 由作法可知，为的直径，
∴（___________________________________________）（填推理的依据）
∴
∵点A在上
∴直线是圆的切线（_____________________________________________________）（填推理的依据）
同理，直线也是圆的切线.
20.（5分）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，求该门洞的半径．
DC
C
21．（6分）已知二次函数.
（1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象；
（2）根据图象回答：时，x的取值范围是_____________；
（3）根据图象回答：当时，y的取值范围是_____________.
22. （5分）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围.
23.（5分）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，点D在线段BC的延长线上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，射线BA与CE相交于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段BD与CE的数量关系，并证明；
（3）若F为CE中点，AB= 3，则CE的长为________．
24.（5分）如图，四边形中，，点是边上一点，且平分，作的外接圆⊙O，点D在⊙O上.
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若的半径为5，，求的长．
25.（6分）某公园在在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉.安装通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米.请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；

（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度________；
（3）求所画图象对应的函数表达式；
（4）从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）.
26. （6分）在平面直角坐标系中，A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+2ax+c上，其中x1＜x2．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若a＞0，x1＝﹣2，x2＝1，比较y1，y2的大小；
（3）若x1+x2＝1﹣a，且y1≤y2，求a的取值范围．
27.（7分）如图，点E是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（点E与B，D不重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°得AF，连接FD，FE，FE与AD交于点M．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：BE=DF；
（3）延长FE与射线BC交于点N，用等式表示线段FM与EN的数量关系，并证明．
28.（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形W，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．给出如下定义：若在图形W上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于d4，则称P为图形W的“伴随关联点”．
（1）如图1，图形W是半径为2的⊙O．
①图形W上任意两点间的距离的最大值d为 ；
②在点P1（0，1），P2（12，0），P3（3，3）中，⊙O的“伴随关联点”是 ；
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，点A（﹣1，1）．若直线y=x+t上存在正方形ABCD的“伴随关联点”，求t的取值范围；
（3）点T（t，0）为x轴上的动点，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于M、N两点，点P为线段MN上的任意一点，均为半径为4的⊙T的“伴随关联点”，直接写出t的取值范围．
图1 图2
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
…
d（米）
0
1.0
3.0
5.0
7.0
h（米）
3.2
4.2
5.0
4.2
1.8