高一数学第三次月考卷03（新高考地区专用）-学易金卷2024-2025学年高中上学期第三次月考.zip

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：集合与常用逻辑用语+一元二次函数、方程与不等式占比35%，函数的概念及其性质+指对函数占比65%。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则m可能取值的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，则，
由，得，此时，符合题意；
或，此时，符合题意；或，则，此时，符合题意，
所以m可能取值的集合为.
故选：B.
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】A
【解析】对于A，取，则，故A错误；
对于B，由，得，故B正确；
对于C，，
由，得，所以，故C正确；
对于D，由，得，又，所以，故D正确．
故选：A．
3．“或”是“幂函数在上是减函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为是幂函数且在上是减函数，
故，故，
故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件，
故选：B.
4．设函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，
由，得.
故选：A.
5．下列函数的最值中错误的是（ ）
A．的最小值为2B．已知，的最大值是
C．已知，的最小值为3D．的最大值5
【答案】A
【解析】当时，，故命题错误，A符合题意；
当时，，
当且仅当，即时取等号，命题正确，B不符合题意；
当时，，则，
当且仅当，即时取等号，故命题正确，C不符合题意；
由题意，，则，
当且仅当，即时取等号，故命题正确，D不符合题意.
故选：A
6．若，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
而，且．
所以，故．
故选：D.
7．在我国，每年因酒后驾车引发的交通事故达数万起，酒后驾车已经成为交通事故的第一大“杀手”．《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（ ）（取：）
A．12小时后B．24小时后C．26小时后D．28小时后
【答案】B
【解析】当时，，
所以，
当时，令，
即，所以，
所以.
故选：B.
8．是R上的偶函数，且，当时，，函数f（x）在区间的零点个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】因为函数是R上的偶函数，所以，
所以关于直线对称，
因为，x=2时，
由，当时，，故，
又关于直线对称，所以，
由对称性可得在上的大致图象如下图所示，
则在区间的零点个数为9.故选：C.
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入营运，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y（万元）与营运年数x的关系为，则下列判断正确的是（ ）
A．车辆营运年数越多，收入越高
B．车辆在第6年时，总收入最高
C．车辆在前5年的平均收入最高
D．车辆每年都能盈利
【答案】BC
【解析】由题意，，是开口向下的二次函数，故A错误；
对称轴x=6，故B正确；
平均收入，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
当x＝1时，y＝－14，故D错误．
故选：BC.
10．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】由，则，由，则，即；
对A：，故，故A错误；
对B：，故B正确；
对C：由，，则，
即，则，故C正确；
对D：由，则，
由，，则，故，
则，故D正确.
故选：BCD.
11．已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（ ）
A．B．的图象关于点成中心对称
C．D．
【答案】ABD
【解析】对A，满足，
令，则，即f1=0，
又为偶函数，，故A对；
对B，， ，
故的周期，
再根据，即，
∴fx的图象关于点成中心对称，故B对；
对C，由B知：的周期，故，
，
令，则f2=−f0，
又当时，
，
即，
即，
，
故，故C错误；
对D，满足，
∴fx关于1,0中心对称，
又当时，
∴fx在0,2上单调递增；
当时，，
当时，为偶函数，
，
，当且仅当时，即时等号成立，
，故D对.
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ．
【答案】.
【解析】因为函数的定义域是2,4，
所以，故，
因为有意义，
所以，所以，
所以函数的定义域为2,3.
故答案为：2,3.
13．已知函数过定点，点在直线上，则的最小值为
【答案】8
【解析】因为，令可得，，
所以该函数过定点；
又该定点在直线上，所以，
因此，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8.
14．已知，则的解集为 ．
【答案】
【解析】函数的定义域为R，，则是R上的奇函数，
函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减，
不等式，因此，
即，解得或，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）已知全集，设集合，集合，
(1)当时，求；
(2)若集合只有一个元素，求的值；
(3)若，求的取值范围．
【解析】（1）当时，， (1分）
因为全集，所以或， (3分）
因为，
所以； (5分）
（2）因为集合只有一个元素，
所以，解得； (8分）
（3）因为，所以， (9分）
因为集合，集合，
所以，解得， (12分）
即的取值范围为. (13分）
16．（15分）设函数
(1)若，求的解集．
(2)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(3)解关于的不等式：．
【解析】（1）解：由函数，
若，可得， (2分）
又由，即不等式，即， (3分）
因为，且函数对应的抛物线开口向上， (4分）
所以不等式的解集为，即的解集为. (5分）
（2）解：由对一切实数x恒成立，等价于恒成立， (6分）
当时，不等式可化为，不满足题意． (7分）
当，则满足，即，解得， (8分）
所以的取值范围是． (9分）
（3）解：依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． (10分）
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为．
当时，不等式化为， (11分）
①当时，，不等式的解集为； . (12分）
②当时，，不等式的解集为； (13分）
③当时，，不等式的解集为； (14分）
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为． (15分）
17．（15分）在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2021年底新能源汽车保有量为1500辆，2022年底新能源汽车保有量为2250辆，2023年底新能源汽车保有量为3375辆．
(1)设从2021年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，根据以上数据，试从且和且两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势，并说明理由，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式；
(2)2021年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降，若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：）
【解析】（1）由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快，
因此应该选择指数模型，应选函数模型是且， (2分）
由题意得，解得， (3分）
所以． (5分）
（2）设从2021年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆，则有，
令， (7分）
即， (8分）
化简得， (10分）
解得， (13分）
故从2021年底起经过9年后，
即2030年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车的保有量． (15分）
18．（17分）在2023年杭州亚运会最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．小明想通过数学建模的方式研究运动员的运动时长与其剩余体力的关系.通过查找资料，小明得知：一位60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，稳定阶段平均速度为30km/h，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大，在原有基础上随时间变大，速度降低，比例系数为．同时，疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，（表示该阶段所用时间）.同时，根据比赛现场的环境，其他运动员的平均配速，以及比赛策略等各方面因素，产生上下5％～10％的速度浮动，其对于运动员的体力影响也更为复杂.已知该运动员初始体力为，请帮助小明补充完善数学建模的过程：
(1)对于数学建模，我们需要给出合理假设.
假设一：假设该运动员稳定阶段作速度为的匀速运动；疲劳阶段做的减速运动
假设二：_________________
(2)提出问题一：该运动员剩余体力Q关于时间t有何关系？请写出函数；
提出问题二：该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？
(3)总结运用：请根据以上计算结论，给出一定的实际建议.
【解析】（1）根据比赛现场的环境，其他运动员的平均配速，
以及比赛策略等各方面因素，速度浮动为0. (4分）
（2）稳定阶段:
(6分）
疲劳阶段(7分）
故(8分）
当时， (9分）
当时，
(10分）
当且仅当时，即时取等号. (11分）
比较可知，当时 (12分）
故最低值为多少 (13分）
（3）由上面分析可知，体力的最小值在后期出现，运动员可以在后期补充相应的水分以提高补充的效率，坚持就是胜利. (17分）
19．（17分）若函数的定义域为．集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为M上的增长函数．
(1)已知函数，函数，判断和ℎx是否为区间−1,0上的增长函数，并说明理由：
(2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值；
(3)如果的图像关于原点对称，当时，，且为R上的增长函数，求实数a的取值范围．
【解析】（1）是：因为，，；(3分）
不是，反例：当时，．(5分）
（2）由题意得，对于恒成立，(6分）
等价于，即对恒成立，(7分）
令，因为，所以是区间上单调递增的一次函数，
要保证对恒成立，则，
即， 解得， (8分）
所以满足题意的最小正整数为9． (9分）
（3）根据题意， 当时，，当时，， (10分）
因为的图像关于原点对称，所以可作出其函数图象，如下图所示：

所以， (13分）
若是R上的增长函数，则对任意的，都有，(14分）
因为是将向左平移四个单位得到，如下图所示，

所以，解得， (16分）
所以实数a的取值范围为 (17分）