陕西省西安市鄠邑区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份陕西省西安市鄠邑区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下面一定相似的一组图形为（ ）
A．两个等腰三角形B．两个矩形
C．两个等边三角形D．两个菱形
2．（3分）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．四边相等B．对角线相等
C．对角相等D．邻角互补
3．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为（ ）
A．0B．C．1D．
4．（3分）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共60个，这些球除颜色外其余完全相同．某数学学习小组从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
根据上表，从这个盒子里随机摸出一个球，它是红球的概率大约是（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
5．（3分）一元二次方程2x2﹣4x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法判断
6．（3分）已知＝（a≠0，b≠0），则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，一矩形草坪的长为25米，宽为12米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的矩形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是230平方米．设小路宽x米，则根据题意，可列方程（ ）
A．（25+x）（12+x）＝230B．（25﹣x）（12﹣x）＝230
C．（25﹣x）（12+x）＝230D．（25+x）（12﹣x）＝230
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，点D是斜边BC的中点，以AD为边作正方形ADEF．若正方形ADEF的面积为36，则AC的长为（ ）
A．12B．C．D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），则击中白色区域的概率是 ．
10．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0的常数项为0，则m的值是 ．
11．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，则m的值可能是 .（写出一个即可）
12．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝3，若要使▱ABCD为矩形，则OB的长度为 ．
13．（3分）如图，菱形ABCD的周长为12，AE＝1，AF＝2，P为对角线BD上的一个动点，则PE+PF的最小值是 ．
三、解答题（共13小题，计81分．解答题应写出过程）
14．（5分）解方程：x2﹣10x+16＝0．
15．（5分）如图，已知矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，且它们的相似比是4：3，已知AB＝3，BC＝5．求A′B′和B′C′的长．
16．（5分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E、F分别在OA、OD上，AE＝DF，连接BE、CF，求证：BE＝CF．
17．（5分）如图，AB∥CD∥EF，，BF＝20，求DF的长．
18．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．求证：四边形AFDE为正方形．
19．（5分）在一只不透明的袋子中装有黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，小刚每次摇匀后随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过2000次重复摸球试验后，共摸出黑球1200次．请估计袋中黑球的个数．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0的两个实数根x1，x2，满足x1+x2＝2x1•x2，求m的值．
21．（6分）先阅读，再解题：
解方程：（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0．
可以将（x﹣1）看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4；
当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，
所以原方程的解为x1＝2，x2＝5．
请利用上述这种方法解方程：（2x﹣5）2﹣6（2x﹣5）+5＝0．
22．（7分）“核桃”是四大坚果之一，核桃仁含有丰富的营养紫，蛋白质，碳水化合物，并含有人体所必需的钙、磷、铁等多种微量元素和矿物质，核桃树在陕西多地均有种植．某核桃基地对市场调查发现，当核桃的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降低1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地核桃的平均成本价为12元/千克，若使销售核桃每天的利润为1750元，则售价应降低多少元？
23．（7分）甲、乙两位同学相约打乒乓球，双方约定：两人各投挪一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球，这个约定是否公平？请用列表或者树状图的方法说明理由．
24．（8分）如图，菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，分别延长OE、OF至点B、点D，且BE＝DF，连接AB，AD，CB，CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若BD＝8，AC＝4，BE＝3，求AE的长．
25．（8分）一只不透明的袋子里装有1个白球，1个黄球和2个红球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出1个球．
（1）摸到红球的概率为 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球，不放回，再随机摸出一个球．请用画树状图或列表的方法求摸到的两个球中有一个是黄球的概率．
26．（10分）【问题探究】
（1）如图①，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF．求证：△AEF是等腰直角三角形；
【问题解决】
（2）如图②，四边形ABCD是某果园的平面示意图，该果园共有A、B、C、D、E五个出口，其中出口E在边CD上，已知AD＝CD＝120米，DE＝40米，BC＝160米，∠ADC＝∠C＝90°，AE、BE为果园内两条小路，现在BE的中点F处修建一个临时库房，沿DF修一条运输通道．试求该运输通道DF的长度．
2024-2025学年陕西省西安市鄠邑区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．【分析】根据相似图形的定义判断即可．
【解答】解：两个等腰三角形，两个矩形，两个菱形不一定相似，两个等边三角形一定相似．
故选：C．
【点评】本题考查相似图形，等边三角形的性质，矩形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是掌握相似图形的定义，属于中考常考题型．
2．【分析】根据菱形的性质及矩形的性质，结合各选项进行判断即可得出答案．
【解答】解：A、四边相等，菱形具有而矩形不具有，故本选项符合题意；
B、对角线相等，矩形具有而菱形不具有，故本选项不符合题意；
C、对角相等，菱形具有，矩形具有，故本选项不符合题意；
D、邻角互补，菱形具有而矩形也具有，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质、菱形的性质．
3．【分析】根据抛掷一枚质地均匀的硬币，朝上的情况为：正面朝上、反面朝上，然后即可写出抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率．
【解答】解：由题意可得，
抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，
故选：B．
【点评】本题考查了概率公式，解题的关键是明确题意，求出相应的概率．
4．【分析】利用频率估计概率即可得出答案．
【解答】解：根据上表估计“摸到红球”的概率是0.3，
故选：C．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5．【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根，据此求解即可．
【解答】解：由题意得Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，
∴原方程没有实数根，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解答本题的关键．
6．【分析】利用合比性质求解．
【解答】解：∵＝，
∴＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．
7．【分析】将两条小路平移到草坪的边上，设小路宽x米，则非阴影部分为一个矩形，其长为（25﹣x）米，宽为（12﹣x）米，根据“非阴影部分的面积是230平方米”即可列出方程．
【解答】解：设小路宽x米，根据题意，得：
（25﹣x）（12﹣x）＝230，
故选：B．
【点评】本题考查列一元二次方程解决实际问题．正确理解题意是解题的关键．
8．【分析】根据正方形ADEF的面积为36得AD＝6，再根据直角三角形斜边中线的性质得AD＝BD＝CD＝6，则BC＝12，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC即可．
【解答】解：∵正方形ADEF的面积为36，
∴AD＝6，
∵点D是Rt△ABC的斜边BC上的中点，
∴AD＝BD＝CD＝6，
∴BC＝12，
在Rt△ABC中，BC＝12，AB＝6，
由勾股定理得：AC＝＝＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在白部分的概率就是白色区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：∵总面积为9个小三角形的面积，其中白色部分面积为6个小三角形的面积，
∴飞镖落在黑色部分的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
10．【分析】根据一元二次方程的定义和常数为0，得m﹣1≠0且m2﹣1＝0，进而得出答案．
【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0的常数项为0，
∴，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
11．【分析】根据Δ＝32﹣4×1×（﹣2m）＜0，求得m的取值范围，即可作出选择．
【解答】解：∵于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×（﹣2m）＜0，
解得m＜﹣．
∴m的值可能是﹣2，
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的运用是解题的关键．
12．【分析】根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴当OB＝OA，即AC＝BD时，▱ABCD为矩形，
此时OB的长度为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键．
13．【分析】作F点关于BD的对称点F′，则PF＝PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．
【解答】解：作F点关于BD的对称点F′，连接EF′交BD于点P，则PF＝PF′．
∴EP+FP＝EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP＝EP+F′P＝EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，
∵AF＝2，AE＝1，
∴DF＝DF′＝AD﹣AF＝1＝AE，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′＝AD＝3．
∴EP+FP的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称与路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分．解答题应写出过程）
14．【分析】直接利用因式分解法解方程得出答案．
【解答】解：x2﹣10x+16＝0
（x﹣2）（x﹣8）＝0，
x﹣2＝0或x﹣8＝0，
解得：x1＝2，x2＝8．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
15．【分析】根据相似多边形的性质求解即可得．
【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，且它们的相似比是4：3，
∴，
∵AB＝3，BC＝5，
∴，
解得，．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题关键．
16．【分析】根据矩形的性质可得∠CDO＝∠BAO，可证明△BAE≌△CDF，即可求证．
【解答】证明：在矩形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，OA＝OB，
∴∠ABO＝∠CDO，∠ABO＝∠BAO，
∴∠CDO＝∠BAO，
在△BAE和△CDF中，
，
∴△BAE≌△CDF（SAS），
∴BE＝CF．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
17．【分析】由AB∥CD∥EF，利用平行线分线段成比例，可得出，结合BF＝20，，即可求出DF，经检验后，即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵BF＝20，，
∴，
解得：DF＝12.5，
经检验，DF＝12.5是所列方程的解，且符合题意，
∴DF的长为12.5．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
18．【分析】根据DE∥AB，DF∥AC可得四边形AFDE为平行四边形；结合∠BAC＝90°可得四边形AFDE为矩形，进而得DF⊥AB，DE⊥AC，再由AD平分∠BAC得DE＝DF，即可求证．
【解答】证明：∵DE∥AB，DF∥AC．
∴四边形AFDE为平行四边形．
在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，
∴四边形AFDE为矩形．
∴DF⊥AB，DE⊥AC，
∴DE＝DF，
∴四边形AFDE为正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定，解答本题的关键是熟练掌握正方形的判定方法．
19．【分析】利用小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．
【解答】解：通过2000次重复摸球试验后，共摸出黑球1200次，
设有x个黑球，根据题意得：
，
解得：x＝6，
答：估计袋中黑球的个数为6个．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
20．【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可得x1+x2＝4，x1•x2＝m+1，从而得到关于m的方程，即可求解．
【解答】解：∵该方程的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝m+1，
∵x1+x2＝2x1•x2，
∴2（m+1）＝4，
解得：m＝1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用根的判别式和根与系数的关系解答．
21．【分析】根据题目中的例子，利用换元法可以解答此方程．
【解答】解：设2x﹣5＝y，
则原方程可化y2﹣6y+5＝0，
∴（y﹣1）（y﹣5）＝0，
解得y1＝1，y2＝5，
当y＝1时，即2x﹣5＝1，
解得x＝3；
当y＝5时，即2x﹣5＝5，
解得x＝5；
所以原方程的解为x1＝3，x2＝5．
【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，会用换元法解一元二次方程．
22．【分析】设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克，每千克的利润为（20﹣12﹣y）元，根据每天获利1750元，可得方程，解方程即可．
【解答】解：设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克，
根据题意，得（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750，
整理得，y2﹣4y+3＝0，
解得y1＝1，y2＝3，
∵要减少库存，
∴y1＝1不合题意，舍去，
∴y＝3；
答：售价应降低3元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式．
23．【分析】先画出树状图，再分别求出甲先发球和乙先发球的概率，即可判断是否公平．
【解答】解：这个约定公平；理由如下：
依据甲、乙两位同学相约打乒乓球的双方约定，画树状图如下：
由树状图可知：一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上的结果有2种，
∴P（甲先发球）＝，P（乙先发球）＝，
∵P（甲先发球）＝P（乙先发球），
∴这个约定公平．
【点评】本题考查了游戏公平性，列表法与树状图法，概率公式，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数，然后根据概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率．熟练掌握概率的求法是解答本题的关键．
24．【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形即可解决问题；
（2）根据菱形的性质和勾股定理可以解决问题．
【解答】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，
∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF，
∵BE＝DF，
∴BO＝DO，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，，
∵BE＝3，
∴OE＝OB﹣BE＝4﹣3＝1，
∴．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
25．【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸到红球的结果有2种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的两个球中有一个是黄球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸到红球的结果有2种，
∴摸到红球的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中摸到的两个球中有一个是黄球的结果有：（白，黄），（黄，白），（黄，红），（黄，红），（红，黄），（红，黄），共6种，
∴摸到的两个球中有一个是黄球的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
26．【分析】（1）先证明∠DAE＝∠BAF，进而可依据“ASA”判定△ADE和△ABF全等，则AE＝AF，由此可判定△AEF的形状；
（2）过点F作FK⊥CD于K，根据CD＝120米，DE＝40米，点E在边CD上得CE＝CD﹣DE＝80米，证明FK是Rt△BCE的中位线得FK＝80米，CK＝EK＝40米，则DK＝80米，然后在Rt△DFK中，由勾股定理即可求出DF的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝∠D＝∠ABF＝90°，
∴∠DAE+∠EAB＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠BAF+∠EAB＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF，
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（ASA），
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）解：过点F作FK⊥CD于K，如图所示：

∵CD＝120米，DE＝40米，点E在边CD上，
∴CE＝CD﹣DE＝80（米），
∵FK⊥BC，
∴∠FKE＝∠BCD＝90°，
∴FK∥BC，
又∵点F是BE的中点，
∴FK是Rt△BCE的中位线，
∴FK＝BC＝80（米），CK＝EK＝CE＝40（米），
∴DK＝DE+EK＝40+40＝80（米），
在Rt△DFK中，由勾股定理得：DF＝＝＝（米）．
答：运输通道DF的长度米．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，理解正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
摸球的次数n
100
300
500
800
1000
2000
摸到红球的次数m
33
96
155
244
298
602
摸到红球的频率
0.33
0.32
0.31
0.305
0.298
0.301
白
黄
红
红
白
（白，黄）
（白，红）
（白，红）
黄
（黄，白）
（黄，红）
（黄，红）
红
（红，白）
（红，黄）
（红，红）
红
（红，白）
（红，黄）
（红，红）