上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期11月期中检测卷（B）数学试题

这是一份上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期11月期中检测卷（B）数学试题，共5页。

（考试时间120分钟 满分150分）
考生注意：
1.带2B铅笔、黑色签字笔、卡西欧计算器、考试中途不得传借文具。
2.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分。
3.请将答案写在答题纸上，保持字迹清晰，作答在试卷上一律不评分
一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1. 设集合，则
2. 若实数x,y均在[-2,1]的区间内，则xy的取值范围为_______
3. 甲乙两人同时解关于x的方程：lg2x+b+clgx2=0.甲写错了常数b，得两根为14及18；乙写错了常数c，得两根为12及64，则这个方程的真正的根为___________
4. 已知实数m为常数，对于幂函数f(x)=(m2-m-1)xm，甲说：f(x)是奇函数；乙说：f(x)在(0,﹢∞)上单调递增；丙说：f(x)的定义域是R，甲、乙、丙三人关于幂函数f(x)的论述只有一人是错误的，则m的取值集合为________
5. 若对任意正实数a,b；不等式a2+4b2≥1kab恒成立，则实数k的取值范围为______
6. 已知正实数a，b；若1a+4b=1，则1a-1+1b-4的最小值为________
7. 若函数f(x)=x2+mx+1,x≤0x+1x+m,x＞0 的最小值为f(0)，则m的取值范围为_______
8. 已知函数y=-bx在（0，﹢∞）上都是严格减函数，则对于f(x)=xb+b-1，f(1)___0（选填“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”）
9. 设为实数，函数是奇函数，则 ______
10. 下列关于不等式的命题是假命题的序号为______
（1）若，则， （2）用反证法证明a=0或b=0时可假设ab≠0
（3）若a,b为正数，则a3+b3＞a2b+ab2 （4）设x,y∈R，若|x|+|x-4|+|y|+|y-2|≤6，则xy的取值范围为[0,6]
11. 若方程ax2+bx+c=0有唯一的实数根2，则不等式的解集为
12. 若两个函数和对任意都有，则称函数和在上是“密切”的，已知常数，若函数与在上是“密切”的；则的取值范围为_____
二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）
13. 命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同，则命题m是命题n的（ ）
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也非必要
14. 函数y=ax2+bx与函数y=xa+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图像可能为（ ）
15. 函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
16. 德国著名数学家狄利克雷（高斯的学生）在数学领域成就显著，著名的狄利克雷函数定义域在R上的解析式可表示为：=1 x∈Q0 x∉Q，下列关于狄利克雷函数说法正确的序号为（ ）
①狄利克雷为偶函数 ②狄利克雷为奇函数 ③狄利克雷函数值域为[0,1] ④对于任意x∈R，均有f(f(-x))=1
⑤狄利克雷函数的图像可以通过列表描点法画出 ⑥在狄利克雷函数上不存在可以构成等边三角形的三点
A．①③④⑥ B．②③⑤ C．①④ D．①④⑥
三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）
17. 对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命
（1）设、是关于x的方程的两个实数根，求：lgabc的值
（2）已知，且，若，，求：lgay的值
18. 对于对数函数性质的证明和探究，是研究该函数的必要途径：
（1）已知函数y=lg(ax2-ax+4)的值域为R，求：实数a的取值范围
（2）对于对数函数f(x)=lgax，g(x)=lgbx，若b＞a且a,b同时是(0,1)或（1,﹢∞）中的元素，则必有函数f(x)在（1,0）左侧低于g(x)，在（1,0）右侧高于g(x)
19. 已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R.
（1）当k变化时，试求不等式的解集A；
（2）对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．
20. 某服装设计公司打算在2023年度建设某童装生产线，建设该生产线投入成本为300万元，若该生产线每年均可产出x万套童装，还需要投入物料，人工成本等合计y（万元）
通过市场统计调查得出：当0＜x≤20时，y=x2+4x-100；当x＞20时，y=81x+1600x-600，生产的每件童装都可以以80元的价格售出
（1）设2024年该童装生产线的利润为W（2024年利润=总收入-生产线的成本-物料及人工等成本合计），求：W的函数解析式及其定义域
（2）请问2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？
21. 设f(x)=gx (x≥0)hx (x＜0)，则称F(x)=hx (x≥0)gx (x＜0)为f(x)的“域反函数”
（1）若f(x)=(x+1)12 （x≥0）m+2xm (x＜0)，若h(x)=m+2xm是幂函数，求：f(x)的“域反函数”的定义域与值域
（2）若f(x)=x2+x x≥0x-x2 x＜0，试判断f(x) 的“域反函数”F(x)的奇偶性，并据此猜想出一条普适结论（无需证明）
（3）是否存在整数a使得f(x)=axb+c (其中a,c为常数，b为素数)的“域反函数”在R上为偶函数，且满足f(14x2+1)＜f(ax)＜f(0)恒成立，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.
参考答案及评分标准
填空题（1~12题）
1. ∅
2. [-2,4]
3. 4或8
4．{2}
5．(-∞，0)∪[14,﹢∞）
6． 1
7．[-1,0]
8． ＜
9．
10．（3）（4）
11． {2}或R或[2，﹢∞）或[-2，﹢∞）
12．
选择题（13~16题）
13．B
14．C
15．B
16．C
解答题（17~21题）
17. （1）13（7分）
（2）m-n2 （7分）
18．（1）a∈[16,﹢∞） （4分）
（2）提示：根据x≥1或x≤1分类讨论即可（8分）
19．（1）k=0 （-∞，4） k=2 {x|x≠4} k＜0（k+4k＜x＜4） k＞0且k≠2 （-∞，4）∪（k+4k，﹢∞）（7分）
（2）{-3，-2，-1,0,1,2,3}（7分）
20．（1）P=-x2+40x-200 0＜x≤20-x-1600x+300 x＞20（8分）
（2）40万件 520万元（2025无生产线成本）（10分）
20．（1）（-∞，54]（6分）
（2）（-∞，0）∪（0,1）∪（1，﹢∞）（6分）
（3）2或4（6分）
21．参考解析：
（1） 定义域：[-1,0）∪（0，﹢∞） 值域：[0，﹢∞） （4+2分）
（2） f(x)=x(1+|x|)定义域为R F(x)=x(1-|x|) 定义域为R，此时f(x)和F(x)均为奇函数 （4分）
猜想：f(x)为奇函数的充要条件是其“域反函数”F(x)为奇函数， （1.5分）
f(x)为偶函数的充要条件是其“域反函数”F(x)为偶函数。 （0.5分）
（证明如下： 考生可不写）
充分性证明：
若f(x)是奇函数，所以当x<0时，有f(x)=−f(−x)，即h(x)=−g(−x)。
同理，当x≥0时，有f(−x)=−f(x)，即g(−x)=−h(x)。
当x>0时，−x<0，所以F(−x)=g(−x)=−h(x)=−F(x)；
当x<0时，−x>0，所以F(−x)=h(−x)=−g(x)=−F(x)；
当x=0时，由于f(x)是奇函数，所以f(0)=0，那么F(0)=g(0)=h(0)=0，也满足F(−x)=−F(x)。
∴对于所有在其定义域内的x，都有F(−x)=−F(x)，所以F(x)是奇函数
类似地，可证明当F(x)是奇函数时，f(x)是奇函数。
∴f(x)为奇函数的充要条件是其“域反函数”F(x)为奇函数
同理可证：f(x)为偶函数的充要条件是其“域反函数”F(x)为偶函数
（3）不存在整数a，由（2）可知f(x)是偶函数，则b=2，f(x)=ax2+c
又由f(14x2+1)＜f(ax)＜f(0)恒成立，得到：a＜0ax＜14x2+1，解得：-1＜a＜0，故不存在整数a可以满足条件
（b=2：2分 a＜0：2分 结果：1分 过程分：1分）
A．
B．
C．
D．