广东省肇庆一中教育集团初中部2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷-A4

这是一份广东省肇庆一中教育集团初中部2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷-A4，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图所示的图案是我国几家银行标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．（3分）已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长等于（ ）
A．12B．12或15C．15或18D．15
4．（3分）在平面直角坐标系中，点（5，3）关于x轴的对称点是（ ）
A．（3，5）B．（5，﹣3）C．（﹣5，3）D．（﹣5，﹣3）
5．（3分）如图，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
6．（3分）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝4，则点P到边OB的距离为（ ）
A．6B．5C．4D．3
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD平分∠BAC
C．AD⊥BCD．AB＝2BD
9．（3分）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足．则结论：（1）AD＝BF；（2）CF＝CD；（3）AC+CD＝AB；（4）BE＝CF；（5）BF＝2BE，其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本题共计5题，共计15分）
11．（3分）一个三角形的两边长分别是5和11，那么第三边长x的取值范围 ．
12．（3分）如图，如果图中的两个三角形全等，根据图中所标数据，可以推理得到∠α＝ ．
13．（3分）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为 cm．
14．（3分）如图，直线a∥直线b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝18°，∠2＝32°，则∠ABC的大小为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。
16．（7分）如图，AB＝AD，CB＝CD，∠BAD＝28°，∠D＝25°．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）求∠BCD度数．
17．（7分）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AD＝BE，AC∥DF，BC∥EF．
求证：BC＝EF．
18．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD；（保留作图痕迹，不要求写画法）
（2）在（1）作出AB的垂直平分线MN后，求∠DBC的度数．
四.解答题（二），本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．（9分）如图，在△ABC中，已知AD、BE分别是BC、AC上的高，且AD＝BE．求证：△ABC是等腰三角形．
20．（9分）如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：
（1）OC＝OD；
（2）OE是线段CD的垂直平分线．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）写出点A1、C1的坐标，并求出△A1B1C1的面积；
（3）在y轴上作出一点P，使PA+PC最小．
五.解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。
22．（13分）已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC＝α．
（1）如图1，若AB∥ON，
①求∠ABO的度数；
②当α为何值时，D为OB中点，并说明理由．
（2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．
23．（14分）如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0．
（1）如图1，求△AOB的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．
2024-2025学年广东省肇庆一中教育集团初中部八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共计10题，共计30分）
1．（3分）如图所示的图案是我国几家银行标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】利用多边形的内角和公式即可求解．
【解答】解：因为多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，
所以（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
所以这个多边形的边数是6．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．内角和公式可能部分学生会忘记，但是这并不是重点，如果我们在学习这个知识的时候能真正理解，在考试时即使忘记了公式，推导一下这个公式也不会花多少时间，所以，学习数学，理解比记忆更重要．
3．（3分）已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长等于（ ）
A．12B．12或15C．15或18D．15
【答案】D
【分析】由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的周长的定义计算即可求解．
【解答】解：∵等腰三角形的两边长分别是3和6，
∴①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3＝15；
②当腰为3时，3+3＝6，三角形不成立；
∴此等腰三角形的周长是15．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的周长的计算，也利用了等腰三角形的性质，同时也利用了分类讨论的思想．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点（5，3）关于x轴的对称点是（ ）
A．（3，5）B．（5，﹣3）C．（﹣5，3）D．（﹣5，﹣3）
【答案】B
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：点（5，3）关于x轴的对称点是（5，﹣3）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．
5．（3分）如图，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】B
【分析】由O是AA′、BB′的中点，可得AO＝A′O，BO＝B′O，再有∠AOA′＝∠BOB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA′B′．
【解答】解：∵O是AA′、BB′的中点，
∴AO＝A′O，BO＝B′O，
在△OAB和△OA′B′中，
，
∴△OAB≌△OA′B′（SAS），
故选：B．
【点评】此题主要全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件．
6．（3分）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝4，则点P到边OB的距离为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE＝PD，从而得解．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，
∴PE＝PD，
∵PD＝4，
∴PE＝4，
即点P到OB的距离是4．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由直角三角形的性质可求得∠BCD＝∠A＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可求得CD＝AC，BD＝AB，即可求解．
【解答】解：∵CD是AB边上的高线，
∴CD⊥AB，
∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵∠B＝60°，BC＝AB，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝BC，CD＝AC，
∴BD＝AB．
故选：D．
【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD平分∠BAC
C．AD⊥BCD．AB＝2BD
【答案】D
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质解答．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点
∴∠B＝∠C（故A正确），
AD⊥BC（故C正确），
∠BAD＝∠CAD（故B正确），
无法得到AB＝2BD，（故D不正确）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质．
9．（3分）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
【答案】B
【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB＝∠DAB，计算即可．
【解答】解：作MN⊥AD于N，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN＝MC，
∵M是BC的中点，
∴MC＝MB，
∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB＝∠DAB＝35°，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足．则结论：（1）AD＝BF；（2）CF＝CD；（3）AC+CD＝AB；（4）BE＝CF；（5）BF＝2BE，其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】①正确．只要证明△ADC≌△BFC，即可推出AD＝BF；
②正确．由△ADC≌Rt△BFC可直接得出结论；
③正确．只要证明∠ABF＝∠F＝67.5°，即可推出AF＝AB，即AC+CD＝AB；
④错误．由③可知，△ABF是等腰三角形，由于BE⊥AD，故BE＝BF，在Rt△BCF中，若BE＝CF，则∠CBF＝30°，与②中∠CBF＝22.5°相矛盾，故BE≠CF；
⑤正确．由③可知，△ABF是等腰三角形，由于BE⊥AD，根据等腰三角形三线合一的性质即可解答．
【解答】解：①∵BC＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAF＝22.5°，
∵∠EAF+∠F＝90°，∠FBC+∠F＝90°，
∴∠EAF＝∠FBC，
在△ACD与△BFC中，
，
∴△ADC≌△BFC，
∴AD＝BF，故①正确；
②∵△ADC≌△BFC，
∴CF＝CD，故②正确；
③∵△ADC≌△BFC，
∴CF＝CD，AC+CD＝AC+CF＝AF，
∵∠CBF＝∠EAF＝22.5°，
∴在Rt△AEF中，∠F＝90°﹣∠EAF＝67.5°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠ABF＝180°﹣∠F﹣∠CAB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴AF＝AB，即AC+CD＝AB，故③正确；
④由③可知，△ABF是等腰三角形，
∵BE⊥AD，
∴BE＝BF，
∵在Rt△BCF中，若BE＝CF，则∠CBF＝30°，与②中∠CBF＝22.5°相矛盾，
故BE≠CF，故④错误；
⑤由③可知，△ABF是等腰三角形，
∵BE⊥AD，
∴BF＝2BE，故⑤正确．
所以①②③⑤四项正确．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，正确寻找全等三角形是解答此题的关键，学会通过计算证明角相等，属于中考常考题型．
二、填空题（本题共计5题，共计15分）
11．（3分）一个三角形的两边长分别是5和11，那么第三边长x的取值范围 6＜x＜16 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
【解答】解：∵此三角形的两边长分别为5和11，
∴第三边长的取值范围是：11﹣5＝6＜第三边＜11+5＝16，
即：6＜x＜16，
故答案为：6＜x＜16．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
12．（3分）如图，如果图中的两个三角形全等，根据图中所标数据，可以推理得到∠α＝ 67° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由三角形全等可知两全等三角形对应角相等，要根据条件得到对应角，即可求出∠α的值．
【解答】解：∵两个三角形全等，长度为3的边是对应边，
∴长度为3的边对的角是对应角，
∴∠α＝67°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，即三角形全等对应边相等，对应角相等，根据已知找准对应角是解决本题的关键．
13．（3分）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为 19 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，
∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，
∴△ACD周长为：25﹣6＝19cm．
故答案为19．
【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键．
14．（3分）如图，直线a∥直线b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝18°，∠2＝32°，则∠ABC的大小为 40° ．
【答案】40°．
【分析】如图，作CK∥a．证明∠ACB＝∠1+∠2即可解决问题．
【解答】解：如图，作CK∥a．
∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠2，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝18°+32°＝50°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】作辅助线，构建PC+PQ的最小值，即CM的值，根据面积法求出CM的长，即PC+PQ的最小值．
【解答】解：如图，过C作CM⊥AB，交AD于P，交AB于M，过P作PQ⊥AC于Q，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴PQ＝PM，
这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，
tan30°＝，cs30°＝，
∴AC＝8×＝，AB＝＝，
∴S△ACB＝AC•BC＝AB•CM，
∴×8＝•CM，
∴CM＝4，
∴PC+PQ的最小值为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了最短路径问题和含30°角的直角三角形的性质，在直角三角形，30°角所对的直角边是斜边的一半，也可以利用30°角的三角函数列式求边长；凡是涉及最短距离的问题，一方面考虑垂线段最短，如本题，另一方面利用所学轴对称变换来解决，作点关于某直线的对称点．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。
16．（7分）如图，AB＝AD，CB＝CD，∠BAD＝28°，∠D＝25°．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）求∠BCD度数．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）78°．
【分析】（1）利用SSS即可证明△ABC≌△ADC；
（2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ACB＝∠ACD＝141°，再根据周角定义求解即可．
【解答】（1）证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）解：∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝28°，
∴∠DAC＝14°，
∵∠D＝25°，
∴∠ACD＝180°﹣∠D﹣∠DAC＝141°＝∠ACB，
∴∠BCD＝360°﹣∠ACB﹣∠ACD＝78°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
17．（7分）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AD＝BE，AC∥DF，BC∥EF．
求证：BC＝EF．
【答案】证明过程见解答．
【分析】根据等式的性质可得AB＝DE，再利用平行线的性质可得∠A＝∠FDE，∠CBA＝∠E，从而利用ASA证明△ABC≌△DEF，然后利用全等三角形的性质即可解答．
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD﹣BD＝BE﹣BD，
∴AB＝DE，
∵AC∥DF，BC∥EF，
∴∠A＝∠FDE，∠CBA＝∠E，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴BC＝EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
18．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD；（保留作图痕迹，不要求写画法）
（2）在（1）作出AB的垂直平分线MN后，求∠DBC的度数．
【答案】（1）见解答；
（2）45°．
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于M、N两点，再过M、N画直线交AC于D，最后连接BD即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，再根据等边对等角可得∠ABD＝∠A＝30°，即可解答．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝45°．
【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握线段垂直平分线的画法，以及线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
四.解答题（二），本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．（9分）如图，在△ABC中，已知AD、BE分别是BC、AC上的高，且AD＝BE．求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用已知条件可证明△ADC≌△BEC，由全等三角形的性质可得AC＝BC，问题得证．
【解答】证明：∵AD、BE分别是边BC、AC上的高，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定，是中考常见题型，比较简单．
20．（9分）如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：
（1）OC＝OD；
（2）OE是线段CD的垂直平分线．
【答案】（1）见解析
（2）见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质得到ED＝EC，再判定Rt△OCE≌Rt△ODE，得出OC＝OD；
（2）由（1）得到点O在CD的垂直平分线上，再根据EC＝DE，可得点E在CD的垂直平分线上，进而得到OE是CD的垂直平分线．
【解答】证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC＝DE；
在Rt△OCE和Rt△ODE中，，
∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），
∴OC＝OD；
（2）∵OC＝OD，
∴点O在CD的垂直平分线上，
又∵EC＝DE，
∴点E在CD的垂直平分线上，
∴OE是CD的垂直平分线．
【点评】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）写出点A1、C1的坐标，并求出△A1B1C1的面积；
（3）在y轴上作出一点P，使PA+PC最小．
【答案】（1）见解答；
（2）A1（1，5），C1（4，3），；
（3）见解答．
【分析】（1）根据由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形；
（2）根据△A1B1C1各顶点的位置，写出其坐标即可；
（3）连接BC1，交y轴于点P，连接PC，则点P即为所求，此时PC＝PC1，根据两点之间线段最短，可得PC+PB的值最小．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）由图可得，A1（1，5），C1（4，3），
S＝3×＝；
（3）如图所示，连接A1C，交y轴于点P，则点P即为所求，
连接AP，则AP＝A1P，根据两点之间线段最短，可得PA+PC的值最小．
【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及最短距离的问题，解题时注意：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，运用轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
五.解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。
22．（13分）已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC＝α．
（1）如图1，若AB∥ON，
①求∠ABO的度数；
②当α为何值时，D为OB中点，并说明理由．
（2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．
【答案】（1）①20°；②当α＝70°时，D为OB中点，理由见解析；
（2）当四边形DCFB为“完美四边形”时，α的值是30°或75°或15°．
【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得①∠ABO的度数；②根据∠ABO＝∠AOB＝20°可得AO＝AB，∠OAB＝140°，由D为OB中点，根据等腰三角形的性质可得AD⊥OB，∠OAD＝∠BAC，可得α的值；
（2）分两种情况进行讨论：①当∠BDC＝2∠BFC时，②当∠DBF＝2∠DCF时，分别根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理，直角的度数，可得α的值．
【解答】解：（1）如图，
①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BON＝20°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO＝∠BON＝20°；
②当α＝70°时，D为OB中点，理由如下：
∵∠ABO＝∠AOB＝20°，
∴AO＝AB，∠OAB＝140°，
∵D为OB中点，
∴AD⊥OB，∠OAD＝∠BAC，
∴∠OAD＝∠BAC＝70°，
∴α＝70°时，D为OB中点；
（2）①当∠BDC＝2∠BFC时，如图，
∵AB⊥OM，∠MON＝40°，
∴∠BFC＝50°，
∴∠BDC＝2∠BFC＝100°，
∵∠ABO＝∠BFC+∠BON＝50°+20°＝70°，
∴∠BAC＝∠BDC﹣∠ABD＝100°﹣70°＝30°，
∴α＝30°；
②当∠DBF＝2∠DCF时，
∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°，
∴∠DBF＝∠AOB+∠OAB＝20°+90°＝110°，∠BFC＝50°，
∴∠DCF＝∠DBF＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BFC﹣∠ACF＝80°﹣50°﹣55°＝75°，
∴α＝75°．
③当C在F右边，∠DBF＝2∠DCF时，
∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°，
∴∠DBF＝90°﹣∠AOB＝90°﹣20°＝70°，∠AFO＝50°，
∴∠DCF＝∠DBF＝35°，∠AFC＝130，
∴∠BAC＝180°﹣∠DCF﹣∠AFC＝180°﹣35°﹣130°＝15°，
∴α＝15°．
综上所述，当四边形DCFB为“完美四边形”时，α的值是30°或75°或15°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，注意分类讨论思想的运用．
23．（14分）如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0．
（1）如图1，求△AOB的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据非负数的性质得到a﹣2＝0，2b﹣4＝0，求得a＝2，b＝2，得到OA＝2，OB＝2，于是得到结果；
（2）证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF根据已知条件得到∠BDF＝180°，由∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，同时代的∠BOD+∠AOC＝45°，求出∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，推出△ODF≌△ODC，根据全等三角形的性质得到DC＝DF＝DB+BF＝DB+DC；
（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，由∠BAO＝∠PDF＝45°，得到∠PAB＝∠PD，E＝135°，根据余角的性质得到∠BPA＝∠PED，推出△PBA≌EPD，根据全等三角形的性质得到AP＝ED，于是得到FD+ED＝PF+AP．即：FE＝FA，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
【解答】（1）解：∵（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0，
∴a﹣2＝0，2b﹣4＝0，
∴a＝2，b＝2，
∴A（2，0）、B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴△AOB的面积＝＝2；
（2）证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF，
∵∠OAC＝∠OBF＝∠OBA＝45°，∠DBA＝90°，
∴∠DBF＝180°，
∵∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝45°，
∴∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，
在△ODF与△ODC中，，
∴：△ODF≌△ODC（SAS），
∴DC＝DF，DF＝BD+BF，故CD＝BD+AC．
（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，
∵∠BAO＝∠PDF＝45°，
∴∠PAB＝∠PDE＝135°，
∴∠BPA+∠EPF＝90°，∠EPF+∠PED＝90°，
∴∠BPA＝∠PED，
在△PBA与△EPD中，
，
∴△PBA≌EPD（AAS），
∴AP＝ED，
∴FD+ED＝PF+AP，
即：FE＝FA，
∴∠FEA＝∠FAE＝45°，
∴∠QAO＝∠EAF＝∠OQA＝45°，
∴OA＝OQ＝2，
∴BQ＝4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．