精品解析：广东省中山市华辰实验中学2023届高三上学期开学考试数学试题（解析版）

中山华附2022-2023学年度第一学期高三年级开学考

数学试卷

第I卷

一､单选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】集合中的元素均为整数，根据交运算即可求解.

【详解】由题意可知，，

故选：C．

2. 已知的解集为，则的值为（    ）

A. 1 B. 2 C. -1 D. -2

【答案】B

【解析】

【分析】由题知为方程的一个根，由韦达定理即可得出答案.

【详解】因为的解集为，

所以为方程的一个根，

所以．

故选:B．

3. 函数的部分图像大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设，分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】设，则对任意的，，

则，所以函数是偶函数，排除B、D．

当时，，则，所以，排除C．

故选：A．

4. 若函数有极大值点，则实数c的取值范围为（    ）

A.  B. （，＋∞）

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由函数有极值点知方程有两个不同的根，从而求出实数的范围．

【详解】函数有极大值点，

有两个不同的根，

，

解得，或，

即实数的范围

故选：D

5. 已知，则（    ）

A. 280 B. 35 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将化为

，利用展开式的通项求解即可.

【详解】，

令，则

，

展开式的通项为：，

令，可得，所以.

故选：A.

6. 山东烟台苹果因“果形端正､色泽艳丽､果肉㓉脆､香气浓郁”享誉国内外据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在]内的概率为（    ）

附：若，则

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】确定，根据正态分布所给定区间上的概率，结合正态曲线的对称性，可求得答案.

【详解】由题意得：，

故

，

故烟台苹果直径在]内的概率为，

故选：C

7. 定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】函数的图象关于直线对称可得，再根据当时，单调递减可得答案.

【详解】定义在上的函数的图象关于直线对称，

所以，所以，

因为当时，为单调递增函数，

定义在上的函数的图象关于直线对称，

所以当时，单调递减，

因为，所以，即.

故选：B.

8. 七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先逐个求解所有5个三角形的面积，再根据要求计算概率.

【详解】如图所示，，，，，的面积分别为，，．
将，，，，分别记为，，，，，从这5个三角形中任取出2个，则样本空间，共有10个样本点．
记事件表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和”，则事件包含的样本点为，，，共3个，所以．
故选：D．

二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，已知，，则（    ）

A. 数据的平均数为0

B. 若变量的经验回归方程为，则实数

C. 变量的样本相关系数越大，表示模型与成对数据的线性相关性越强

D. 变量的决定系数越大，表示模型与成对数据拟合的效果越好

【答案】BD

【解析】

【分析】对A：由平均数的性质即可求解；对B：根据回归直线必过样本中心即可求解；对C：根据相关系数越大，线性相关性越强即可判断；对D：变量的决定系数越大，数据拟合的效果越好即可判断.

【详解】解：因为，所以.

对于选项A，的平均数为，故选项A错误；

对于选项B，若变量的经验回归方程是，则，故选项B正确；

对于选项C，当变量为负相关时，相关性越强，相关系数越小（越接近于），故选项C错误；

对于选项D，变量的决定系数越大，残差平方和越小，则变量拟合的效果越好，故选项D正确.

故选：BD.

10. 下列说法不正确的是（    ）

A. 已知集合，，若，则实数m组成的集合为

B. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是

C. 命题，成立的充要条件是

D. “”是“”的充分不必要条件

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断B、C、D，根据集合的包含关系求出参数的值，即可判断A；

【详解】解：对于A：，，

若，则或或，即或或，

解得或或，即实数m组成的集合为，故A错误；

对于B：当时不等式恒成立，故B错误；

对于C：命题，为真命题，即在上成立，

令，，所以，

所以，故C正确；

对于D：若即且，所以由推不出，即充分性不成立，

由推得出，即必要性成立，故“”是“”的必要不充分要条件，故D错误；

故选：ABD

11. 已知，，且，下列结论正确的是（       ）

A. 的最小值是1 B. 的最小值是

C. 的最小值是4 D. 的最小值是9

【答案】BC

【解析】

【分析】对AC，利用基本不等式可直接求出；对B，将代入即可求出；对D，化为展开利用基本不等式可求出.

【详解】对A，因为，，则，解得，当且仅当等号成立，取得最大值为，故A错误；

对B，由可得，则，

，当时，取得最小值为，故B正确；

对C，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是4，故C正确；

对D，，当且仅当等号成立，所以最小值是，故D错误.

故选：BC.

12. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 有两个不同零点

B.

C. 在上单调递增

D. 若函数在处取得最小值，则

【答案】CD

【解析】

【分析】对函数求二次导，判断函数的单调性，进而判断选项A和C；令，利用导数判断函数的单调性进而判断选项B和D.

【详解】，令，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以．所以在上单调递增．故函数最多只有一个零点，故选项A错误；选项C正确；

令，则，

令，则在上恒成立．

则在上单调递增．又，

所以，则在上单调递减，

在上单调递增，即．又，

则，所以，则恒成立，

所以不存在，使得，故选项B错误；选项D正确；

故选：CD．

第II卷

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）

13. 已知是奇函数，且，若，则___.

【答案】-1

【解析】

【分析】由题意，可先由函数是奇函数求出，再将其代入求值即可得到答案

【详解】由题意，是奇函数，且（1），

所以（1）解得

所以

故答案为：．

【点睛】本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，基本题型．

14. 的展开式中的常数项为__________．

【答案】40

【解析】

【分析】先求出的展开式通项为，分析 展开式中的常数项的构成，即可求解.

【详解】的展开式通项为.

要求 展开式中的常数项，分别令和，

分别解得：和.

 因此所求常数项为．

故答案为：40.

15. 实施乡村振兴战略是决胜全面建成小康社会的重大历史任务，是新时代做好“三农”工作的总抓手．某市聘请6名农业专家安排到三个乡镇作指导，每个乡镇至少一人，其中专家A不能去甲镇，则不同的安排方案的种数是__________．

【答案】

【解析】

【分析】先不考虑专家A不能去甲镇的情况，将6名农业专家分组，再分配到三个镇上去的总情况数，再根据专家A去甲镇所占的比例数求解即可.

【详解】由题意，先不考虑专家A不能去甲镇的情况，将6名农业专家分组，

所有可能的情况有，，三种情况．

其中分组数有种，

分组数有种，

分组数有种．

再将6名农业专家分配到甲乙丙三个镇上共种情况．

上述分析中，专家A去甲镇，去乙镇和去丙镇的情况数相等，

故专家A不去甲镇的情况有种情况，

故答案为：.

16. 已知函数，若的解集中恰有一个整数，则m的取值范围为________．

【答案】

【解析】

【分析】由且，得出，构造函数，利用导数研究的单调性，画出和的大致图象，由图可知，设为和的交点的横坐标，结合题意可知该整数为1，即，当直线过和时，即可求出求出的值，从而得出的取值范围.

【详解】由题可知，，，

由于的解集中恰有一个整数，

即，即，

因为，所以的解集中恰有一个整数，

令，则，

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

画出和的大致图象，如图所示：

要使得，可知，

设为和的交点的横坐标，

而的解集中恰有一个整数，可知该整数为1，即，

当时，得；当时，得，

即，，

当直线过点时，得，

当直线过点时，得，

所以的取值范围为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了利用导数数形结合解决函数不等式的问题，需要根据题意构造不等式左右两边的函数，再分析单调性与函数图象，进而求得临界值求得参数范围，属于难题

四､解答题：（本大题共6小题，共70分．解答时应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知函数定义上有恒成立，且当时，.

（1）求的值及函数的解析式；

（2）求函数的值域.

【答案】（1），（2）

【解析】

【分析】（1）利用奇函数的性质进行计算．

（2）利用换元法结合一元二次函数的性质求出当时的取值范围，再根据奇函数的性质，即可求出函数的值域．

【详解】解：（1）因为函数定义在上有恒成立

所以函数为奇函数，又当时，

所以．

当时，则．所以，

因为是定义在上的奇函数，

所以，即．

所以函数的解析式为．

（2）令，当时，，

则当时，可写为，所以．

由是定义在上的奇函数，所以当时．

即函数的值域为．

18. 随机选取变量和变量的对观测数据，选取的第对观测数据记为，其数值对应如下表所示：

计算得：，，，，．

（1）求变量和变量的样本相关系数（小数点后保留位），判断这两个变量是正相关还是负相关，并推断它们的线性相关程度；

（2）假设变量关于的一元线性回归模型为.

（ⅰ）求关于的经验回归方程，并预测当时的值；

（ⅱ）设为时该回归模型残差，求、、、、的方差．

参考公式：，，．

【答案】（1）答案见解析   

（2）①答案见解析；②

【解析】

【分析】（1）将数据代入相关系数公式，求出的值，判断可得出结论；

（2）①将参考数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出关于的经验回归方程，然后将代入经验回归方程，可得出的预测值；

②计算出、、、、，利用方差公式可求得结果.

【小问1详解】

解：，

所以，这两个变量负相关，且具有较强的线性相关性.

【小问2详解】

解：①，则，

所以，关于的经验回归方程为，

当时，则，

所以，当时，的预测值为；

②由，计算得该回归模型的残差如下表所示：

所以，残差的方差为.

19. 杭州市将于2022年举办第19届亚运会，本届亚运会以“绿色、智能、节位、文明”为办赛理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式：

（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式：（利润=销售收入-成本）

（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．

【答案】（1）；（2）万台时最大利润为万元.

【解析】

【分析】（1）由题意有，即可写出利润（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式.

（2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出、上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值.

【详解】（1）由题意知：，

∴.

（2）由（1）知：，

∴时，单调递增，则；

时，，当且仅当时等号成立.

综上，当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大为万元.

20. 对某品牌机电产品进行质量调查，共有“擦伤、凹痕、外观”三类质量投诉问题．其中保质期内的投诉数据如下：

保质期后的投诉数据如下：

（1）若100项投诉中，保质期内60项，保质期后40项．依据小概率值独立性检验，能否认为凹痕质量投诉与保质期有关联？

（2）若投诉中，保质期内占64%，保质期后占36%．设事件A：投诉原因是产品外观，事件B：投诉发生在保质期内．

（ⅰ）计算，并判断事件A，B是独立事件吗？

（ⅱ）“若该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内的概率大”，这种说法是否成立？并给出理由．

，．

【答案】（1）在犯错概率不大于的前提下，认为凹痕质量投诉与保质期有关联   

（2）（ⅰ），事件A，B不是独立事件；（ⅱ）说法成立，理由见详解

【解析】

【分析】（1）根据题意可得列联表，代入的公式运算求解，并于比较大小，理解分析；（2）（ⅰ）运用全概率公式运算求解，根据条件概率公式求，并根据“若事件A，B是独立事件，则”，运算判断事件A，B是否独立事件；（ⅱ）根据条件概率公式分别求，，比较大小，理解分析．

【小问1详解】

零假设：凹痕质量投诉与保质期无关联

根据题意可得列联表：

则可得：

∵

∴不成立

即在犯错概率不大于的前提下，认为凹痕质量投诉与保质期有关联

【小问2详解】

（ⅰ）由据题意可得：

∴

∵，则事件A，B不是独立事件

（ⅱ）由题意可得：

“该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内”的概率

“该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期后”的概率

∵，则“若该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内的概率大”，这种说法成立

21. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有6人，其中2名是男生，4名是女生）

（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？

（2）从这6名戴角膜塑形镜的学生中，选出2个人，求其中男生人数X的期望与方差；

（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差．

【答案】（1）   

（2），   

（3）期望是1.2，方差是1.128

【解析】

【分析】（1）先求解这位小学生戴眼镜的概率，再求这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜的概率，再根据条件概率的公式求解即可；

（2）易得男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，再根据概率公式求解分布列，再根据公式求解数学期望与方差即可；

（3）根据二项分布的数学期望与方差公式求解即可

【小问1详解】

根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件B，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件AB，则，

故所求的概率为：，

所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；

【小问2详解】

依题意，佩戴角膜塑形镜的有6人，其中2名是男生，4名是女生，故从中抽2人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，

；；．

所以男生人数X的分布列为：

所以，

【小问3详解】

由已知可得：

则：，

所以佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望是1.2，方差是1.128

22. 已知函数，；，.

（1）求函数在区间上的极值；

（2）判断曲线与曲线有几条公切线并给予证明.

【答案】（1）极大值，无极小值   

（2）2条公切线，证明见解析.

【解析】

【分析】（1）首先求函数的解析式，再求函数的导数，利用导数和单调性，极值的关系，即可求解；

（2）首先设直线分别切，的图象于点，，并分别求切线方程，比较两个方程后可得关于的方程组，消去后可得关于直线的方程，再构造对应的函数，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理，可判断零点个数，即可判断切线条数.

【小问1详解】

，，

，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，函数取得极大值，无极小值；

【小问2详解】

设直线分别切，的图象于点，，

由，，

所以直线的方程为，

即直线 ，

由，得，

所以直线的方程为，

即，

比较的方程可得，消去可得，

令，

所以，

当时，，当时，，

所以在单调递减，在单调递增，

所以，

因为，

所以在上有一个零点，

由，得，

所以在上有一个零点，故函数在区间有2个零点，

故有且只有两条直线与函数，的图象都相切.