上海市大同中学2024-2025学年高二上学期10月学情调研数学试卷

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2. 包含关系从小到大：D C A B
3 ．故答案为： 1
4 ． ②④
5. 4
6
6 ．正四面体 ABCD 的棱长为 1 ，则点A 到平面 BCD 的距离为 .
3
7. 如图，长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，AB = BC = 6 ，点 E 在线段 C1D1 上，且 2D1E = EC1 ，
M 为 线 段 BE 的 中 点 ， 若 BE = 2 则 异 面 直 线 AD1 与 CM 所 成 角 的 余 弦 值
为 .
8. 答案：2
9. 如图 ，在 四棱锥 P- ABCD 中 ， 平面 PAB 丄 平面 ABCD ，底面 ABCD 为矩形 ， AD : AB = 1 : 2 ， PAB 为等边三角形 ，则直线 PD 与平面 ABCD 所成角的正弦值为
15
.
_______________
5
10. 【答案】
【解析】
【分析】遮阴影面 ABC’面积达到最大即是点 C’到 AB 的距离最大，根据正弦定理表示出点 C’到 AB 的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系.
11.
【解析】
---→
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，设 BQ = t ，并求出PQ 的坐标，再结合线 面角的向量求法求解.
【详解】在长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 中，以点 A1 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
12. √10
A1
二、选择
D1
P
B1
D
Q
A B
C1 E
C
13. 已知两个不同的平面α 和 β , l 为α 内的一条直线，则“α ∥ β ”是“l∥ β ”的（ A ）
14. 下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（ C ）
15. 下列说法错误的是（ C ）
16. （ B ）
三、解答
17 ．（6 分+6 分）
【答案】见解析
【解析】证明：（1） 由正方的性质可知 BB1 / /DD1 且 BB1 = DD1 ，
: BB1D1D 是平行四边形 : B1D1 / /BD ，
又D1B1 / 平面 BC1D 上， BD 平面 BC1D .
: B1D1 / / 平面 BC1D ，同理 AD1 / / 平面 BC1D .
: 平面 AB1D1 / / 平面 BC1D . …… （6 分）
(2) CC1 丄 ABCD ， : AC 为 A1C 在面 ABCD 内的射影，
AC 丄 BD ， : 由三垂线定理得 A1C 丄 BD ，同理 A1C 丄 BC1 ，
: A1C 丄 平面 BC1D . …… （12 分）
18 ．（6 分+6 分）
（1）
（2）
19 ．（6 分+6 分）
【小问 1 详解】
∵四边形 ABCD是菱形， ∴ AC 丄BD ，
由四边形 BDEF 是正方形有DE 丄 BD ，
又面 BDEF 丄 面 ABCD ，面 BDEF ∩ 面 ABCD = BD ， DE 面 BDEF ， ∴ DE 丄面 ABCD ， AC 面 ABCD ，即DE 丄AC ，
又 BD∩DE = D ，且 BD, DE 面BDEF ， ∴ AC 丄面BDEF ，由 AC 面 ACE ，
∴平面 ACE 丄 平面 BDEF ； 【小问2 详解】二面角A — DM — B 的大小为 arctan .
20 ．（4 分+4 分+4 分）
答案：（1）1 ；（2）不存在；（3） ， 4 — 2
.