重庆市第七中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线经过点，，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 若直线与直线互相垂直，则实数的值是（ ）
A. 1B. －1C. 4D. －4
3. 如图，在空间四边形中，设分别是，的中点， 则（ ）
A. B.
C. D.
4. 平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已如是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，，则的面积等于（ ）
A. 24B. 26C. D.
6. 我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A. B.
C D.
7. 点是圆：上一动点，过点向圆：作两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 设，分别为椭圆：（）的左、右顶点，是上一点，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于2，焦距为，过焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的方程为B. 椭圆的离心率为
C. D.
10. 已知直线：和圆：，则下列选项正确的是（ ）
A. 直线恒过点
B. 圆与圆：有三条公切线
C. 直线被圆截得的最短弦长为
D. 圆上恰有4个点到直线的距离等于，则
11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ）

A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值
B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D. 使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知空间的量，，若，则______.
13. 设为实数，若直线与曲线有公共点，则实数取值范围是______.
14. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数满足，则最小值为______，的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
16. 已知点圆上．
（1）求该圆的圆心坐标及半径长；
（2）过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长．
17. 已知椭圆C：经过点，、是椭圆C的左、右两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P在第一象限，且，求点P横坐标的取值范围．
18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面ABC内的射影为.
（1）求证：平面BDE；
（2）若点F为棱的中点，求点到平面BDE的距离；
（3）若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围.
19. 已知点，是平面内不同的两点，若点满足(，且)，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的—阿波罗尼斯圆.若点满足()，则点的轨迹是以为“稳点”的—卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，(）.
（1）当，时，若点的轨迹是以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆，求点的轨迹方程；
（2）在(1)的条件下，若点在以为“稳点”的5—卡西尼卵形线上，求(为原点）的取值范围；
（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，试判断是否存在实数，，使得以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称，若存在，求出实数，的值，若不存在，请说明理由.