福建省泉州市泉港区第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)
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这是一份福建省泉州市泉港区第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案),共19页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题
1.若,,,则的值为( )
A.3B.4C.7D.15
2.在三棱锥中,E为上的一点,且,若,,,则用基底表示向量为( )
A.B.C.D.
3.已知直线,则下列结论正确的是( )
A.直线l的倾斜角是
B.直线l在x轴上的截距为1
C.若直线,则
D.过与直线l平行的直线方程是
4.已知两点,,直线l过点且与线段相交,则直线l的斜率k的取值范围可以是( )
A.B.C.或D.
5.已知,,设D在直线AB上,且,设,若,则的值为( )
A.B.C.D.
6.如图,在平行六面体中,底面是边长为1的正方形,若,且,则的长为( )
A.B.C.D.
7.三棱锥中,,,,则等于( )
A.B.2C.D.
8.如图,在直三棱柱中,,,已知G与E分别为和的中点,D和F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点),若,则线段DF的长度的平方取值范围为( ).
A.B.C.D.
二、多项选择题
9.求过点且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线l的方程( )
A.B.C.D.
10.已知空间中三点,,,则( )
A.与是共线向量
B.与同方向的单位向量是
C.与夹角的余弦值是
D.平面ABC的一个法向量是
11.如图,在棱长为1的正方体中,点E,F分别为,的中点,平面经过点C,E,F,且与交于点G,则下列结论正确的是( )
A.平面
B.平面平面
C.
D.二面角的正切值为
三、填空题
12.已知直线,当k变化时,所有的直线恒过定点_________
13.点,,,若,的夹角为锐角,则的取值范围为_________.
14.如图,在长方体中,,,点E在棱上.若二面角的大小为,则_________.
四、解答题
15.已知空间中三点,,,设,.
(1)已知向量与互相垂直,求k的值;
(2)若点在平面上,求m的值.
16.已知的三个顶点分别为,,,求:
(1)边所在直线的方程;
(2)边上中线AD所在直线的方程;
(3)边的垂直平分线DE的方程
17.在四棱锥中,底面为直角梯形,,,侧面底面,,,且E,F分别为,的中点.
(1)证明:平面;
(2)若直线与平面所成的角为,求平面与平面的夹角的余弦值.
18.如图1,已知正方形的边长为4,E,F分别为,的中点,将正方形沿折成如图2所示的二面角,且二面角的大小为,点M在线段上(包含端点)运动,连接.
(1)若为的中点,直线与平面的交点为O,试确定点O的位置,并证明直线平面;
(2)是否存在点M,使得直线与平面所成的角为?若存在,求此时二面角的余弦值;若不存在,请说明理由.
19.对于空间向量,定义,其中表示x,y,z这三个数的最大值.
(1)已知,.
①直接写出和(用含x的式子表示);
②当,写出的最小值及此时x的值;
(2)设,,求证:;
(3)在空间直角坐标系中,,,,点Q是内部的动点,直接写出的最小值(无需解答过程).
参考答案
1.答案:A
解析:由题设,则.
故选:A
2.答案:C
解析:由,则,
故选:C.
3.答案:D
解析:直线变为,
对于A,直线的斜率为,所以倾斜角为,A错误,
对于B,令,则,所以x轴上的截距为,B错误,
对于C,的斜截式方程为,斜率为,由于,所以l,m不垂直,故C错误,
对于D,直线l的斜率为,所以过与直线l平行的直线方程是,即为,故D正确,
故选:D
4.答案:C
解析:如图所示:
可得,
由图形可得直线l的斜率k的取值范围为或.
故选:C.
5.答案:B
解析:设,则,,,
,,
,,
,,.
故选:B
6.答案:C
解析:由题意得,,,
因为
,
所以
,
所以,
故选:C.
7.答案:A
解析:,
8.答案:D
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,
,
,
,
,
当y时,线段DF长度的最小值是
又时,线段DF长度的最大值是1
而不包括端点,故不能取;
故线段DF的长度的取值范围是:.
即线段的长度的平方取值范围为,
故选D.
9.答案:AB
解析:对于A,将代入,得,即点P在直线上,又过,
因此可得在两坐标轴上的截距绝对值相等,且都为0,故A正确;
对于B,将代入,得,即点P在直线上,
又与两坐标轴的交点坐标为,,
因此可得在两坐标轴上的截距绝对值相等,故B正确;
对于C,将代入,得,
即点P不在直线上,故C不正确;
对于D,将代入,得,
即点P不在直线上,故D不正确;
故选:AB.
10.答案:BCD
解析:由题意知空间中三点,,,
则,,则,即两向量没有倍数关系,
故与不是共线向量,A错误;
,故与同方向的单位向量是,B正确;
又,故,C正确;
记,则,
,即,,
又,,平面ABC,所以平面ABC,
故平面ABC的一个法向量是,D正确,
故选:BCD
11.答案:BCD
解析:对于A,因为正方体中,,且平面,
所以与平面不平行,故A错误;
对于B,如图,取AD中点H,连接BH,FH,BH,易知平面平面,
又在平面中,,
所以,又平面平面,所以平面,
又,所以平面平面,故B正确;
对于C,如图,取中点M,取中点N,连接EN,,,
再取中点G,连接FG,易知正方体中,,
在正方形中,,
在三角形中,,
由平行的传递性可得,,所以平面与交于点G,
而点G是线段上靠近的四等分点,
所以,故C正确;
对于D,如图,延长FG,相交于点K,取中点N,连接EN,过点E,作,垂足为P,连接NP,
易知平面,又平面,所以
又,所以平面,又平面,所以,
所以是二面角的平面角,
如图,将底面单独画出,在三角形中,,所以,
所以,
所以,
解得,所以,故D正确.
故选:BCD.
12.答案:
解析:因为直线,即为,
令,解得,
所以直线恒过定点.
故答案为:.
13.答案:
解析:,,
,的夹角为锐角,,且不能同向共线.
解得,.则的取值范围为.
故答案为.
14.答案:
解析:以D为原点,以,,为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,设,平面的法向量为
由题可知,,,,,
平面的一个法向量为轴,可取平面的法向量为
为平面的法向量,
令,则
二面角的大小为
,即
解得,(舍去)
故答案为
15.答案:(1)5
(2)
解析:(1)因为,,,
则,,
可得.
又因为向量与互相垂直,
则,解得,
所以k的值是5.
(2)因为点在平面上,则存在x,,使得成立.
又因为,即,
可得,解得,
所以m的值为.
16.答案:(1)
(2)
(3)
解析:(1)因为直线经过和两点,
由两点式得的方程为,即
(2),,D为的中点,
点的坐标为,
又边的中线过点,两点,
由截距式得所在直线方程为,即.
(3)的斜率,则的垂直平分线的斜率,
由斜截式得直线的方程为,即.
17.答案:(1)证明见解析
(2)
解析:(1)法一:取中点,连接,,
为的中点,,,
又,,,,
四边形为平行四边形,,
平面,平面,
平面.
法二:取中点N,连接,,
为的中点,,
平面,平面,平面,
又,,,,
四边形为平行四边形,,
平面,平面,平面
又,,平面,平面平面,
又平面,平面.
(2)因为平面平面,平面平面,平面,,
平面,
取中点G,连接,则,平面,
所以是直线与平面所成的角,即,
又,,
又,,,
又,则,
以G为坐标原点,为x轴,为y轴,为z轴建立空间直角坐标系,如图,
,,,
,,
设平面的一个法向量,,
则,取,则,
易得平面的一个法向量可取,
设平面与平面所成的夹角为,
,
故平面与平面所成的夹角的余弦为.
18.答案:(1)点O在的延长线上且与点A间的距离为2,证明见解析;
(2)存在,.
解析:(1)因为直线平面,故点O在平面内,也在平面内,
所以点O在平面与平面的交线(即直线)上,延长,交于点O,连接,如图所示.
因为,M为的中点,所以,所以,,
故点O在的延长线上且与点A间的距离为2,
连接交于点N,因为四边形为矩形,所以N是的中点.
连接,则为的中位线,所以,
又平面,平面,所以直线平面.
(2)如图,由已知可得,,又,
所以平面,且
所以平面平面,因为,,
所以为等边三角形,取的中点H,连接,则,所以平面,过点H作直线,以为坐标原点,以,,分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
,,,,
所以,
设,则,
设平面的法向量为,即,
取,则,,所以平面的一个法向量为,
要使直线与平面所成的角为,
则,
即,整理得,解得或
所以存在点M,使得直线与平面所成的角为,
取的中点Q,连接,则,所以平面
则为平面的一个法向量,易得,,
所以
设二面角的大小为,
,
当时,易知为钝角,,当时,易知为锐角,,
综上,二面角的余弦值为.
19.答案:(1)①,;
②,此时
(2)证明见解析
(3)
解析:(1)①因为,所以,;
②由题意,如图所示:
从而,,此时.
(2),
因为,,
所以,,,,,,
所以,,,
所以.
(3)由题意四点共面,所以由四点共面的充要条件可知,
由(2)可知,,
从而,
所以,等号成立当且仅当.
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