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    福建省泉州市泉港区第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

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    福建省泉州市泉港区第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

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    这是一份福建省泉州市泉港区第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案),共19页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题
    1.若,,,则的值为( )
    A.3B.4C.7D.15
    2.在三棱锥中,E为上的一点,且,若,,,则用基底表示向量为( )
    A.B.C.D.
    3.已知直线,则下列结论正确的是( )
    A.直线l的倾斜角是
    B.直线l在x轴上的截距为1
    C.若直线,则
    D.过与直线l平行的直线方程是
    4.已知两点,,直线l过点且与线段相交,则直线l的斜率k的取值范围可以是( )
    A.B.C.或D.
    5.已知,,设D在直线AB上,且,设,若,则的值为( )
    A.B.C.D.
    6.如图,在平行六面体中,底面是边长为1的正方形,若,且,则的长为( )
    A.B.C.D.
    7.三棱锥中,,,,则等于( )
    A.B.2C.D.
    8.如图,在直三棱柱中,,,已知G与E分别为和的中点,D和F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点),若,则线段DF的长度的平方取值范围为( ).
    A.B.C.D.
    二、多项选择题
    9.求过点且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线l的方程( )
    A.B.C.D.
    10.已知空间中三点,,,则( )
    A.与是共线向量
    B.与同方向的单位向量是
    C.与夹角的余弦值是
    D.平面ABC的一个法向量是
    11.如图,在棱长为1的正方体中,点E,F分别为,的中点,平面经过点C,E,F,且与交于点G,则下列结论正确的是( )
    A.平面
    B.平面平面
    C.
    D.二面角的正切值为
    三、填空题
    12.已知直线,当k变化时,所有的直线恒过定点_________
    13.点,,,若,的夹角为锐角,则的取值范围为_________.
    14.如图,在长方体中,,,点E在棱上.若二面角的大小为,则_________.
    四、解答题
    15.已知空间中三点,,,设,.
    (1)已知向量与互相垂直,求k的值;
    (2)若点在平面上,求m的值.
    16.已知的三个顶点分别为,,,求:
    (1)边所在直线的方程;
    (2)边上中线AD所在直线的方程;
    (3)边的垂直平分线DE的方程
    17.在四棱锥中,底面为直角梯形,,,侧面底面,,,且E,F分别为,的中点.
    (1)证明:平面;
    (2)若直线与平面所成的角为,求平面与平面的夹角的余弦值.
    18.如图1,已知正方形的边长为4,E,F分别为,的中点,将正方形沿折成如图2所示的二面角,且二面角的大小为,点M在线段上(包含端点)运动,连接.
    (1)若为的中点,直线与平面的交点为O,试确定点O的位置,并证明直线平面;
    (2)是否存在点M,使得直线与平面所成的角为?若存在,求此时二面角的余弦值;若不存在,请说明理由.
    19.对于空间向量,定义,其中表示x,y,z这三个数的最大值.
    (1)已知,.
    ①直接写出和(用含x的式子表示);
    ②当,写出的最小值及此时x的值;
    (2)设,,求证:;
    (3)在空间直角坐标系中,,,,点Q是内部的动点,直接写出的最小值(无需解答过程).
    参考答案
    1.答案:A
    解析:由题设,则.
    故选:A
    2.答案:C
    解析:由,则,
    故选:C.
    3.答案:D
    解析:直线变为,
    对于A,直线的斜率为,所以倾斜角为,A错误,
    对于B,令,则,所以x轴上的截距为,B错误,
    对于C,的斜截式方程为,斜率为,由于,所以l,m不垂直,故C错误,
    对于D,直线l的斜率为,所以过与直线l平行的直线方程是,即为,故D正确,
    故选:D
    4.答案:C
    解析:如图所示:
    可得,
    由图形可得直线l的斜率k的取值范围为或.
    故选:C.
    5.答案:B
    解析:设,则,,,
    ,,
    ,,
    ,,.
    故选:B
    6.答案:C
    解析:由题意得,,,
    因为
    ,
    所以
    ,
    所以,
    故选:C.
    7.答案:A
    解析:,
    8.答案:D
    解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,
    ,
    ,
    ,
    ,
    当y时,线段DF长度的最小值是
    又时,线段DF长度的最大值是1
    而不包括端点,故不能取;
    故线段DF的长度的取值范围是:.
    即线段的长度的平方取值范围为,
    故选D.
    9.答案:AB
    解析:对于A,将代入,得,即点P在直线上,又过,
    因此可得在两坐标轴上的截距绝对值相等,且都为0,故A正确;
    对于B,将代入,得,即点P在直线上,
    又与两坐标轴的交点坐标为,,
    因此可得在两坐标轴上的截距绝对值相等,故B正确;
    对于C,将代入,得,
    即点P不在直线上,故C不正确;
    对于D,将代入,得,
    即点P不在直线上,故D不正确;
    故选:AB.
    10.答案:BCD
    解析:由题意知空间中三点,,,
    则,,则,即两向量没有倍数关系,
    故与不是共线向量,A错误;
    ,故与同方向的单位向量是,B正确;
    又,故,C正确;
    记,则,
    ,即,,
    又,,平面ABC,所以平面ABC,
    故平面ABC的一个法向量是,D正确,
    故选:BCD
    11.答案:BCD
    解析:对于A,因为正方体中,,且平面,
    所以与平面不平行,故A错误;
    对于B,如图,取AD中点H,连接BH,FH,BH,易知平面平面,
    又在平面中,,
    所以,又平面平面,所以平面,
    又,所以平面平面,故B正确;
    对于C,如图,取中点M,取中点N,连接EN,,,
    再取中点G,连接FG,易知正方体中,,
    在正方形中,,
    在三角形中,,
    由平行的传递性可得,,所以平面与交于点G,
    而点G是线段上靠近的四等分点,
    所以,故C正确;
    对于D,如图,延长FG,相交于点K,取中点N,连接EN,过点E,作,垂足为P,连接NP,
    易知平面,又平面,所以
    又,所以平面,又平面,所以,
    所以是二面角的平面角,
    如图,将底面单独画出,在三角形中,,所以,
    所以,
    所以,
    解得,所以,故D正确.
    故选:BCD.
    12.答案:
    解析:因为直线,即为,
    令,解得,
    所以直线恒过定点.
    故答案为:.
    13.答案:
    解析:,,
    ,的夹角为锐角,,且不能同向共线.
    解得,.则的取值范围为.
    故答案为.
    14.答案:
    解析:以D为原点,以,,为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,设,平面的法向量为
    由题可知,,,,,
    平面的一个法向量为轴,可取平面的法向量为
    为平面的法向量,
    令,则
    二面角的大小为
    ,即
    解得,(舍去)
    故答案为
    15.答案:(1)5
    (2)
    解析:(1)因为,,,
    则,,
    可得.
    又因为向量与互相垂直,
    则,解得,
    所以k的值是5.
    (2)因为点在平面上,则存在x,,使得成立.
    又因为,即,
    可得,解得,
    所以m的值为.
    16.答案:(1)
    (2)
    (3)
    解析:(1)因为直线经过和两点,
    由两点式得的方程为,即
    (2),,D为的中点,
    点的坐标为,
    又边的中线过点,两点,
    由截距式得所在直线方程为,即.
    (3)的斜率,则的垂直平分线的斜率,
    由斜截式得直线的方程为,即.
    17.答案:(1)证明见解析
    (2)
    解析:(1)法一:取中点,连接,,
    为的中点,,,
    又,,,,
    四边形为平行四边形,,
    平面,平面,
    平面.
    法二:取中点N,连接,,
    为的中点,,
    平面,平面,平面,
    又,,,,
    四边形为平行四边形,,
    平面,平面,平面
    又,,平面,平面平面,
    又平面,平面.
    (2)因为平面平面,平面平面,平面,,
    平面,
    取中点G,连接,则,平面,
    所以是直线与平面所成的角,即,
    又,,
    又,,,
    又,则,
    以G为坐标原点,为x轴,为y轴,为z轴建立空间直角坐标系,如图,
    ,,,
    ,,
    设平面的一个法向量,,
    则,取,则,
    易得平面的一个法向量可取,
    设平面与平面所成的夹角为,
    ,
    故平面与平面所成的夹角的余弦为.
    18.答案:(1)点O在的延长线上且与点A间的距离为2,证明见解析;
    (2)存在,.
    解析:(1)因为直线平面,故点O在平面内,也在平面内,
    所以点O在平面与平面的交线(即直线)上,延长,交于点O,连接,如图所示.
    因为,M为的中点,所以,所以,,
    故点O在的延长线上且与点A间的距离为2,
    连接交于点N,因为四边形为矩形,所以N是的中点.
    连接,则为的中位线,所以,
    又平面,平面,所以直线平面.
    (2)如图,由已知可得,,又,
    所以平面,且
    所以平面平面,因为,,
    所以为等边三角形,取的中点H,连接,则,所以平面,过点H作直线,以为坐标原点,以,,分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
    ,,,,
    所以,
    设,则,
    设平面的法向量为,即,
    取,则,,所以平面的一个法向量为,
    要使直线与平面所成的角为,
    则,
    即,整理得,解得或
    所以存在点M,使得直线与平面所成的角为,
    取的中点Q,连接,则,所以平面
    则为平面的一个法向量,易得,,
    所以
    设二面角的大小为,
    ,
    当时,易知为钝角,,当时,易知为锐角,,
    综上,二面角的余弦值为.
    19.答案:(1)①,;
    ②,此时
    (2)证明见解析
    (3)
    解析:(1)①因为,所以,;
    ②由题意,如图所示:
    从而,,此时.
    (2),
    因为,,
    所以,,,,,,
    所以,,,
    所以.
    (3)由题意四点共面,所以由四点共面的充要条件可知,
    由(2)可知,,
    从而,
    所以,等号成立当且仅当.

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