上海市格致初级中学2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

这是一份上海市格致初级中学2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．x（x+1）＝x2﹣1
C．D．
3．（3分）下列代数式中，二次根式的有理化因式可以是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列各点中，在正比例函数的图象上的是（ ）
A．B．（﹣3，﹣1）C．（0，﹣1）D．（6，3）
5．（3分）对所有实数a，b，下列等式从左到右一定成立的是（ ）
A．
B．
C．＝﹣|a|
D．
6．（3分）如图是某函数的图象，当a≤x≤b时，若在该函数图象上可以找到n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），...，（xn，yn），使得恒成立，则n的值不可能是（ ）
A．2B．5C．6D．7
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）化简：＝ ．
8．（2分）计算：×．
9．（2分）函数的定义域是 ．
10．（2分）方程x2＝3x的根是 ．
11．（2分）在实数范围内因式分解：x2﹣4x﹣1＝ ．
12．（2分）已知正比例函数y＝（2﹣5m）x，y的值随x的增大而增大，那么m的取值范围是 ．
13．（2分）已知函数f（x）＝2x+1，如果f（a）＝3，那么a＝ ．
14．（2分）已知关于y的一元二次方程y2+2y﹣k＝1有实数根，则k的取值范围是 ．
15．（2分）某文具店为迎接“购物节”，提高水笔销量，经过两次降价后（每次降价的百分率相同），由每盒25元降至每盒16元．则降价的百分率为 ．
16．（2分）若正比例函数y＝2x（x＜0）图象上一点到y轴的距离是，则这点的坐标为 ．
17．（2分）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，则m的值为 ．
18．（2分）已知p、q是实数，有且只有三个不同的x满足方程|x2+px+q|＝3，则q的最小值是 ．
三、简答题（本大题共4题，每题5分，满分20分）
19．（5分）计算：．
20．（5分）计算：．
21．（5分）解方程：（2x+1）2＝2x2+x．
22．（5分）用配方法解方程：3x2﹣6x+2＝0．
四、解答题（本大题共6题，第23、24题每题5分，第25、26、27题每题6分，第28题10分，满分38分）
23．（5分）已知，求代数式的值．
24．（5分）已知方程x2﹣6x+m2﹣2m+5＝0的一个根为2，求另一个根和m的值．
25．（6分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过一、三象限，且经过P（k+2，4k+3）．
（1）求k的值．
（2）当时，求x的值．
26．（6分）已知关于x的方程（m2﹣m）x2﹣4mx+4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为整数，且m＜3，a是方程的一个根，求代数式的值．
27．（6分）同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果，需要推广宣传．原计划使用一块正方形ABCD场地布展，后经过研究，发现长与宽之比为3：2的长方形AGFE场地展览效果更好，因此需要把长增加6米，宽增加2米（如图1）．
（1）直接写出长方形区域AEFG的宽AG是 m，长AE是 m．
（2）现计划将长方形区域AEFG按图2的方式进行划分，展示四个小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道．如果各展区的总面积为60m2，求过道的宽度.
28．（10分）如图，点P（1，a）在直线y＝3x上，直线y＝kx（0＜k＜1）上有一点Q（b，1）．
（1）求点P和点Q的坐标（其中点Q坐标用含k的代数式表示）；
（2）过点P作PA⊥x轴，过点Q作QB⊥x轴，垂足分别是A、B．如果△APQ的面积是△OPQ面积的，请求出k的值；
（3）在（2）的条件下，线段PA与直线y＝kx相交于点G，直线y＝3x上是否存在点D，使？如果存在，请直接写出D的坐标；如果不存在，请说明理由．
2024-2025学年上海市黄浦区格致初级中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的乘除法，可化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．
【解答】解：A、，故A能与合并；
B、，故B能与合并；
C、，故C不能与合并；
D、，故D能与合并；
故选：C．
【点评】本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．
2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．x（x+1）＝x2﹣1
C．D．
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、选项中的式子中含有分式，该方程不是一元二次方程，不符合题意；
B、选项中的式子化简可得x+1＝0，未知数的次数是1，不是一元二次方程，不符合题意；
C、选项中的式子不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程，不符合题意；
D、选项中的式子是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是关键．
3．（3分）下列代数式中，二次根式的有理化因式可以是（ ）
A．B．C．D．
【分析】二次根式的有理化因式就是与原式相乘可以将原式中的根号化去的式子，即可得出答案．
【解答】解：∵×＝a﹣b，
∴二次根式的有理化因式是：．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分母有理化，掌握分母有理化的方法是关键．
4．（3分）下列各点中，在正比例函数的图象上的是（ ）
A．B．（﹣3，﹣1）C．（0，﹣1）D．（6，3）
【分析】将点横坐标代入，求函数值，然后判断作答即可．
【解答】解：当时，y＝，不在正比例函数的图象上，故A不符合要求；
当x＝﹣3时，y＝﹣1，（﹣3，﹣1）在正比例函数的图象上，故B符合要求；
当x＝0时，y＝0，（0，﹣1）不在正比例函数的图象上，故C不符合要求；
当x＝6时，y＝2，（6，3）不在正比例函数的图象上，故D不符合要求；
故选：B．
【点评】本题考查了正比例函数的图象．熟练掌握正比例函数的图象是解题的关键．
5．（3分）对所有实数a，b，下列等式从左到右一定成立的是（ ）
A．
B．
C．＝﹣|a|
D．
【分析】A．根据算术平方根的非负性质判断即可；
B．根据二次根式有意义的条件判断即可；
C．根据偶次方的非负性质判断即可；
D．根据二次根式乘法运算法则计算即可．
【解答】解：当a≥b时，＝a﹣b，
当a＜b时，＝b﹣a，
∴A不一定成立，不符合题意；
当a＞0且b＞0时，＝，
当a＜0且b＜0时，和均无意义，
∴B不一定成立，不符合题意；
（﹣）2＝|a|，
∴C不成立，不符合题意；
•＝＝，
∴D一定成立，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查分母有理化、二根式的性质与化简、二次根式乘除法，掌握算术平方根和偶次方的非负性质、二次根式有意义的条件、二次根式乘法运算法则是解题的关键．
6．（3分）如图是某函数的图象，当a≤x≤b时，若在该函数图象上可以找到n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），...，（xn，yn），使得恒成立，则n的值不可能是（ ）
A．2B．5C．6D．7
【分析】设，则在该函数图象上n个不同的点，（x1，y1），（x2，y2），...，（xn，yn），也都在正比例的图象上，画出函数图象，观察正比例函数y＝kx与其交点情况即可求解．
【解答】解：设，则在该函数图象上n个不同的点，（x1，y1），（x2，y2），...，（xn，yn），也都在y＝kx的图象上，画出函数图象观察交点即可求解．
如图1
正比例函数与该函数图象有2个交点，故A不符合；
如图2
正比例函数与该函数图象有5个交点，故B不符合；
如图3
正比例函数与该函数图象有6个交点，故C不符合；
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象，学会利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）化简：＝ 4 ．
【分析】根据二次根式的乘法，可化简二次根式．
【解答】解：，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法法则是解题关键．
8．（2分）计算：×．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算，然后化简即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝2．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法：熟练掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
9．（2分）函数的定义域是 x＞1 ．
【分析】本题考查了函数式有意义的x的取值范围．一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
【解答】解：根据题意得到：x﹣1＞0，
解得x＞1．
故答案为：x＞1．
【点评】判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．
10．（2分）方程x2＝3x的根是 0或3 ．
【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
【解答】解：x2＝3x
x2﹣3x＝0
即x（x﹣3）＝0
∴x＝0或3
故本题的答案是0或3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
11．（2分）在实数范围内因式分解：x2﹣4x﹣1＝ ．
【分析】先拆项，将﹣1拆成4﹣5，再根据完全平方公式变形，最后根据平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x2﹣4x+4﹣5
＝（x﹣2）2﹣5
＝（x﹣2）2﹣（）2
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了实数范围内分解因式，能选择正确的方法分解因式是解此题的关键．注意分解因式要彻底．
12．（2分）已知正比例函数y＝（2﹣5m）x，y的值随x的增大而增大，那么m的取值范围是 m＜ ．
【分析】根据正比例函数的增减性解答即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝（2﹣5m）x，y的值随x的增大而增大，
∴2﹣5m＞0，
解得：m＜．
故答案为：m＜．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握正比例函数增减性是关键．
13．（2分）已知函数f（x）＝2x+1，如果f（a）＝3，那么a＝ 1 ．
【分析】把x＝a代入f（x）＝2x+1求解即可．
【解答】解：把x＝a代入函数得：f（a）＝2a+1＝3，
解得：a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查求一次函数的性质，熟练掌握代入求值是关键．
14．（2分）已知关于y的一元二次方程y2+2y﹣k＝1有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣2 ．
【分析】先把方程化为一般式，再利用根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4[﹣（k+1）]≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：原方程化为一般式为y2+2y﹣（k+1）＝0
根据题意得Δ＝22﹣4[﹣（k+1）]≥0，
解得k≥﹣2．
故答案为：k≥﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15．（2分）某文具店为迎接“购物节”，提高水笔销量，经过两次降价后（每次降价的百分率相同），由每盒25元降至每盒16元．则降价的百分率为 20% ．
【分析】设降价的百分率为x，根据经过两次降价后（每次降价的百分率相同），由每盒25元降至每盒16元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设降价的百分率为x，
由题意得：25（1﹣x）2＝16，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去），
即降价的百分率为20%，
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（2分）若正比例函数y＝2x（x＜0）图象上一点到y轴的距离是，则这点的坐标为 （2，4）或（﹣2，﹣4） ．
【分析】根据题意可知该点的横坐标为2或﹣2，代入解析式分别求出对应的纵坐标即可．
【解答】解：∵图象上一点到y轴的距离是，
∴该点的横坐标为2或﹣2，
当x＝2时，y＝4，
当x＝﹣2时，y＝﹣4，
∴该点坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
17．（2分）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，则m的值为 ﹣2或0 ．
【分析】设方程的两个根为x1，x2（x1＜x2），由题意，得：x1+x2＝m﹣1，x1x2＝﹣m，x2﹣x1＝1，利用完全平方公式的变形式进行计算即可．
【解答】解：设方程的两个根为x1，x2（x1＜x2），由题意，得：x1+x2＝m﹣1，x1x2＝﹣m，x2﹣x1＝1，
∴，
解得：m＝﹣2或m＝0，
故答案为：﹣2或0．
【点评】本题考查根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
18．（2分）已知p、q是实数，有且只有三个不同的x满足方程|x2+px+q|＝3，则q的最小值是 ﹣3 ．
【分析】由方程|x2+px+q|＝3得到x2+px+q﹣3＝0，x2+px+q+3＝0，根据判别式得到Δ1＝p2﹣4q+12，Δ2＝p2﹣4q﹣12，依此可Δ2＝0，Δ1＝24，可得p2﹣4q﹣12＝0，依此可求q的最小值．
【解答】解：∵|x2+px+q|＝3，
∴x2+px+q﹣3＝0①，
x2+px+q+3＝0②，
∴Δ1＝p2﹣4q+12，
Δ2＝p2﹣4q﹣12，
∴Δ1＞Δ2，
∵有且只有三个不同的x值满足方程|x2+px+q|＝3，
∴Δ2＝0，Δ1＝24，
∴p2﹣4q﹣12＝0，
∴q＝p2﹣3，
当p＝0时，q的最小值﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，根据题意由根的判别式得到p2﹣4q﹣8＝0是解题的关键．
三、简答题（本大题共4题，每题5分，满分20分）
19．（5分）计算：．
【分析】根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．（5分）计算：．
【分析】先根据二次根式性质化简，再结合二次根式乘除运算法则求解即可得到答案．
【解答】解：解法一：
原式＝
＝
＝；
解法二：
原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查二次根式乘除混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式被开方式非负、二次根式乘法运算法则及二次根式除法运算法则等，熟练掌握二次根式性质及乘除运算法则是解决问题的关键．
21．（5分）解方程：（2x+1）2＝2x2+x．
【分析】整理成一般式，再利用公式法求解即可．
【解答】解：整理得2x2+3x+1＝0，
∵a＝2，b＝3，c＝1，
∴Δ＝9﹣4×2×1＝1＞0，
则x＝，即x1＝﹣，x2＝﹣1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
22．（5分）用配方法解方程：3x2﹣6x+2＝0．
【分析】根据配方法，可得答案．
【解答】解：移项，得
3x2﹣6x＝﹣2，
二次项系数化为1，得
x2﹣2x＝﹣，
配方，得
（x﹣1）2＝，
开方，得
x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，配方是解题关键，配方法的步骤是移项，二次项系数化为1，配方，开方．
四、解答题（本大题共6题，第23、24题每题5分，第25、26、27题每题6分，第28题10分，满分38分）
23．（5分）已知，求代数式的值．
【分析】先分母有理化得到x+2＝，再根据二次根式的性质化简得到原式＝，约分得原式＝，然后把x的值代入计算即可．
【解答】解：∵x＝＝﹣2，
∴x+2＝，
∴原式＝＝＝＝＝＝．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化．
24．（5分）已知方程x2﹣6x+m2﹣2m+5＝0的一个根为2，求另一个根和m的值．
【分析】设另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t＝6，2t＝m2﹣2m+5，先求出t，然后解关于m的一元二次方程．
【解答】解：设另一根为t，
根据题意得2+t＝6，2t＝m2﹣2m+5，
所以t＝4，m2﹣2m+5＝8，即m2﹣2m﹣3＝0，
解得m1＝3，m2＝﹣1，
所以另一个根为4，m的值为3或﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．
25．（6分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过一、三象限，且经过P（k+2，4k+3）．
（1）求k的值．
（2）当时，求x的值．
【分析】（1）将P（k+2，4k+3）坐标代入解析式，解一元二次方程即可得到k值；
（2）由（1）可得正比例函数解析式，将y＝代入解析式求出x值即可．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过一、三象限，且经过P（k+2，4k+3），
∴4k+3＝k（k+2）（k＞0），
整理得：k2﹣2k﹣3＝0，
解得：k＝3或k＝﹣1（舍去）．
∴k＝3．
（2）由（1）可知，正比例函数解析式为y＝3x，
当y＝时，＝3x，
解得：x＝．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
26．（6分）已知关于x的方程（m2﹣m）x2﹣4mx+4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为整数，且m＜3，a是方程的一个根，求代数式的值．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义，根的判别式来求解；
（2）根据题意先求出m，进而得到a2﹣4a＝﹣2，再代入代数式中进行计算求解．
【解答】（1）解：∵关于x的方程（m2﹣m）x2﹣4mx+4＝0有两个不相等的实数根，
∴m2﹣m≠0，
解得m1≠0，m2≠1，
Δ＝（﹣4m）2﹣4（m2﹣m）×4＝16m＞0．
∴m＞0，
∴m＞0且m≠1．
（2）解：由题意得：0＜m＜3，
∵m为m≠1的整数，
∴m＝2．
将x＝a，m＝2代入（m2﹣m）x2﹣4mx+4＝0，
得：a2﹣4a＝﹣2，
∴
＝
＝
＝，
将a2﹣4a＝﹣2代入中，得原式＝×（﹣2）+＝﹣1+＝．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，代数式求值，理解根的判别式是解答关键．
27．（6分）同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果，需要推广宣传．原计划使用一块正方形ABCD场地布展，后经过研究，发现长与宽之比为3：2的长方形AGFE场地展览效果更好，因此需要把长增加6米，宽增加2米（如图1）．
（1）直接写出长方形区域AEFG的宽AG是 8 m，长AE是 12 m．
（2）现计划将长方形区域AEFG按图2的方式进行划分，展示四个小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道．如果各展区的总面积为60m2，求过道的宽度.
【分析】（1）设正方形ABCD的边长为x m，则AB＝AD＝x m，AG＝（x+2）m，AE＝（x+6）m，根据长与宽之比为3：2的长方形AGFE场地展览效果更好，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设过道的宽度为y m，则各展区可合成长为（12﹣y）m，宽为（8﹣y）m的矩形，根据各展区的总面积为60m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设正方形ABCD的边长为x m，则AB＝AD＝x m，AG＝（x+2）m，AE＝（x+6）m，
由题意得：（x+6）：（x+2）＝3：2，
解得：x＝6，
∴x+2＝8，x+6＝12，
即AG＝8m，AE＝12m，
故答案为：8，12；
（2）设过道的宽度为y m，则各展区可合成长为（12﹣y）m，宽为（8﹣y）m的矩形，
由题意得：（12﹣y）（8﹣y）＝60，
整理得：y2﹣20y+36＝0，
解得：y1＝2，y1＝18（不合题意，舍去），
答：过道的宽度为2m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
28．（10分）如图，点P（1，a）在直线y＝3x上，直线y＝kx（0＜k＜1）上有一点Q（b，1）．
（1）求点P和点Q的坐标（其中点Q坐标用含k的代数式表示）；
（2）过点P作PA⊥x轴，过点Q作QB⊥x轴，垂足分别是A、B．如果△APQ的面积是△OPQ面积的，请求出k的值；
（3）在（2）的条件下，线段PA与直线y＝kx相交于点G，直线y＝3x上是否存在点D，使？如果存在，请直接写出D的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点P（1，a）在直线y＝3x上，可得a＝3，即P（1，3）；由直线y＝kx（0＜k＜1）上有一点Q（b，1），可得bk＝1，可求，进而可得；
（2）由题意知，A（1，0），，则，，由△APQ的面积是△OPQ面积的，可得，计算求出满足要求的解即可；
（3）由题意知，设D（m，3m），当D在第一象限时，如图，由，可得，可求D；当D在第三象限时，如图，D′，由题意知，OD＝OD′，则．
【解答】解：（1）∵点P（1，a）在直线y＝3x上，
∴a＝3，即P（1，3）；
∵点Q（b，1）在直线y＝kx（0＜k＜1）上，
∴bk＝1，
解得，
∴；
（2）∵PA⊥x轴，QB⊥x轴，点P（1，3），；
∴A（1，0），，
∴，
∴，
∵△APQ的面积是△OPQ面积的，
∴，
解得，
经检验，是原分式方程的解且符合要求；
（3）如图，设D（m，3m），
当D在第一象限时，
∵，
∴，
∴D；
当D在第三象限时，
由题意知，OD＝OD′，
∴，
综上所述，存在，D的坐标，．
【点评】本题考查了一次函数解析式，坐标与图形，解分式方程等知识．熟练掌握一次函数解析式，坐标与图形，解分式方程是解题的关键．