2025届上海市长宁区高三(上)期中考试数学试卷（解析版）

这是一份2025届上海市长宁区高三(上)期中考试数学试卷（解析版），共11页。
【答案】9
【解析】集合，，，
，则a的值是9.
2. 函数的定义域是______.
【答案】
【解析】由，解得或，
所以定义域为.
3. 设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是______.
【答案】
【解析】因为，则，
因此，复数在复平面内对应的点的坐标是.
4. 双曲线的渐近线方程是___________.
【答案】
【解析】因为双曲线方程为，
所以双曲线渐近线方程为，即.
5. 已知，，，，，则______.
【答案】
【解析】因为，，，，，
所以
.
故答案为：.
6. 在的展开式中，含的项的系数为_________.
【答案】10
【解析】因的展开式的通项为，
依题意，需使，解得，则.
故答案为：10.
7. 记为数列的前项和，若，则______.
【答案】
【解析】因为为数列的前项和，且，
则.
8. 为实数，且不等式恒成立，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】因为不等式对任意的实数恒成立，则，
由绝对值三角不等式可得，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为，所以，.
故答案为：.
9. 已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位数是，第75百分位数为，则__________．
【答案】
【解析】由题意得，，
所以．
10. 已知，，则______．
【答案】
【解析】由题意知：，，
可得．
11. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则_______．
【答案】
【解析】因为是定义域为的奇函数，
所以，
所以， ，
又当时，，
所以，，
所以,
故答案为：.
12. 已知数列是公差不为的等差数列，，且、、成等比数列，设，则的前项和为______.
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，则，
因为、、成等比数列，则，即，
即，因为，解得，
所以，，
所以，，
对任意的，，
，，
，
所以，，
因为，故数列bn的前项和为.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且正确答案，考生应在答题纸的相应位置.
13. “”是“”成立的（ ）条件.
A. 充分非必要B. 必要非充分
C. 充分必要D. 既非充分又非必要
【答案】A
【解析】由小范围推大范围可知为充分非必要条件，
故选：A.
14. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位
【答案】A
【解析】，
则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可，
故选：A.
15. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为Hz；为信噪比. 香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由条件可知，
，
.
故选：D
16. 在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD=O，E是线段B1C（含端点）上的一动点，则
①OE⊥BD1；
②OE面A1C1D；
③三棱锥A1﹣BDE的体积不是定值；
④OE与A1C1所成的最大角为90°．
上述命题中正确个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】利用平面，可得OE⊥BD1，所以①正确；
利用平面平面，可得OE面A1C1D，所以②正确；
根据，且底面的面积为定值，且到平面的距离为定值，所以该棱锥的体积为定值，所以③不正确；
当在处时，OE与A1C1所成的的角为90°，所以④正确；
所以上述命题中正确的个数为3，
故选：C.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，b，c，．
（1）求∠B；
（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．
解：（1）在△ABC中，由正弦定理，因为，
所以，又，
∴，所以，即，
因为，所以；
（2）因为b＝2，c＝2a，由余弦定理得，
∴，解得，则，
所以△ABC的面积.
18. 设
（1）求函数的单调递增、递减区间；
（2）当时，恒成立，求实数m取值范围．
解：（1），
令，解得或，
当或时，，为增函数，
当时， ，为减函数
综上：函数的单调递增区间为和，递减区间为.
（2）当时，恒成立，
只需使在上最大值小于m即可
由（1）知最大值为、端点值中的较大者.
∴在上的最大值为,
∴，
所以实数m的取值范围是
19. 如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：在三棱柱中，因为平面，平面，
所以.
又分别为的中点，则，所以.
因为为中点，所以.
又，平面，平面，
所以平面.
（2）解：由（1）知，.
又平面，所以平面.
因为平面，所以，
所以两两垂直.
如图，建立空间直角坐标系，

则，
所以.
设平面的一个法向量为，
则即
令，则.于是.
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，直线、分别与轴交于点、，当时，求的值.
解：（1）依题意可得，，
又，所以，
所以椭圆方程为.
（2）依题意过点的直线为，
设、，不妨令，
由，消去整理得，
所以Δ=16k2+8k2-41+4k216k2+16k>0，解得，
所以，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
所以
，
所以，
即
即
即
整理得，解得.
21. 已知函数的定义域为，导函数为，若对任意的，均有，则称函数为上的“M一类函数”.
（1）试判断是否为其定义域上的“M一类函数”，并说明理由；
（2）若函数为其定义域上的“M一类函数”，求实数的取值范围.
（3）已知函数为其定义域上的“M一类函数”，求实数的最大整数值.
解：（1）函数不是其定义域上的“M一类函数”.
理由如下：
的定义域为，存在，使得，
故不是其定义域上“M一类函数”
（2），所以.
若函数在上为“M一类函数”，
则在上恒成立，
即在上恒成立.
因为在上的值域为，
所以，所以实数的取值范围为.
（3），
依题意有对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
当时，，即；
当时，，
令，则，
令，则，
易知时，时，，
即在上减函数，在上是增函数，
而，
即时，，于是，则在上是减函数，
故，从而.
综上，满足条件的实数的取值范围是，于是的最大整数值为0.