2025届陕西省十七校联考高三(上)11月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份2025届陕西省十七校联考高三(上)11月期中考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了 已知复数，则的虚部为， 已知集合，集合，集合，则， 已知，则， 已知，，，则，，的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，，则，
所以的虚部为.
故选：A
2. 已知集合，集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为集合，集合，集合，
所以，，
，，
故正确的只有D.
故选：D
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】．
故选：B.
4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，即，又，即，
又，所以，所以；
因为，所以，所以，所以
所以.
故选：A.
5. 是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】如图所示，

连接，，由对称性可知，，
取的中点，则，，
又因为正六边形的边长为1，所以，
所以，
故选：B．
6. 已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆锥的母线为，底面半径为，高为，
由题意可得：，解得，
设该圆锥的母线与底面所成的角为，则，
可得，所以该圆锥的母线与底面所成的角为.
故选：C.
7. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知得，所以，
解得，又，当时，．
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，考查函数的对称性，掌握诱导公式是解题关键．平移变换时要注意平移单位是对自变量而言，属于中档题．
8. 已知函数最小值为，则的最小值为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】因为，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
，
故选：B．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在的展开式中，下列命题正确的是（ ）
A. 二项式系数之和为64B. 所有项系数之和为
C. 常数项为60D. 第3项的二项式系数最大
【答案】AC
【解析】对于选项A：因为，可知二项式系数之和为，故A正确；
对于选项B：令，可得所有项系数之和为，故B错误；
对于选项C：因为展开式的通项为，
令，可得，所以常数项为，故C正确；
对于选项D：因为，可知二项式系数最大值为，为第4项，故D错误；
故选：AC.
10. 已知a，b均为正实数，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，，∴，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误：
对于D，
，故D正确．
故选：ABD.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上单调递增
B. 是函数的极值点
C. 过原点仅有一条直线与曲线相切
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】对于A项，由已知可得，
令，则.
解可得，，所以在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，
所以，恒成立，即恒成立，
所以函数在上单调递增，故选项A正确；
对于B项，由A可知，在上单调递增，故B项错误；
对于选项C，设切点的坐标为，
根据导数的几何意义可知，切线的斜率，
所以过的切线方程为.
又切线经过原点，所以有，
整理为.
令，有，
当时，，有；当时，，有.
所以恒成立，函数单调递增.
又由，，
根据零点存在定理可得函数在区间内有且仅有一个零点.
故过原点仅有一条直线与曲线相切，选项C正确；
对于D选项，若，有，
由函数单调递增，
有，.
令，有．
令，有
（当且仅当时取等号），
可得恒成立，所以函数单调递增.
又由，
所以时，，，所以在上单调递减；
时，，，所以在上单调递增.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，
所以，故成立，选项D正确．
故选：ACD．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为______盏.
【答案】30
【解析】依题意，从下往上每层灯的数据构成等比数列，公比，，前6项和，
于是，解得，
所以底层所开灯的数量为30盏.
13. 已知，，若，则的最小值为_________.
【答案】3
【解析】因为，所以，
所以，易得定义域为，
而，所以在上单调递增，故，
所以，
当且仅当时取等，此时解得.
14. 设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是______．
【答案】
【解析】根据题意，作图如下：

依题意，为的角平分线，且，
设，由角平分线定理可得：，则；
在中，由余弦定理；
在中，由余弦定理可得，，
即，解得
故，，
所以的渐近线方程是．
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．
15. 已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为.
（1）求集合；
（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
解：（1）因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解，
即，解得，故集合；
（2）由是的必要不充分条件，可知，
当时，既，解得，此时满足，
当时，如图所示，

故且等号不同时成立，
解得，
综上所述，取值范围是.
16. 在中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且满足.
（1）求的大小
（2）若，，求面积
解：（1）因为，且在中，，
所以，由正弦定理得，
所以，，
故，，所以.
（2）在中，由余弦定理得，解得(负根舍去)，
所以.
17. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且.
（1）求证：四边形为正方形；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：如图，连接，在直四棱柱中，平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，又四边形是矩形，所以四边形为正方形；
（2）解：如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，所以，
故可取，
设直线与平面所成角的大小为，
所以
即直线与平面所成角的正弦值为.
18. 驾驶员考试（机动车驾驶员考试）是由公安局车管所举办的资格考试，只有通过驾驶员考试才能取得驾照，才能合法的驾驶机动车辆．考试内容和合格标准全国统一，根据不同准驾车型规定相应的考试项目．机动车驾驶人考试内容分为道路交通安全法律、法规和相关知识考武科目（以下简称“科目一”）、场地驾驶技能考试科目（以下简称“科目二”）、道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目（以下简称“科目三”）．申请人科目一、科目二、科目三考试均合格后，就可以领取驾驶证．某驾校经统计，驾驶员科目一考试平均通过的概率为，科目二：平均通过的概率为，科目三平均通过的概率为．该驾校王教练手下有4名学员参加驾驶员考试．
（1）记这4名学员参加驾驶员考试，通过考试并领取驾驶证的人数为X，求X的分布列和数学期望及方差；
（2）根据调查发现，学员在学完固定的学时后，每增加一天学习，没有通过考试拿到驾驶证的概率会降为原来的0.4，请问这4名学员至少要增加多少天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证?（我们把概率超过0.99的事件称为必然事件，认为在一次试验中必然事件一定会发生）
参考数据：，
解：（1）1名学员通过考试并领取驾驶证的概率为，根据题意可知，
X的取值分别为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
故X的分布列为：
，；
（2）增加k（k为正整数）天学习后，
每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为，
若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证，有，
有，有，有，
又由
．
可得，
故这4名学员至少要增加6天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证．
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）已知有两个极值点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围.
解：（1）当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）（ⅰ）由题意可知：的定义域为，，
令，可得，
原题意等价于有两个不同的正实数根，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可知，所以的取值范围；
（ii）由（i）可知：有两个不同的正实数根，，
不妨设，可知，
当时，；当或时，；
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以为的极小值点，为的极大值点，
对于的极值点，则，
可得，
设，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在上单调递减，
则，可知，则，
又因为在区间上单调递增，则，
所以的极大值的取值范围是.X
0
1
2
3
4
P