北京市第三十五中学2024-2025学年九年级上学期期中考试 数学试卷

这是一份北京市第三十五中学2024-2025学年九年级上学期期中考试 数学试卷，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3图象的顶点坐标为（ ）
A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）
2．（2分）云纹是我国的传统纹样，象征着吉祥如意．其以流动飘逸的曲线和回转交错的结构体现了流动之美．以下云纹图案都是由朵云通过不同的变换形式构造出的，请你选出其中的中心对称图形（ ）
A．双分朵云B．三合云
C．四合云D．五福云
3．（2分）若x＝3是关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．﹣15B．﹣3C．3D．15
4．（2分）二次函数y＝x2+4x+a的图象与x轴没有交点，则a的值可以是（ ）
A．﹣2B．2C．4D．6
5．（2分）在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
6．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，∠ABO＝40°，则∠C的度数是（ ）
A．100°B．80°C．50°D．40°
7．（2分）定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．下表记录了该同学将篮球投出后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（ ）
A．1.5mB．2mC．2.5mD．3m
8．（2分）如图，⊙O的直径AB＝12，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点．设AD＝x，BC＝y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是 ．
10．（2分）写出一个开口向上，且与y轴交点在x轴下方的抛物线的表达式： ．
11．（2分）若多项式x2+ax+b可以写成（x+m）2的形式，且ab≠0，则a的值可以是 ，b的值可以是 ．
12．（2分）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形ABCDEF）的外接圆，已知正六边形ABCDEF的边长是4，则长为 ．
13．（2分）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为 .
14．（2分）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．设该商品每次降价的百分率为x，则根据关系可列方程为 ．
15．（2分）如图，正方形ABCD边长为4，E、F分别是边AB、BC上的点，CE、DF交于点P，当CE＝DF时，BP的最小值为 ．
16．（2分）已知⊙O的半径为4，B，C是⊙O上两定点，点A是⊙O上一动点，且∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F．下列说法中正确的是 ．
①AD的最大值是8；
②点D为上一定点；
③S△ABC的最大值是；
④DF与⊙O相交；
⑤若△ABC为锐角三角形，则．
三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题6分，第21题5分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27题7分，第28题7分）
17．（5分）解方程：x2+2x﹣1＝0．
18．（5分）已知x2﹣2x﹣5＝0，求代数式3x（x﹣2）+（x﹣1）2的值．
19．（6分）数学课上，王老师提出如下问题：
已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于点C．
求作：的中点D．
同学们分享了如下四种方案：
方案一，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．
方案二，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．
方案三，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．
方案四，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点D．
你选择的方案是 ，画出相应图形并证明．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：对于任意实数m，方程都有实数根；
（2）m何值时，方程有负数根．
21．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．
请你解答这个问题．
22．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（3，0）．
（1）求该函数的解析式；
（2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值小于二次函数y＝ax2+bx+3的值，结合函数图象，直接写出n的取值范围．
23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（5，5），C（5，2），将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'．
（1）画出旋转后的△AB'C'；
（2）直接写出点B'的坐标；
（3）直接写出线段AB在变换到AB′的过程中扫过的区域的面积．（结果保留π）
24．（5分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，连接OC交AB于点E，过点A作OC的行线交BC延长线于点D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，AD＝6，求线段CD的长．
25．（6分）如图，是直径AB所对的半圆弧，C是上一定点，D是上一动点，连接DA，DB，DC．已知AB＝5cm，设D，A两点间的距离为xcm，D，B两点间的距离为y1cm，D，C两点间的距离为y2cm．
小腾根据学习函数的经验．分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数位所对应的点（x，y1），（x，y2）并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：连接BC，当△BCD是以CD为腰的等腰三角形时，DA的长度约为 cm．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝t．
（1）若3a+2b＝0，求t的值；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在该抛物线上．若a＞c＞0，且3a+2b+c＝0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
27．（7分）等边△ABC中，点D是边AB上一点，点E是直线BC上一点，连接DE．将线段DE绕点D逆时针旋转60°至DF，连接EF，CF．
（1）如图1，当点D与点A重合，点E在线段BC上时．
①按照要求补全图形；
②过BC中点M作AC的垂线交AC于G，交EF于H，判断EH与FH的数量关系，并证明．
（2）如图2，当点D与点A、点B不重合时，若AD＝BE，判断CF与AD的数量关系并说明理由．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转90°得到点P′，点P′落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点A（1，1），B（3，1），C（3，2）．
（1）在点P1（﹣2，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，点 是线段AB关于原点O的“伴随点”；
（2）如果点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
（3）已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，n），其关于原点对称的抛物线上存在△ABC关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．
2024-2025学年北京三十五中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分.符合题意的选项只有一个）
1．（2分）二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3图象的顶点坐标为（ ）
A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）
【分析】首先知二次函数的顶点式为y＝a（x﹣h）2+k，知顶点坐标是（h，k），进行选择即可．
【解答】解：根据二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3的顶点是（﹣1，﹣3）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣h）2+k中的h、k所表示的意义．
2．（2分）云纹是我国的传统纹样，象征着吉祥如意．其以流动飘逸的曲线和回转交错的结构体现了流动之美．以下云纹图案都是由朵云通过不同的变换形式构造出的，请你选出其中的中心对称图形（ ）
A．双分朵云B．三合云
C．四合云D．五福云
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：选项A、B、D的图案均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C的图案能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（2分）若x＝3是关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．﹣15B．﹣3C．3D．15
【分析】直接把x＝3代入一元二次方程得到关于m的方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣2x﹣m＝0得9﹣6﹣m＝0，
解得m＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．（2分）二次函数y＝x2+4x+a的图象与x轴没有交点，则a的值可以是（ ）
A．﹣2B．2C．4D．6
【分析】根据抛物线与x轴的交点问题得到方程x2+4x+a＝0没有实数解，则根据根的判别式的意义得到Δ＝42﹣4a＜0，然后解不等式得到a的取值范围，从而对各选项进行判断．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+a的图象与x轴没有交点，
∴方程x2+4x+a＝0没有实数解，
∴Δ＝42﹣4a＜0，
解得a＞4，
∴a可以取6．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
5．（2分）在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【分析】连接AA'、BB'、CC'，作AA'的垂直平分线，作BB'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，交点M为旋转中心．
【解答】解：
连接AA'、BB'、CC'，作AA'的垂直平分线，作BB'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．
故选：A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质以及学生的理解能力和观察图形的能力．注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
6．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，∠ABO＝40°，则∠C的度数是（ ）
A．100°B．80°C．50°D．40°
【分析】根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出∠AOB，根据圆周角定理解答．
【解答】解：∵OA＝OB，∠ABO＝40°，
∴∠AOB＝100°，
∴∠C＝∠AOB＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
7．（2分）定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．下表记录了该同学将篮球投出后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（ ）
A．1.5mB．2mC．2.5mD．3m
【分析】首先根据提供数据列出函数解析式，然后确定其顶点坐标的横坐标即为本题答案．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
根据表可得：，
解得：，
∴y＝﹣0.2x2+x+2.25＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5，
∴可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为2.5米，
故选：C．
【点评】考查了二次函数的应用，解题的关键是正确的求得解析式，难度不大．
8．（2分）如图，⊙O的直径AB＝12，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点．设AD＝x，BC＝y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据切线长定理得到BF＝AD＝x，CE＝CB＝y，则DC＝DE+CE＝x+y，在直角△DFC中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系．
【解答】解：作DF⊥BN交BC于F；
∵AM、BN与⊙O切于点定A、B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN．
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝12，
∵BC＝y，
∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x；
∵DE切⊙O于E，
∴DE＝DA＝x CE＝CB＝y，
则DC＝DE+CE＝x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）2＝（y﹣x）2+122，
整理为y＝，
∴y与x的函数关系式是y＝，
y是x的反比例函数．
故选：A．
【点评】此题考查了动点问题的函数图象，切线的性质、切线长定理、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是 （﹣1，2） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10．（2分）写出一个开口向上，且与y轴交点在x轴下方的抛物线的表达式： y＝x2﹣1（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的图象与性质写出符合要求的抛物线的表达式即可．
【解答】解：由题知，
令抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，
因为抛物线开口向上，
所以a＞0．
又因为抛物线与y轴交点在x轴下方，
所以c＜0，
所以抛物线的表达式可以是：y＝x2﹣1．
故答案为：y＝x2﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
11．（2分）若多项式x2+ax+b可以写成（x+m）2的形式，且ab≠0，则a的值可以是 ﹣4 ，b的值可以是 4 ．
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合完全平方公式即可．
【解答】解：∵多项式x2+ax+b可以写成（x+m）2的形式，且ab≠0，
∴x2+ax+b＝（x+m）2，
∴a可以为﹣4，b可以为4，
即x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
故答案为：﹣4，4．
【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键，a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
12．（2分）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形ABCDEF）的外接圆，已知正六边形ABCDEF的边长是4，则长为 π ．
【分析】设正六边形ABCDEF的圆心为点O，易求∠BOC的度数，则△BOC为等边三角形，圆的半径也可求出，进而利用弧长公式计算即可．
【解答】解：设正六边形ABCDEF的圆心为点O，
∵∠BOC＝＝60°，OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝4，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．
【点评】本题考查的是正六边形的性质，弧长的计算公式，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．
13．（2分）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为 （3，﹣2） .
【分析】设中间正六边形的中心为D，连接DB．判断出OC，CM的长，可得结论．
【解答】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB．
∵点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形，
∴AB＝BC＝2，OQ＝3，
∴OA＝OB＝，
∴OC＝3，
∵DQ＝DB＝2OD，
∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，
∴M（3，﹣2），
故答案为：（3，﹣2）．
【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．（2分）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．设该商品每次降价的百分率为x，则根据关系可列方程为 60（1﹣x）2＝48.6 ．
【分析】利用该商品经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣该商品每次降价的百分率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：60（1﹣x）2＝48.6．
故答案为：60（1﹣x）2＝48.6．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2分）如图，正方形ABCD边长为4，E、F分别是边AB、BC上的点，CE、DF交于点P，当CE＝DF时，BP的最小值为 ．
【分析】取CD的中点Q，连接PQ，BQ，先证明Rt△BCE和Rt△CDF全等，进而根据全等三角形的性质得∠CPF＝90°，由此的PQ＝CQ＝DQ＝1/2CD＝2，则BQ＝，然后根据“两点之间线段最短”得BP≤BQ﹣PQ，据此即可得出BP为最小．
【解答】解：取CD的中点Q，连接PQ，BQ，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在Rt△BCE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△CDF（HL），
∴∠1＝∠2，
在Rt△CDF中，∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠CPF＝90°，
∴∠CPD＝90°，
∵点Q是CD的中点，
∴PQ＝CQ＝DQ＝1/2CD＝2，
在Rt△BCQ中，由勾股定理得：BQ＝＝，
根据“两点之间线段最短”得：BP≤BQ﹣PQ，
∴当B，P，Q在同一条直线上时，BP为最小，最小值为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用直角三角形斜边中线的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键．
16．（2分）已知⊙O的半径为4，B，C是⊙O上两定点，点A是⊙O上一动点，且∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F．下列说法中正确的是 ①②⑤ ．
①AD的最大值是8；
②点D为上一定点；
③S△ABC的最大值是；
④DF与⊙O相交；
⑤若△ABC为锐角三角形，则．
【分析】①由圆周角定理可知，当A在优弧BC的中点时，AD为最大值，即可得出结论；
②由∠BAC的平分线交⊙O于点D，∠BAC＝60°，可得，再由B，C是⊙O上两定点即可得出结论；
③当AD⊥BC时，S△ABC最大，再由勾股定理求出高，即可求出面积得出结论；
④连接OD，根据平行线的性质和切线的定义，得出DF与⊙O相切，即可得出结论；
⑤分别求出∠ABC＝90°时，，∠ACB＝90°时，，即可得出△ABC为锐角三角形的范围．
【解答】解：①当A在优弧BC的中点时，
AD为直径，最大值为8，故①正确．
②∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAD＝＝＝30°，
∴，
∵B，C是⊙O上两定点，
∴点D为BC上一定点，故②正确．
③∵B，C是⊙O上两定点，
∴BC的长度不变，
则当AD⊥BC时，△ABC的高最大，
设AD与BC交于点H，连接OB，OC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
∴∠OCH＝∠OBH＝30°，
∵OC＝OB＝4，
∴OH＝2，BH＝＝＝2，
∴，
∴AH＝AO+OH＝4+2＝6，
∴，故③不正确．
④连接OD，
∵，
∴OD⊥BC，
∵BC∥FD，
∴OD⊥FD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF为圆的切线，故④不正确．
⑤如图，OD与BC交于点Q，当∠ABC＝90°时，AC为直径，
∴AC＝8，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴AB＝4，BC＝＝＝4，
∵OD⊥BC，
∴，
∵∠BQD＝∠ABQ＝∠QDF＝∠BFD＝90°，
∴四边形BQDF为矩形，
∴，
如图，连接BD，∠ACB＝90°，AB为直径，
∵OD⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠DOB＝∠BAC＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD为等边三角形，
∴OQ＝QD，
同理可得，，
∵BC∥DF，
∴△OBQ～△OFD，
∴，
∴DF＝2BQ，
∵BQ＝2，
∴DF＝4，
∴若△ABC为锐角三角形，则，故⑤正确．
∴正确的有①②⑤．
故答案为：①②⑤．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，做出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键．
三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题6分，第21题5分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27题7分，第28题7分）
17．（5分）解方程：x2+2x﹣1＝0．
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形后，开方即可求出解．
【解答】解：方程变形得：x2+2x＝1，
配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2，
开方得：x+1＝±，
解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18．（5分）已知x2﹣2x﹣5＝0，求代数式3x（x﹣2）+（x﹣1）2的值．
【分析】利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x2﹣2x＝5代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：3x（x﹣2）+（x﹣1）2
＝3x2﹣6x+x2﹣2x+1
＝4x2﹣8x+1，
∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x＝5，
∴当x2﹣2x＝5时，原式＝4（x2﹣2x）+1＝4×5+1＝20+1＝21．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．（6分）数学课上，王老师提出如下问题：
已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于点C．
求作：的中点D．
同学们分享了如下四种方案：
方案一，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．
方案二，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．
方案三，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．
方案四，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点D．
你选择的方案是 方案三（答案不唯一） ，画出相应图形并证明．
【分析】根据题意任意选择一个方案画出图形，再结合圆周角定理证明即可．
【解答】解：选择的方案是方案三（答案不唯一）．
画出图形如图所示．
证明：∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴点D为的中点．
【点评】本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：对于任意实数m，方程都有实数根；
（2）m何值时，方程有负数根．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝m﹣1，x1•x2＝m﹣2，再分类讨论即可解题．
【解答】（1）证明：由一元二次方程得：
a＝1，b＝﹣（m﹣1），c＝m﹣2，
∴Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4（m﹣2）＝（m﹣3）2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：由一元二次方程得：
x1+x2＝﹣＝m﹣1，x1•x2＝＝m﹣2，
①当方程有一个负数根时：
m﹣2＜0，
∴m＜2；
②当方程有两个负数根时：
，
该不等式组无解；
综上所述，当m＜2时，方程有负数根．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．
请你解答这个问题．
【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．
【解答】解：如图所示，连接OC．
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE＝CD＝5寸，
设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得：x＝13，
∴AB＝26寸，
即直径AB的长为26寸．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
22．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（3，0）．
（1）求该函数的解析式；
（2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值小于二次函数y＝ax2+bx+3的值，结合函数图象，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可得到抛物线解析式；
（2）由于当直线y＝x+n经过点（3，0）时，n＝﹣3，利用一次函数和二次函数的性质，当n≤﹣3时，数y＝x+n的值小于二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的值．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（3，0），
∴，
解得，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）当直线y＝x+n经过点（3，0）时，3+n＝0，解得n＝﹣3，
此时函数y＝x+n的值等于二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的值，
所以当n≤﹣3时，数y＝x+n的值小于二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的值，
即n的取值范围为n≤﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（5，5），C（5，2），将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'．
（1）画出旋转后的△AB'C'；
（2）直接写出点B'的坐标；
（3）直接写出线段AB在变换到AB′的过程中扫过的区域的面积．（结果保留π）
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点B′、C′得到△AB'C′；
（2）由（1）即可得出答案；
（3）利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△AB'C′为所作；
（2）点B'的坐标为（4，﹣2）；
（3）∵AB＝＝5，
∴在变换到AB′的过程中扫过的区域的面积为＝π．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换、扇形面积的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
24．（5分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，连接OC交AB于点E，过点A作OC的行线交BC延长线于点D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，AD＝6，求线段CD的长．
【分析】（1）连接OA，利用圆周角定理和切线的判定定理解答即可；
（2）利用扇形的面积公式与三角形的面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：连接OA，如图，
∵∠COA＝2∠ABC，∠ABC＝45°，
∴∠COA＝90°．
∵CO∥DA，
∴∠COA+∠OAD＝180°，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥DA，
∵OA为⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CH⊥AD于点H，
∵∠COA＝∠OAH＝∠CHA＝90°，
∴四边形OAHC是矩形，
∵OA＝OC＝4，
∴四边形OAHC是正方形，
∴AH＝HC＝OA＝4，
∵AD＝6，
∴∠＝DH＝AD﹣AH＝6﹣4＝2，
∴CD＝＝＝2．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的判定定理，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
25．（6分）如图，是直径AB所对的半圆弧，C是上一定点，D是上一动点，连接DA，DB，DC．已知AB＝5cm，设D，A两点间的距离为xcm，D，B两点间的距离为y1cm，D，C两点间的距离为y2cm．
小腾根据学习函数的经验．分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数位所对应的点（x，y1），（x，y2）并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：连接BC，当△BCD是以CD为腰的等腰三角形时，DA的长度约为 1.4或4.6 cm．
【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由勾股定理求出DB＝＝≈4.58（cm），填表即可；
（2）描出补全后的表中各组数位所对应的点（x，y1），（x，y2），画出函数y1，y2的图象即可；
（3）由表中y1，y2与x的对应值，AD＝0cm时，DB＝5cm，即点D与点A重合，DC＝AC＝4cm，由勾股定理求出BC＝＝3（cm），当△BCD是以CD为腰的等腰三角形时，分两种情况：
①CD＝BC时，即CD＝3cm时，由函数图象得：y2＝3时，x＝1.4cm或＝5cm，点D与点B重合，△BCD不存在；
②CD＝DB时，即y1与y2相交时，由图象得出x≈4.6cm即可．
【解答】解：（1）∵是直径AB所对的半圆弧，C是上一定点，
∴∠ACB＝90°，
∵DA＝2cm，AB＝5cm，
∴DB＝＝＝≈4.58（cm），
即当D、A两点间的距离为2cm时y1＝4.58cm；
如下表所示：
（2）描出补全后的表中各组数位所对应的点（x，y1），（x，y2），画出函数y1，y2的图象，如图所示：
（3）由表中y1，y2与x的对应值，AD＝0cm时，DB＝5cm，即点D与点A重合，DC＝AC＝4cm，
∵AB＝5cm，
∴BC＝＝＝3（cm），
当△BCD是以CD为腰的等腰三角形时，分两种情况：
①CD＝BC时，即CD＝3cm时，
由函数图象得：y2＝3时，x＝5cm，或x＝1.4cm，
当x＝5cm时，点D与点B重合，△BCD不存在；
当x＝1.4时，△BCD存在；
②CD＝DB时，即y1与y2相交时，x≈4.6cm，
即DA的长度约为4.6cm；
综上所述，DA的长度约为1.4cm或4.6cm；
故答案为：1.4或4.6．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、函数与图象以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝t．
（1）若3a+2b＝0，求t的值；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在该抛物线上．若a＞c＞0，且3a+2b+c＝0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
【分析】（1）依据题意，由3a+2b＝0，从而b＝﹣，可得t＝＝，进而得解；
（2）依据题意，由3a+2b+c＝0，故b＝﹣，从而t＝＝＝+，又a＞c＞0，可得0＜＜，则＜t＜1，结合点（﹣1，y1）关于直线x＝t的对称点的坐标是（2t+1，y1），进而＜2t+1＜3，所以t＜2＜2t+1＜3，再由a＞0，抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，则当x≥t时，y随x增大而增大，即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵3a+2b＝0，
∴b＝﹣．
∴t＝＝．
∴t＝．
（2）由题意，∵3a+2b+c＝0，
∴b＝﹣．
∴t＝＝＝+．
又∵a＞c＞0，
∴0＜＜，
∴＜t＜1．
∵点（﹣1，y1）关于直线x＝t的对称点的坐标是（2t+1，y1），
∴＜2t+1＜3．
∴t＜2＜2t+1＜3．
∵a＞0，
∴当x≥t时，y随x增大而增大．
∴y2＜y1＜y3．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要能熟练掌握并灵活运用是关键．
27．（7分）等边△ABC中，点D是边AB上一点，点E是直线BC上一点，连接DE．将线段DE绕点D逆时针旋转60°至DF，连接EF，CF．
（1）如图1，当点D与点A重合，点E在线段BC上时．
①按照要求补全图形；
②过BC中点M作AC的垂线交AC于G，交EF于H，判断EH与FH的数量关系，并证明．
（2）如图2，当点D与点A、点B不重合时，若AD＝BE，判断CF与AD的数量关系并说明理由．
【分析】（1）①按照要求补全图形即可；
②过F作FH⊥AC于H，交BC于K，证明△BAE≌△CAF（SAS），可得BE＝CF，∠B＝∠ACF＝60°，再证CF＝CK，可得EM＝KM，故MH是△EKF的中位线，EH＝FH；
（2）当E在线段BC上时，设DF交AC于T，证明△ADT≌△BED（ASA），得DT＝DE，知T与F重合，F在边AC上，再证△ADF≌△CFE（AAS），得AD＝CF；当E在CB延长线上时，过E作EH⊥EC交AB延长线于H，可得BH＝2BE，EH＝BE，证明△DEH≌△EFC（SAS），有CF＝EH，故CF＝BE＝AD．
【解答】解：（1）①按照要求补全图形如下：
②EH＝FH，理由如下：
过F作FH⊥AC于H，交BC于K，如上图，
∵将线段DE绕点D逆时针旋转60°至DF，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠EDF，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴BE＝CF，∠B＝∠ACF＝60°，
∴∠CFH＝180°﹣∠CHF﹣∠ACF＝30°，
∵∠CKH＝180°﹣∠CHK﹣∠ACB＝30°，
∴∠CFH＝∠CKH，
∴CF＝CK，
∴BE＝CK，
∵M为BC中点，
∴BM＝CM，
∴EM＝KM，
∵MG⊥AC，
∴MG∥FH，
∴MH是△EKF的中位线，
∴EH＝FH；
（2）当E在线段BC上时，设DF交AC于T，如图：
∵将线段DE绕点D逆时针旋转60°至DF，
∴∠EDT＝60°，DE＝DF，△DEF是等边三角形，
∴∠ADT＝120°﹣∠BDE＝∠BED，
∵∠A＝∠B＝60°，AD＝BE，
∴△ADT≌△BED（ASA），
∴DT＝DE，
∵DE＝DF，
∴T与F重合，
∴F在边AC上，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DFE＝60°，
∴∠AFD＝120°﹣∠EFC＝∠FEC，
∵∠A＝∠C，DF＝EF，
∴△ADF≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF；
当E在CB延长线上时，过E作EH⊥EC交AB延长线于H，如图：
∵∠EDH＝∠ABC﹣∠DEC＝60°﹣∠DEC，∠FEC＝∠DAF﹣∠DEC＝60°﹣∠DEC，
∴∠EDH＝∠FEC，
∵∠EBH＝∠ABC＝60°，
∴∠H＝30°，
∴BH＝2BE，EH＝BE，
∵BE＝AD，
∴DH＝BD+BH＝AB﹣AD+2AD＝AB+AD，
∵CE＝BC+BE＝AB+AD，
∴DH＝CE，
∵DE＝EF，
∴△DEH≌△EFC（SAS），
∴CF＝EH，
∴CF＝BE＝AD．
综上所述，AD＝CF或CF＝AD．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，含30°的直角三角形三边的关系等，解题的关键是掌握旋转的性质．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转90°得到点P′，点P′落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点A（1，1），B（3，1），C（3，2）．
（1）在点P1（﹣2，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，点 P2和P3 是线段AB关于原点O的“伴随点”；
（2）如果点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
（3）已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，n），其关于原点对称的抛物线上存在△ABC关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．
【分析】（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点O旋转后的对应点，进行判断即可；
（2）过点D作DP⊥x轴于点P，过点D′作D′Q⊥x轴于点Q，证明△DPO≌△OQD′，求出D′的坐标，再求出点D′在线段AC上和在线段AB上时，m的值，即可得出结论；
（3）根据顶点坐标，写出抛物线的顶点式，进而得到其关于原点对称的抛物线的解析式，将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A′B′C′，根据抛物线上存在△ABC关于原点O的“伴随点”，得到当抛物线过点A′时n有最大值，当抛物线过点C′时n有最小值，即可得解．
【解答】解：（1）∵A（1，1），B（3，1），
∴AB∥x轴，
如图1所示，点P1（﹣2，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）绕点O顺时针旋转90°得到的对应点分别为：P1′（0，2），P2′（1，1），P3′（2，1），
其中点P2′（1，1），P3′（2，1），在线段AB上，
∴P2和P3是线段AB关于原点O的“伴随点”；
故答案为：P2和P3．
（2）∵A（1，1），B（3，1），C（3，2），
∴△ABC在第一象限，
∵点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”；
∴点D在第二象限，
过点D作DP⊥x轴于点P，过点D′作D′Q⊥x轴于点Q，如图2，
则：∠DPO＝∠D′QO＝90°，
∵OD绕点O顺时针旋转90°得到OD′，
∴OD＝OD′，∠DOD′＝90°，
∴∠DOP＝∠OD′Q＝90°﹣∠D′OQ，
∴△DPO≌△OQD′，
∴OQ＝DP，D′Q＝OP，
∵D（m，2），
∴OQ＝DP＝|m|，D′Q＝OP＝2，
∵△ABC在第一象限，
∴D′（2，﹣m），
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则：
，解得：，
∴，
当D′在AC上时，，解得：；
当D′在AB上时，﹣m＝1，解得：m＝﹣1；
∴当时，点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”；
（3）∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，n），
∴设抛物线的解析式为y＝（x+1）2+n，
∴其关于原点对称的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2﹣n．
如图3：△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A′B′C′，其中A′（﹣1，1），B′（﹣1，3），C′（﹣2，3）．
∵抛物线上存在△ABC关于原点O的“伴随点”，
∴当y＝﹣（x﹣1）2﹣n过A′，得到n的最大值﹣5．
当y＝﹣（x﹣1）2﹣n过C′，得到n的最小值﹣12．
【点评】本题考查坐标与图形，旋转的性质，一次函数和二次函数的综合应用，解题的关键是理解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解．
x（单位：m）
0
2
4
y（单位：m）
2.25
3.45
3.05
x/cm
0
1
2
3
4
5
y1cm
5
4.9
4
3
0
y2cm
4
3.32
2.47
1.4
0
3
x（单位：m）
0
2
4
y（单位：m）
2.25
3.45
3.05
x/cm
0
1
2
3
4
5
y1cm
5
4.9
4
3
0
y2cm
4
3.32
2.47
1.4
0
3