江苏省常州市新北区河海实验学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

这是一份江苏省常州市新北区河海实验学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A. B. C. D.
3.若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值是( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，点D，E分别为边AB，AC的中点.下列结论中，错误的是( )
A.
B. ∽
C.
D.
5.如图，在中，点D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，，，且，那么等于( )
A. B. C. D.
6.如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若，，则DH的长为( )
A. 2
B. 3
C.
D.
7.我国古代数学家赵爽公元世纪在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程正根的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是( )
A. B. C. D.
8.有关于x的两个方程：与，其中，下列判断正确的是( )
A. 两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根
B. 若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数
C. 若两个方程都有实数根，则必有一根相等
D. 若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.一元二次方程的实数根为______，______.
10.用配方法解一元二次方程，配方后的方程为，则n的值为______.
11.已知均不为，求______.
12.设关于x的方程的两根是m和n，且，则k值为______.
13.若a是方程的一个根，则代数式的值=______.
14.某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价______元.
15.如图所示，网格中相似的两个三角形是______填序号
16.如图，AD是的中线，E是AD上一点，AE：：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC为______.
17.如图，在▱ABCD中，，，E为AD上一点，且，，则______
18.如图，在中，，AD是的一条角平分线，E为AD中点，连接若，，则______.
三、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题8分
解方程：
；
20.本小题8分
已知关于x的一元二次方程
求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
如果方程的两个实数根为，，且，求m的值.
21.本小题8分
新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形.
验证：矩形EFGH是矩形ABCD的“减半”矩形，其中矩形ABCD的长为12、宽为2，矩形EFGH的长为4、宽为
探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由.
22.本小题8分
如图，已知点 B、C在线段AD上，且，，是边长为6的等边三角形．求证：∽
23.本小题10分
如图，已知梯形ABCD中，是边AB上一点，CE与对角线BD交于点F，且求证：
∽；
24.本小题10分
如图，在四边形ABCD中，，，，，点P从A开始沿AB边向B以每秒3cm的速度移动，点Q从C开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止.设运动时间为t秒.
求证：当时，四边形APQD是平行四边形；
是否可能平分对角线BD？若能，求出当t为何值时PQ平分BD；若不能，请说明理由；
若是以PD为腰的等腰三角形，求t的值.
25.本小题12分
【探究】如图①，在矩形ABCD中，点E在边DC上，连结AE，过点D作于点G，交边BC于点若，，求的值.
【应用】如图②，在中，，点F为边BC的中点，连结AF，过点B作于点E，交边AC于点若，的值为______.
如图③，在中，，点D为AC的中点，连结BD，过点A作于点E，交边BC于点若，的值为______.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：只含有一个未知数且最高次数为2，所以是一元二次方程，故该选项符合题意；
B.，含有两个未知数且最高次数为2，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C.为分式方程，故该选项不符合题意；
D.是一元一次方程，故该选项不符合题意．
故选：
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程．据此解答即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2.【答案】A
【解析】解：A选项，，故没有实数根，符合题意；
B选项，，，不符合题意；
C选项，，，不符合题意；
D选项，，，不符合题意．
故选：
利用根的判别式和简单一元二次方程求解作答即可．
本题考查根的判别式，能够快速求出一元二次方程的解是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：由题意得：
把代入方程中得：
，
，
解得：，
故选：
根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：点D，E分别为边AB，AC的中点，
是的中位线，
，
故A、C选项不符合题意．
，
∽
故B选项不符合题意．
∽，
，
则
故D选项符合题意．
故选：
根据题中所给条件可得出与相似，再根据相似三角形的性质即可解决问题．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积及三角形中位线定理，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
先由AD：：5，求得BD：AB的比，再由，根据平行线分线段成比例定理，可得CE：：AB，然后由，根据平行线分线段成比例定理，可得CF：：AC，则可求得答案．
此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．
【解答】
解：：：5，
：：8，
，
：：：8，
，
：：：
故选：
6.【答案】B
【解析】解：由正方形CEFG和正方形ABCD，，，
得，
得∽，
得DH：：：：1，
由，
得
故选：
由正方形CEFG和正方形ABCD，，，得，得∽，得DH：：：：1，由，即可得
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是相似三角形的性质的应用．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查一元二次方程的应用，通过图形直观得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．
根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．
【解答】
解：方程，即的拼图如图所示；
中间小正方形的边长为，其面积为25，
大正方形的面积：，其边长为7，
因此，D选项所表示的图形符合题意，
故选：
8.【答案】B
【解析】解：两个方程的根的判别式相等为，所以两个方程解的情况相同，所以排除A；
两个方程只有b的系数是相反数，其他系数相同，所以必有一根是互为相反数，
故选：
根据根的判别式和一元二次方程的解的定义即可得到结论．
本题考查了根的判别式和一元二次方程的解，正确的理解题意是解题的关键．
9.【答案】0 3
【解析】解：由题意，，
，
故答案为：0，
依据题意，由，进而计算可以得解．
本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法、一元二次方程的解，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．
10.【答案】7
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：7
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用配方法解一元二次方程，本题属于基础题型．
11.【答案】
【解析】解：设，
则，，，
故答案为：
根据题意，设，则得，，，然后分别代入求解即可．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：关于x的方程的两根是m和n，
，
，
，，
，
故答案为：
首先根据根与系数的关系得到两根之和，结合已知条件列出方程组求得m和n的值，然后利用两根之积求得k值即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是求得方程的两根，难度不大．
13.【答案】2013
【解析】解：是方程的一个根，
，
，
原式
故答案为：
由a是方程的一个根，可得出，将其代入中，可得出原式，再次代入，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
14.【答案】3或4
【解析】解：设每箱降价x元，则每箱的销售利润为元，平均每天可售出箱，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
每箱应降价3或4元．
故答案为：3或
设每箱降价x元，则每箱的销售利润为元，平均每天可售出箱，利用总利润=每箱的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】①③
【解析】解：图形①的三边为：2，，；
图形②的三边为：3，，；
图形③的三边为：2，，；
图形④的三边为：3，，，
，，
①与③相似，
故答案为：①③．
先求出所有三角形的边长，由相似三角形的判定可求解．
本题考查了相似三角形的判定，求出所有三角形的边长是解题的关键．
16.【答案】1：6
【解析】解：作交AC于H，
是的中线，
，
，
，
，
：：6，
故答案为：1：
作交AC于H，根据三角形中位线定理得到，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系，根据中线为切入点作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，，，
，，
，
，，
，，，，
，
∽，
，即，
解得
故答案为
先根据平行四边形的性质得出，再根据，，，，进而得出，故可得出∽，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，根据题意得出∽是解答此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：连接CE，过E作于F，如图：
设，则，
，E为AD中点，
，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，，
，
平分，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
为AD中点，
，
，
，
，
，
解得或小于0，舍去，
故答案为：
连接CE，过E作于F，设，则，由，E为AD中点，可得，有，，证明∽，可得，，故，再证∽，得，而，即得，从而，即可解得答案．
本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、解一元二次方程等知识，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键．
19.【答案】解：，
，
则，
或，
解得，；
，
，
则，
，即，
【解析】利用因式分解法求解即可；
利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20.【答案】解：，
这里，，，
，
无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
设方程的两个实数根为，，
则，
，即，
整理，得
解得，
的值为或
【解析】先确定a、b、c，再计算根的判别式，利用根的判别式得结论；
先利用根与系数的关系求出两根的和与积，再代入已知中得关于m的方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式、根与系数的关系及完全平方公式的变形等知识点是解决本题的关键．
21.【答案】证明：矩形EFGH的周长为：，
矩形ABCD的周长为：，
矩形EFGH的周长矩形ABCD的周长；
矩形EFGH的面积为：，
矩形ABCD的面积为：，
矩形EFGH的面积矩形ABCD的面积；
矩形EFGH是矩形ABCD的“减半”矩形．
解：该矩形不存在“减半”矩形，理由如下：
若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为m，，
原矩形的长和宽分别为2，1，
①，②，
由①得：，
将代入②得：，
即，
，
无实数根，
该矩形不存在“减半”矩形．
【解析】分别求出矩形EFGH的周长与面积，矩形ABCD的周长与面积，即可得出结论；
若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为m，，根据矩形的周长和面积得出，再由根的判别式即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用、矩形的性质以及根的判别式等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】证明：在等边三角形PBC中，，
在和中，，
，，，
，，
，
∽
【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，要熟练运用相似三角形的性质和等边三角形的性质是关键．先证出，再得出，根据相似三角形的判定证明即可.
23.【答案】证明：，
，
，
∽，
，
，
，
∽；
由知∽，∽
，，
，

【解析】由，，可得∽，有，又，有，故∽；
由∽，∽，可得，，即得，从而
本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
24.【答案】证明：，
当秒时，两点停止运动，在运动过程中，，
，，
当时，，，
又四边形ABCD为等腰梯形，
，
四边形APQD为平行四边形；
解：PQ能平分对角线BD，当秒时，PQ平分对角线
理由如下：
连接BD交PQ于点E，如图1所示：
若PQ平分对角线BD，则，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
即四边形DPBQ为平行四边形，
，
解得，符合题意，
当秒时，PQ平分对角线
解：分两种情况：
①当时，作于N，于M，与E，如图2所示：
则，，，
，，
，
，
，
解得：；
②当时，由勾股定理得：，
，
整理得：，
解得，方程无解；
综上所述：若是以PD为腰的等腰三角形，t的值为
【解析】由题意可得当秒时，两点停止运动，在运动过程中，，即可得，，由，即可求得，又由，即可判定四边形APQD是平行四边形；
首先连接BD交PQ于点E，若PQ平分对角线BD，则，易证得≌，继而可得四边形DPBQ为平行四边形，则可得，解此方程即可求得答案．
分两种情况：①当时，作于N，于M，与E，如图所示：则，，，得出，，由得出方程，解方程即可；
②当时，由勾股定理得出方程，方程无解；即可得出答案．
此题是四边形综合题目，考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、解方程．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
25.【答案】
【解析】【探究】
解：四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
∽，
；
【应用】
解：，
设，，
，
，
点F是BC的中点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
如图，
作于G，
设，，则，，
，
，
由知：，
，
设，，
，
，
，
由得，
，
，
，
，
故答案为：
【探究】课证得∽，进而得出结果；
【应用】设，，则，从而，可证得，从而，进而得出结果；
作于G，设，，则，，进而得出，可推出，从而，设，，则，由得，，求得x，进一步得出结果．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．