福建省漳州市芗城区漳州立人学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省漳州市芗城区漳州立人学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题．，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题（每题4分，共40分）
1. 如果，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了比例性质，掌握比例的性质是解题关键．根据题意设，，再代入化简即可．
【详解】解：，
设，，
，
故选：C．
2. 在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对边分别相等，然后乙测量出________，最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填（ ）
A 两组对边分别平行B. 一组邻边相等
C. 两条对角线相等D. 一组邻角相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此可得答案．
【详解】解：∵甲测量出两组对边分别相等，
∴该地板砖是平行四边形，
∴当一组邻边相等时，该地板砖是菱形，
∴乙测量出一组邻边相等，
故选：B．
3. 一元二次方程的一根是，则a的值是（ ）
A. B. 21C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根，把代入，解方程即可得到答案．
【详解】解：把代入，
，
∴．
故选：B．
4. 如图，已知矩形中，，，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则长为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，则，首先得到，然后利用勾股定理求解即可．
此题考查了矩形和折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．
【详解】解：设，则
由折叠可得，
∵四边形是矩形
∴
∴，即
解得
∴的长为4．
故选：B．
5. 如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为，宽为的杭州金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整幅挂图的面积是，设纸边的宽为（），则应满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
依题意得，面积为，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，矩形挂图的长为，宽为，
依题意得，面积为，
故选：D．
6. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段AB的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入即可求出的长．
【详解】解：如图，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，

则，
即，
解得：，
故选：B．
7. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定，利用等量关系可得，再根据相似三角形的判定进行逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
当时，，故不符合题意；
当时，，故不符合题意；
当时，不能证与相似，故符合题意；
当时，，故不符合题意；
故选：C．
8. 如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（ ）
A. 22.5°B. 25°C. 30°D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解．
【详解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°，
在菱形BDFE中，BD=DF，
所以，∠DBF=∠AFB，
在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°，
解得∠AFB=22.5°．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键．
9. 已知关于的一元二次方程的两个实数根是，且，则的值是（ ）
A. 8B. C. 6D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式和已知条件得到，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系解题的关键是熟练掌握若，是一元二次方程的两根时：，．
10. 如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（ ）
A. 3B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，根据点B与点D关于直线对称，可知的长即为的最小值是解答此题的关键．由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，即为所求，在中利用勾股定理即可求出的长即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴点B与D关于直线对称，
连接交于点，连接，
则，
，
当B、N、M三点共线时，取得最小值，
则即为所求的点，
则的长即为的最小值，
∵四边形是正方形，
∴是线段垂直平分线，
又，
在中，，
故的最小值是．
故选：C．
二、填空题（每题4分，共24分）．
11. 一元二次方程的解是_______．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了利用因式分解的方法求解一元二次方程，利用两数相乘积为0，两因式中至少有为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：，
，
，，
故答案为：，．
12. 若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为________．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．
【详解】解：该菱形的面积为：．
故答案为：24．
13. 如图，ABCD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BE的长为____．
【答案】##1.5
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质、三角形相似判定和性质，利用平行线证明三角形相似，得到线段成比例即可求解．
【详解】
，
，
即：
故答案为：．
14. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，如果a+b+c=0，则一元二次方程有一根为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】把转化为后，代入一元二次方程中，再用因式分解法求出方程的根即可．
【详解】∵，
∴①，
将①代入一元二次方程ax2+bx+c=0中可得，
ax2-（a+c）x+c=0，
整理可得，，
∴，．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是解题的关键．
15. 对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较小值，如：按照这个规定，方程的解为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．
分类讨论1与x的大小，分别求出方程的解，检验即可．
【详解】解：当时，，
，即，
解得：，（舍去），
当时，，
，即，
解得：，（舍去），
综上所述，方程的解为或．
故答案为：或．
16. 如图，中，，，点D是边的中点，分别过点A，B作直线，，且，过点D作直线，分别交，于点E，F．当以A，D，E为顶点的三角形与相似时，以A，D，E为顶点的三角形与的相似比k的值为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，根据题意进行分类讨论是解题关键．利用勾股定理得到的长，进而得到，再根据以A，D，E为顶点的三角形与相似，分以下两种情况①当时，②当时，结合相似三角形的性质求出以A，D，E为顶点的三角形与的相似比k，即可解题．
【详解】解：，，
，
点D是边的中点，
，
①当时，以A，D，E为顶点的三角形与相似，
有，
②当时，以A，D，E为顶点的三角形与相似，
有，
综上所述，k的值为或．
故答案为：或．
三、解答题（10分+6分+8分+8分+8分+10分+10分+12分+14分=86分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，涉及直接开平方法、公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键．
（1）先移项得到，然后直接开平方得到，再解一元一次方程即可得到答案；
（2）先由一元二次方程一般式得到，再计算判别式，最后利用求根公式代值求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
移项得，
直接开平方得，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，即．
18. 如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，，．

（1）以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是；
（2）在（1）中，点A的对应点的坐标为________．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了作图-位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，熟练掌握位似变换的性质是解此题的关键．
（1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点、、的横纵坐标都乘以得到点、、，再顺次连接即可得出答案；
（2）利用（1）中得到的点即可求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
【小问2详解】
解：点A的对应点的坐标为，
故答案为：．
19. 如图，，点是线段上的一点，且．

（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）4
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．
（1）根据垂直得到，利用同角的余角相等得到，即可证明；
（2）根据相似三角形的性质得到，代入已知线段长度即可求出的长．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
20. 某种品牌的手机经过8、9月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答：
（1）求每次下降的百分率；
（2）若10月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌手机10月份售价为每部多少元？
【答案】（1）每次下降的百分率为
（2）这种品牌的手机10月份售价为每部1280元
【解析】
【分析】本题考查了增长率问题，解题关键是牢记增长率模型，即，其中a是原来的量，x是变化率，b是现在的量．
（1）直接代入增长率模型公式即可求解；
（2）将9月份的量代入公式计算即可．
【小问1详解】
解：设每次下降的百分率为x，
，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
答：每次下降的百分率为．
【小问2详解】
（元）
答：这种品牌的手机10月份售价为每部1280元．
21. 如图，在中，点D、E分别是的中点，，延长到点F，使得，连结．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线性质，得，根据，得到，结合，推出四边形是平行四边形，推出平行四边形是菱形；
（2）根据菱形性质得到， ，得到是等边三角形，根据正三角形面积公式得到．
【小问1详解】
证明：∵D、E分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：由（1）知，四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形综合．熟练掌握三角形中位线性质，平行四边形判定和性质，菱形判定和性质，等边三角形判定和性质，等边三角形面积公式，是解决问题的关键．
22. 定义：①如果关于x的一元二次方程（a，b，c为常数且）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．②如果关于x的一元二次方程（a，b，c为常数且）有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．
（1）请你判断：方程是________（填“倍根方程”或“方根方程”）；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值．
【答案】（1）“倍根方程”
（2）
【解析】
【分析】本题是阅读理解类题目，主要考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，解题的关键是读懂题意．
（1）根据方程的解，判断是否是倍根方程；
（2）设方程的两个根是，根据定义可知，再根据根与系数的关系求出答案；
【小问1详解】
解：，
∴，
∴，
∴方程是“倍根方程”，
故答案为：“倍根方程”：
【小问2详解】
解：设是“倍根方程”的两个根，且．
，
，
解得：，
，
．
23. 一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
（1）若降价元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？
【答案】（1）28 （2）10元
【解析】
【分析】（1）根据题意“发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件”即可求解；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据每件盈利不少于元取舍．
【小问1详解】
解：销售单价每降低元，平均每天可多售出件
降价元，则平均每天销售数量为，
故答案为：28；
【小问2详解】
解：设每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元，
根据题意得，，
解得，
，
解得，
．
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题的关键．
24. 如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为，连接．
（1）发现：________，________（用含t的式子来表示）
（2）猜想：若，则t的值为________；
（3）探究：是否存在符合条件的t，使与相似？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）秒
（3）或秒
【解析】
【分析】本题是相似综合题目，考查了相似三角形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质等知识点，综合性较强，掌握相似三角形的性质是解题的关键，
（1）利用路程等于速度乘以时间即可得出结论；
（2）利用建立方程求解即可得出结论；
（3）分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论．
【小问1详解】
解：在中，，
，
，
，
由运动知，．
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
，
秒．
【小问3详解】
解：∵与相似，
当时，
秒；
当时，
，
秒；
即：满足条件的的值为或秒．
25. 如图①，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，沿射线AD以每秒3个单位长度的速度运动．点Q从点C出发，沿CB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点B时，点P也随之停止运动．设点Q运动时间为t秒．
（1）线段________（用含t的代数式表示）．
（2）当以P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，则t的值为________．
（3）如图②，若点E为边上一点，且，当是以为腰的等腰三角形时，求出t的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）当是以为腰的等腰三角形时，的值为1或或
【解析】
【分析】（1）点运动到点时，共用了总共运动了，分两种情况讨论：当时，当时，进行计算即可求解；
（2）若四边形为平行四边形，则，根据题意得，分两种情况讨论：当时，当时，进行计算即可求解；
（3）过点作于点，根据矩形的判定与性质以及勾股定理求出，根据等腰三角形的性质得，当，则，进行计算即可；当，过点作，则，在中，根据勾股定理得进行计算即可．
【小问1详解】
解：点运动到点时，共用了，总共运动了，
∴当时，，
当时，，
综上，；
【小问2详解】
解：若四边形为平行四边形，则，
由（1）得，，
根据题意得，，
∴当时，解得：，
当时，解得：，
综上，当以为顶点的四边形为平行四边形时，或．
【小问3详解】
解：过点作于点，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
当时，
则，
，
解得：，
当，如图所示，过点作，
则四边形是矩形，
，
，
在中，根据勾股定理得，即，
解得：或；
综上，当是以为腰的等腰三角形时，的值为1或或．