福建省福州市八县(市)协作校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷（解析版）-A4

这是一份福建省福州市八县(市)协作校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷（解析版）-A4，共16页。
【完卷时间：120分钟；满分：150分】
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解二次不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】因为，
又，所以.
故选：A.
2. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于AB：举反例说明即可；对于C：根据定义域分析判断；对于D：根据偶函数的定义分析判断.
【详解】对于选项A：令，可得；令，可得；
两者不相等，所以不是偶函数，故A错误；
对于选项B：令，可得；令，可得；
两者不相等，所以不是偶函数，故B错误；
对于选项C：因为的定义域为不关于原点对称，
所以不是偶函数，故C错误；
对于选项D：因为的定义域为，且，
所以是偶函数，故D正确；
故选：D.
3. 已知正项等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列通项公式得到，再利用等比数列求和公式即可得到答案.
【详解】设等比数列的公比为，
则由题意得，因为，则，解得或（舍），
则.
故选：C.
4. 设，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，由向量共线及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】向量，，，解得或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5. 幸福感指数是生活质量的一个评价指标，其中，分别表示物质生活指标与精神生活指标.幸福感指数越大，生活质量越高.如果某人近年的物质生活指标没有变化，精神生活指标由变为，幸福感指数由3提高到5，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件列式，结合对数运算及对数函数单调性求解即得.
【详解】依题意，，即，而函数是的增函数，
所以.
故选：C
6. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出点的坐标，利用点到直线的距离公式列式，再构造函数并利用导数求出最小值.
【详解】依题意，设点，则点到直线的距离，
令函数，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，则，
所以点到直线距离最小值为.
故选：C
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用换元法，结合余弦函数的和差公式与三角函数基本关系式即可得解.
【详解】因为，
令，则，即，
所以，
则，所以，
所以.
故选：B.
8. 已知函数，若存在使得，，依次成等差数列，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差中项公式，结合对数函数的性质得到在定义域内有解，
再利用参变分离，结合换元法与二次函数的性质即可得解.
【详解】因为存在使得，，依次成等差数列，
所以在定义域内有解，
又，所以，
即，
则在定义域内有解，
由对数函数的定义域可知，，又，所以，
所以，
令，则，
因为的图象开口向上，对称轴为，
所以在0,+∞上单调递增，所以，
所以，又，所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，将问题转化为在定义域内有解，从而得解.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知x、y都是正数，则（ ）
A. B. 若，则的最大值为2
C. 的最大值为D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式求解判断ABC；举例说明判断D.
【详解】对于A，，则，当且仅当时取等号，A错误；
对于B，，解得，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，当时，，D错误.
故选：BC
10. 已知函数（，，）的部分图象如图，则（ ）
A.
B.
C. 在上单调递减
D. 将的图象向右平移个单位，再将横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），最后将纵坐标变为原来的（横坐标不变）得到图象，则为正弦曲线
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出解析式，再逐项判断得解.
【详解】观察图象得，，由，得，又，且在的单调增区间内，
则，由，得，解得，
而的最小正周期满足，即，则，
解得，因此，，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，当时，，正弦函数在上单调递减，
因此在上单调递减，C正确；
对于D，将的图象向右平移个单位，得的图象，
因此图象对应的解析式为，为正弦曲线，D正确.
故选：BCD
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最大值为
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 当时，方程有且只有一个实根
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】运用导数研究函数的单调性和极值，判定AB，根据单调性和极值画出草图判定C，构造新函数，借助极值点偏离判定D.
【详解】对于A，对求导得到.
令，即，则. 解得.
当时，，函数单调递增.
当时，，函数单调递减.
所以是函数的极大值点，也是最大值点.
得. 所以选项A正确.
对于B，由选项A可知函数在上单调递增，在 上单调递减，所以函数存在极大值，不存在极小值，故B错误.
当时，，当 时，，且，
作出函数的大致图象如图所示，

又，所以方程有且只有一个实根，故C正确.
对于D，不妨设. 要证，即证.
因为在单调递减，所以只需证.
设，.
则，.,
由于，则，
，，则，则分母.
，，，，,则分子为正数，因此.
可得，所以在单调递增.
所以，即，所以，正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的意义，结合向量的夹角公式计算即得.
【详解】依题意，在上的投影向量为，则，
，而，
所以.
故答案为：
13. 若函数的图象关于点成中心对称，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】在函数的图象上取两点，，求出它们关于点
对称的点，，再代入，解方程组即可得解.
【详解】因为的定义域为，
又的图象关于点2,0成中心对称，
所以在函数的图象上取两点，，
则它们关于点2,0对称的点，也在函数的图象上，
所以，即，
解得，
经检验，满足题意，所以.
故答案为：.
14. 已知函数的定义域为，若f2x+1为奇函数，为偶函数，且，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性得到的相关式子，从而变形分析得是周期函数，
再利用赋值法依次求得所需函数值，从而利用的周期性即可得解.
【详解】因为f2x+1为奇函数，所以，
即，所以，
因为为偶函数，所以，
所以，即fx+2=−fx，
所以fx+4=−fx+2=fx，
则是周期为的周期函数，
因为fx+2=−fx，即fx+2+fx=0，
则，，
所以，
因为，所以，则f1=0，
则
.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前项和为，若公差，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式以及等比中项的应用得到方程组，解出即可；
（2）裂项得，再代入求和即可
【小问1详解】
设等差数列的公差为，且，
则，即，解得，
则.
小问2详解】
，
所以
.
16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）若，是的中点，，求.
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦计算得解.
（2）在中，依次利用余弦定理求解即得.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理得，
即，而，，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
在中，由余弦定理得，即，
整理得，又，则，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得.
17. 已知函数的最小正周期为.
（1）求在上的单调区间；
（2）若方程在上的解为，，求的值.
【答案】（1）递增区间是，递减区间是；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数并求出解析式，再利用正弦函数的性质求出单调区间.
（2）利用正弦函数的对称性求出，再求出.
【小问1详解】
依题意，，则，解得，
因此，当时，，
由或，得或，
由，得，
所以在上的单调递增区间是，递减区间是.
【小问2详解】
由，得，当时，，
依题意，，解得，
所以.
18. 已知函数.
（1）讨论函数单调性；
（2）若有两个极值点，求实数的取值范围；
（3）当时，若，求证：.
【答案】（1）答案见解析；
（2）
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出，再利用导数分类探讨函数的单调性.
（2）由（1）的信息，利用导数探讨最大值，求出函数有两个变号零点的的范围.
（3）求出函数，利用导数求出最小值并结合基本不等式推理即得.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得，
令，求导得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
函数上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
由函数有两个极值点，得函数有两个变号零点，
由（1）知，当时，最多一个零点，不符合题意；
当时，，
而从大于0的方向趋近于0时，的值趋近于负无穷大，当趋近于正无穷大时，的值趋近于负无穷大，
要函数有两个变号零点，当且仅当，解得，
所以实数取值范围是.
【小问3详解】
当时，，，求导得，
令，求导得，函数在上单调递增，
而，则存在，使得，即，
当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，
所以.
19. 设自然数，由个不同的正整数，，…，构成的集合.若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数.对于集合，若取得最大值，则称集合为“极异集合”；
（1）对于集合，求，并判断其是否是的“极异集合”（无须说明理由）.
（2）设集合是“极异集合”.
（i）记，求证：数列前项和；
（ii）证明：.
【答案】（1），不是极异集合
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据集合计算得出，再根据性质定义可判断不是极异集合；
（2）（i）根据是极异集合则其子集是极异集合，可证，再求和即可证明；.
（ii）不妨设，利用（i）的结论可证，从而可求最大值.
【小问1详解】
对于集合，，不是极异集合.
对于，其共有7个非空子集：
各集合的和分别为：,则，，
因为有两个相等元素所以集合不是极异集合.
【小问2详解】
（i）因为是“极异集合”，故对于任意的k，也是“极异集合”，
否则有两个非空子集，它们的元素和相等，
而也是的子集，故不是“极异集合”，矛盾.
注意到共有个非空子集，每个子集的元素和相异，
且子集的和最大为，最小为，故.
因为，
故
，
可得，故.
（ii）不妨设，
，
设，则，由（i）可得，且.
而
，
故，
当且仅当时等号成立，
即此时任意的正整数k，,即，
故此时时等号成立，故的最大值为，
故.
【点睛】思路点睛：对于与集合有关的新定义问题，注意根据定义检验，另外在问题解决的过程中，注意局部性质与整体性质的关系，注意利用已有的结果来解决后面的问题.