江苏省金陵海门中学2024-2025学年高三上学期期中调研数学试题

这是一份江苏省金陵海门中学2024-2025学年高三上学期期中调研数学试题，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，，则的真子集的个数为（ ）
A．7B．8C．16D．15
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．设，都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ）
A．B．在方向上的投影向量为
C．若，则D．若，则
6．已知数列的前项和为，其中，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．函数图象关于点对称
C．函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为
D．若，则函数的最大值为
8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有两个零点B．当时，
C．的解集是D．都有
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数，，则（ ）
A．与的值域相同B．与的最小正周期相同
C．曲线与有相同的对称轴D．曲线与有相同的对称中心
10．已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．若是等差数列，且，则
B．若是等比数列，且，则
C．若，则是等差数列
D．若是公比大于1的等比数列，则
11．已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是奇函数B．
C．函数的图象关于点对称D．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，若，，且，则的最小值是________．
13．已知的外心为，内角，，的对边分别为，，，且．若，则________．
14．若存在实数，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时，________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，则面积为，求、的值．
16．（15分）已知数列中，．
（1）证明数列是等比数列；
（2）若数列的通项公式为，求数列的前项和．
17．（15分）已知直三棱柱中，，，分别为和的中点，为棱上的动点，．
（1）证明：平面平面；
（2）设，是否存在实数，使得平面与平面所成的角的余弦值为？
18．（17分）在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的右顶点、上顶点，若椭圆的离心率为，且点到直线的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，．
①求证：为定值，并求出该定值；
②设直线与轴交于点，求面积的最大值．
19．（17分）已知函数，且在区间上的最小值为0．
（1）求实数的取值范围；
（2）设函数在区间上的导函数为，对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质．
①求证：函数在区间具有性质；
②记，其中，求证：．
高三数学参考答案
一、选择题
1-5 ADBDB 6-8 CDC 9 ABC 10 AB 11 BCD
12．8 13． 14．
四、解答题：
15．（13分）解：（1）由正弦定理得，，
又，，
，，，
，，．
（2）面积为，，，
，，由得，
即，，
，或，．
16．（15分）解：（1）因为，所以，
即，为常数，故数列是等比数列．
（2）由（1）知，数列是首项为4，公比为2的等比数列，
所以，即，
所以，
故，
所以，
两式相減得，，
所以．
17．（15分）解：（1）由于在直三棱柱中，有平面，而在平面内，故．
同时有，且，故．
由于，，且和在平面内交于点，故平面．
由于在平面内，故．
取的中点，由于，分别是和的中点，故，而，故，即．
由于，分别是和的中点，可以得到，
所以有平行四边形，故．
设和交于点，由于，，，
从而得到全等于，故．
这就得到，从而，即．
而，故 ．
由于，即，而，和在平面内交于点，故平面．
由于平面，在平面内，故平面平面．
（2）有，又因为平面，和在平面内，故，．
由于，，两两垂直，故我们能够以为原点，，，分别作为，，轴正方向，建立空间直角坐标系．
由于题设条件和需要求证的结论均只依赖于线段间的比值，不妨设，
这就得到，，，，，，，．
据题设有，显然，此时．
从而有，，，．
设和分别是平面和平面的法向量，则，
．即，，从而可取，．
此时平面与平面所成的角的余弦值为
，
故条件等价于，即，解得，
所以存在，使得平面与平面所成的角的余弦值为．
18．（17分）解：（1）设椭圆的焦距为．
因为椭圆的离心率为，所以，即．
由，得，即．
所以直线的方程为，即．
因为原点到直线的距离为，所以，解得，所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为，其中，且，即．
设直线与椭圆交于点，．
联立消去并整理，得，
则，．
①
，为定值，得证．
②方法一：易知直线的方程为，令，得，故．
设直线与轴交于点．直线的方程为，令，得，故．
联立消去并整理，得，
解得或（舍去），则．
所以的面积
由①可知，，故，代入上式，得．
因为点在轴下方且不在轴上，故或，即，
所以．
显然，当时，，
当时，，
故只需考虑，令，则，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以面积的最大值为．
方法二：易知直线的方程为，令，得，故．
设直线与轴交于点．易直线的方程为，
令，得，故．
由①可知，，故，所以是线段的中点．
故的面积，其中为点到直线的距离．
思路1 显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值．
设直线的方程为，即．
联立消去并整理，得，
由，解得（正值舍去），
所以平行直线与直线之间的距离为，
即的最大值为．
所以面积的最大值为．
思路2 因为直线的方程为，
所以．
依题意，，，，故，
所以．
因为点在楠圆上，所以，即．
所以，当且仅当时取等号，
故，所以，
即面积的最大值为．
19．（17分）解：（1），，，，，
，等号不同时取，
所以当时，，在区间上单调递增，．
若，即，，则在区间上单调递增，
所以在区间上的最小值为，符合题意．
若，即，此时，，
又函数在区间的图象不间断，
由零点存在性定理可知，存在，使得，
且当时，，即在区间上单调递减，
所以，与题意矛盾，舍去．
综上所述，实数的取值范围是．
（2）①由（1）可知，当时，．
要证函数在区间上具有性质．即证当时，．
即证当时，．
令，，则，
即，．
又，所以在区间上单调递增，．
即当时，，得证．
②由①得，当时，，
所以当时，．
下面先证明两个不等式：，其中；，其中．
令，，则，所以在区间上单调递增，
所以，即当时，．
令，则，
所以在区间上单调递增，故，
所以当时，，故，即．
由不等式可知，
当时，，
所以当时，．
结合不等式可得，当时，
，
所以当时，．
当时，，有，
所以．
又，所以．
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。