安徽省合肥市包河区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份安徽省合肥市包河区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如果，那么下列各式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
2.二次函数的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3.若反比例函数的图象经过点，则k的值为( )
A. B. C. 2D.
4.抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得到的抛物线是( )
A. B.
C. D.
5.已知点，，都在反比例函数的图象上，则( )
A. B. C. D.
6.如图，的顶点E在的边BC上，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定∽的是( )
A. B. C. D.
7.如图，在由小正方形构成的网格中，连接小正方形中两个顶点A、D，线段AD与网格线的其中两个交点为B、C，若，那么CD长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
8.航航同学参加滑雪运动，航航的爸爸帮助他测得某一次滑雪的数据，已知在某个时间段内，滑行的距离与滑行时间成二次函数关系，请你能根据表中的数据，帮助航航同学计算出他滑行10秒时，滑行的距离是( )
A. 240mB. 270mC. 300mD.
9.二次函数的图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：
①；
②；
③；
④，
其中正确的结论序号为( )
A. ①②③
B. ①③
C. ①③④
D. ②③
10.如图，矩形ABCD中，，E为CD边上一点，且，过A点作于点M，连接CM并延长交AD于N，交AE于点下列结论：①∽；②M为NC的中点；③；④，其中正确的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.某市地图的比例尺为1：1 000 000，若该市地图上甲、乙两地的距离为4cm，则甲、乙两地的实际距离为______
12.请你写出一个函数，使得当自变量时，函数y随x的增大而减小，这个函数的解析式可以是__________.
13.如图，在中，，，动点P从点A出发到B点停止，动点Q从点C出发到A点停止，点P运动的速度为，点Q运动的速度为如果两点同时运动，那么当以点A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动的时间是______.
14.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为
若该抛物线与x轴交于点，则______；
已知点，，若该抛物线与线段AB始终有两个不同的交点，则n的取值范围是______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题8分
已知线段a，b满足，且求线段a，b的值.
16.本小题8分
已知二次函数的图象顶点是，且过点，求这个二次函数的解析式.
17.本小题8分
如图是由边长为1的小正方形组成的的矩形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A，B，C均在格点上.
猜想：的度数为______；
请在网格中只用无刻度直尺作一个格点各顶点均在格点上，使∽，且相似比不为按要求作图，不要求写画法
18.本小题8分
已知二次函数
用配方法将上述二次函数的表达式化为的形式；
画出此函数的图象不用列表，并直接写出当时x的取值范围.
19.本小题10分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点.
求反比例函数的解析式；
根据图象直接写出满足时x的取值范围.
连接AO并延长交的另一支于点C，连接BC，求的面积.
20.本小题10分
如图，涛涛同学在公园里散步，他发现：当他站在甲、乙两盏路灯路灯足够亮之间，并且自己被两边的路灯照在水平地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子NE长2米，乙灯照射的影子NF长3米，已知涛涛同学身高MN为米，两盏路灯AB和CD的高度相同，两路灯相距BD为15米，求路灯AB的高.
21.本小题12分
已知抛物线与x轴交于两点，其中一点坐标为
求抛物线的表达式及顶点坐标；
若抛物线，当时，有最大值为8，求m的值；
22.本小题12分
如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，交BD于点M，连接OF交CD于点N，连接
求证：；
求证：；
若，求MN的长.
23.本小题14分
某物理兴趣小组在老师的带领自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度米.如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形MNPQ为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口米.
求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA；
求最小档位时小球射出的最大射程OB；
要使接球盒能接住所有档位射出的小球即射出的小球都能落入水平移动的接球盒MNPQ中，请求出接球盒距发射器的水平距离OM的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由已知可得，
A、由得，，故本选项不符合题意；
B、由得，，故本选项不符合题意；
C、由得，，故本选项不符合题意；
D、由得，，故本选项符合题意．
故选：
根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
此题考查了比例的性质，掌握比例的基本性质是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：由题意，二次函数为，
其顶点为
故选：
依据题意，根据二次函数的顶点式进行判断可以得解．
本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用顶点式进行判断是关键．
3.【答案】A
【解析】解：反比例函数的图象经过点，
故选：
把点代入反比例函数即可得到关于k的方程，从而求解．
本题考查用待定系数法求函数解析式，只需把在解析式上的点的坐标代入即可．
4.【答案】A
【解析】解：抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得到的抛物线是：，即
故选：
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5.【答案】B
【解析】解：点，，都在反比例函数的图象上，
，，，
，
，
故选：
将，，都在反比例函数之中分别求出，，，然后再比较大小即可得出答案．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：，
A、，
∽，故本选项不符合题意；
B、，
∽，故本选项不符合题意；
C、，，
∽，故本选项不符合题意；
D、，与的大小无法判定，
无法判定∽，故本选项符合题意．
故选：
先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图，
，
，
，
∽，
：：：3，
，
故选：
判定∽，推出AB：：：3，而，即可求出
本题考查相似三角形的判定和性质，关键是判定∽，推出AB：：
8.【答案】B
【解析】解：由题意可得：s与t的关系可近似看成二次函数，
该函数图象经过点，
设s关于t的函数关系式为：，
该函数图象经过点和，
根据题意，得：，
关于t的函数关系式可以近似地表示为
经检验：点在该二次函数的图象上，
时，
故选：
依据题意，设s关于t的函数关系式为：，再利用待定系数法求解二次函数的解析式，再把代入计算即可得到答案．
本题考查的是二次函数的实际应用，理解表格信息反应的函数关系是解本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由图象可知，开口向下，交y轴于正半轴，
，
又对称轴为直线，
，即
，故①正确；
，
，故②错误；
抛物线与x轴有两个交点，
，
，故③正确；
由图象可知，当时，
，故④错误；
综上，正确的有①③．
故选：
由图象可知，开口向下，交y轴于正半轴即对称轴为直线，可判断①②是否正确，由抛物线与x轴有两个交点，可得，据此可判断③是否正确；由图象可知，当时，函数值，则可判断④是否正确．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合并明确二次函数的相关性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
≌，
也是等腰直角三角形，
，，
，，
，，，
，
，
，
∽，
故①正确，符合题意；
由①知，，，
，
在和中，
，
≌，
，
为NC中点，
故②正确，符合题意；
根据①得∽，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
故③正确，符合题意；
过M作于点Q，
由②知M是中点，
是的中位线，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
≌，
，
，
故④正确，符合题意；
综上①②③④都正确，正确的个数是4个．
故选：
根据题干易得为等腰直角三角形，先证≌，再通过三角形内角和和外交的性质倒角得到∽，即可判断①正确；
要判断M是中点，则证明，很容易联想到全等，结合图形易证≌，即可判断②正确；
要判断是否正确，根据结构可联想到相似母子型，但是这三条线段不在同一个三角形，所以要转化，由前面证明可得，，因此可证，由题目易证∽，即可判断③正确；
要判断，有必须想到等腰直角三角形，AD和AN在同一直线，不可能是等腰直角三角形的边，所以要转化，因为，因此可证，而，刚好可构造等腰直角三角形，所以过M作于点Q，得到，再利用中位线定理即可判断④正确．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
11.【答案】40
【解析】解：
答：甲乙两地的实际距离为
故答案为：
根据比例尺的定义进行解题即可．
本题考查比例尺，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
12.【答案】答案不唯一
【解析】解：当自变量时，函数y随x的增大而减小，
只要反比例函数比例系数就符合题意，
这个函数解析式可以为答案不唯一
故答案为：答案不唯一
直接利用反比例函数的性质得出答案．
此题考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
13.【答案】2s或
【解析】解：设点P运动的时间为t s，则，，
，
，
当时，则∽，
，可得方程；
解得；
当时，则∽，
，
，
解得，
综上所述，当以点A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动的时间是2s或
故答案为：2s或
设点P运动的时间为t s，则，，，再分两种情况求t的值，一是，则∽，，可得方程；二是，则∽，，可列方程，解方程求出相应的t的值即可．
此题考查相似三角形的判定与性质，数形结合与分类讨论数学思想的运用是解题的关键．
14.【答案】或
【解析】解：抛物线与x轴交于点，
，
，
，
，
抛物线的顶点为，
，
故答案为：4；
点，，
、B关于原点对称，
线段AB经过原点，
抛物线始终经过原点，且与x轴始终有两个交点，
当，对称轴在y轴左侧，对应的函数值，
，
解得，
又，
，
当，对称轴在y轴右侧，对应的函数值，
，
解得，
又，
，
综上：或
故答案为：或
利用待定系数法求得函数的解析式，然后把计算化成顶点式即可求解；
由A、B点的坐标以及函数的解析式可知抛物线始终经过原点，线段AB也经过原点，且与x轴始终有两个交点，然后分两种情况讨论，得到关于a的不等式，解不等式即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，数形结合是解题的关键．
15.【答案】解：设，
，，
，
，
解得，
，
【解析】设，则，，根据题意列方程即可得到结论．
本题考查了比例线段，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
16.【答案】解：设二次函数解析式为，图象顶点是，
，，
依题意得：，
解得，

【解析】设顶点式为，顶点坐标为，再将点代入顶点式计算出a值即可．
本题考查求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数解析式的求法是关键．
17.【答案】
【解析】解：由勾股定理得，，，，
，
故答案为：
如图，即为所求．
根据勾股定理以及勾股定理的逆定理可得
结合相似三角形的判定与性质，画，，即可．
本题考查作图-相似变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键．
18.【答案】解：；
当时，；当时，；当时，；当时，；
如图，由图可知，当时，自变量x的范围是
【解析】根据配方法的步骤求解即可；
先画出图象，然后根据图象解答即可．
本题考查了二次函数一般式化顶点式，画二次函数图象，二次函数的图象与性质，画出图象是解答本题的关键．
19.【答案】解：由题意得，解得，
，
即反比例函数的解析式为；
由图象和两函数交点坐标，可知，不等式的解集为：或；
如图，过点C作x轴的平行线交直线AB于点D，
由反比例函数图象的中心对称性质可知，
，在一次函数的图象上，
，解得，
直线AB解析式为：，
当时，，
，

【解析】利用反比例函数图象上点的坐标特征解答即可；
根据图象和交点坐标，直接写出不等式的解集即可；
过点C作x轴的平行线交直线AB于点D，先求出直线AB的解析式，再求出点D坐标，利用代入数据计算即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
20.【答案】解：由题意知：米，米，米，米，，
∽，∽，
，，
又，
，
，
解得，
，
即，
答：路灯AB的高为米．
【解析】根据题意得到米，米，米，米，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查相似三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题求解．
21.【答案】解：把代入得，
解得，
抛物线的表达式为，
，
该抛物线的顶点坐标为；
，
对称轴为直线，
，
当时，有最大值，
即，
整理得，
解得，，
，
的值为
【解析】把代入中求出a的值，从而确定抛物线解析式，然后把一般式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标；
先写出抛物线得解析式为，再求出对称轴为直线，接着利用，所以当时，有最大值8，即，然后解关于m的方程得到满足条件的m的值．
本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数的性质．
22.【答案】证明：连接OE，
四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O，E为CD边的中点，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
∽，
，
证明：由得≌，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，，且，
，
，
解：，，
，
，
∽，
，
，
的长为
【解析】连接OE，由正方形的性质得，，则，而，可证明≌，得，所以，，再证明∽，得，则；
由全等三角形的性质得，则，可证明∽，得，则，而，可证明∽，得，则，再证明∽，得，因为，，所以；
由，，所以，则，由∽，得，则
此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：由题意得，，
设抛物线解析式为
抛物线经过点，
，
解得，
最大档位时射出小球的抛物线的函数解析式为；
当时，则，
，舍去，
小球最大射程OA为6米；
抛物线的函数解析式为，
对称轴为直线，
点的对称点为，
最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移4米得到的，
的坐标为，
即最小档位小球射出射程OB为2米；
，
令，则
解得，舍，
要使接球盒能接住小球
由知，最小档位抛物线是由最大档位抛物线向左平移4米得到的，
又米，
，
即接球盒距发射器的水平距离OM的取值范围为
【解析】由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题；
由对称轴知点的对称点为，则最小档位的抛物线是由最大档位的抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标，即可得出结论；
根据，令解方程求出x的值，再根据，求出OM的取值范围．
本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．滑行时间t
0
1
2
3
…
滑行距离s
0
14
…