2023-2024学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期中数学试卷（有答案）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期中数学试卷（有答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）抛物线y＝﹣2x2+3的顶点为（ ）
A．（0，3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（0，﹣3）
2．（4分）以下各点中，不在反比例函数的图象上的点为（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（1，5）D．（4，1.5）
3．（4分）将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣5B．y＝2（x﹣1）2+5
C．y＝2（x+1）2﹣5D．y＝2（x+1）2+5
4．（4分）如图，△ADE∽△ABC，，若DE＝1，则BC的长为（ ）
A．1.5B．2C．3D．4
5．（4分）已二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+2的图象关于y轴对称，则下列结论不正确的是（ ）
A．m＝2
B．抛物线的开口向上
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＝2时，函数有最小值2
6．（4分）如图，，下列添加的条件不能使△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAEB．C．D．∠ABD＝∠ACE
7．（4分）已知AB＝4，点C在线段AB上，AC是AB，BC的比例中项，则AC的长（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）点（m，n）在二次函数y＝﹣x2+3图象上，m+n的最大值是（ ）
A．3B．C．D．
9．（4分）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，，DE∥BC，EF∥AB，点M是DF的中点，连接CM并延长交AB于点N，的值是（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）已知，抛物线与一个交点为（3，0）．规定：当y1≥y2时，y＝y1；当y1＜y2时，y＝y2；下列结论：①y有最小值3；②y关于x函数图象关于直线对称；③直线y＝1与y关于x的函数图象有4个交点；④当x＜0时，y随x的增大而减小．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）如果2a＝3b（b≠0），那么＝ ．
12．（5分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为 ．
13．（5分）直线y＝6与双曲线，相交于点A，B，作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，四边形ACDB的面积为5，则m的值为 ．
14．（5分）如图，点E是矩形ABCD边AD一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折至△FBE处，若AB＝6，BC＝8，则：
（1）若点F在BD上，则AE＝ ；
（2）若F到边AD，BC距离之比为2：1，则AE＝ ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴相交于点A（﹣1，0），B（5，0），求抛物线的解析式．
16．（8分）已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，交BC于F，且BF＝CF，DC延长线交AE于E，AB＝2，AD＝5．
（1）求证：AB＝BF；
（2）求S△EFC：S△EAD的值．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）已知二次函数y＝x2﹣6x+8．
（1）直接写出二次函数y＝x2﹣6x+8图象的顶点坐标 ；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）当0＜x＜4时，y的取值范围是 ．
18．（8分）已知反比例函数的图象经过第一、三象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若a＞0，此函数的图象过第一象限的两点（a+5，y1）（2a+1，y2），且y1＜y2，求a的取值范围．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）发射装置距离地面15米的点A处，向上发射物体，物体离地面的高度y（米）与物体运动的时间x（秒）之间满足函数关系y＝﹣5x2+mx+n，其图象如图所示，物体从发射到落地的运动时间为3秒．
（1）求此函数的解析式；
（2）求发射的物体到达最高点B时距地面的高度？
20．（10分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，∠A＝∠CBD．
（1）求证：CD2＝BC•CE；
（2）若CD＝1，BD＝2，AB＝3，求DE的长．
六、解答题（本题满分12分）
21．（12分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（﹣1，6），．与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集．
七、解答题（本题满分12分）
22．（12分）如图，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AB上，∠ADE＝90°，∠AED＝∠B+∠BAD．
（1）求证：AD2＝AC•AE；
（2）作EF⊥BC于点F，CD＝2，，求BD的长．
八、解答题（本题满分14分）
23．（14分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点P是BC上方抛物线上的一动点，作PM⊥x轴于点M，点M的横坐标为t（0＜t＜3），交BC于点D．
（1）求A，B的坐标和直线BC的解析式；
（2）连接BP，求△CPB面积的最大值；
（3）已知点Q也在抛物线上，点Q的横坐标为t+2，作QE⊥x轴于点F，交BC于点E，若P，D，Q，E为顶点的四边形为平行四边形，求t的值．
2023-2024学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+3，
∴抛物线顶点坐标为（0，3），
故选：A．
2．【解答】解：∵，
∴xy＝6，
A．（﹣2）×（﹣3）＝6，故不符合题意；
B、（﹣3）×（﹣2）＝6，故不符合题意；
C、1×5＝5≠6，故符合题意；
D、4×1.5＝6，故不符合题意；
故选：C．
3．【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向右平移1个单位，再向下平移5个单位所得对应点的坐标为（1，﹣5），所以平移得到的抛物线的表达式为y＝2（x﹣1）2﹣5．
故选：A．
4．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵，DE＝1，
∴＝＝，
解得：BC＝3．
故选：C．
5．【解答】解：∵二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+2的图象关于y轴对称，
∴﹣＝0，m≠0，
解得m＝2，
∴二次函数为y＝2x2+2，
∴抛物线开口向上，当x＝0时，函数有最小值2，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
故A、B、C正确，不合题意；D错误，符合题意．
故选：D．
6．【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵＝，
∴＝，
∴△ABC∽△ADE，
故A不符合题意；
∵＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝＝，
∴△ABC∽△ADE，
故B不符合题意；
∵＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝＝，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
又＝，
∴△ABC∽△ADE，
故C不符合题意；
由＝，∠ABD＝∠ACE，不能判定△ABC∽△ADE，
故D符合题意；
故选：D．
7．【解答】解：设AC＝x，则BC＝4﹣x，
∵AC是AB，BC的比例中项，
∴AC2＝AB•BC，
即x2＝4（4﹣x），
解得：x＝﹣2±2，
∵AC＞0，
∴AC＝2﹣2．
故选：B．
8．【解答】解：将（m，n）代入y＝﹣x2+3得n＝﹣m2+3，
∴m+n＝﹣m2+m+3＝﹣（m﹣）2+，
∴m＝时，m+n最大值为：，
故选：C．
9．【解答】解：过点F作FG∥CN交AB于点G，
∵点M是DF的中点，
∴N是DG的中点，
∴MN是△DGF的中位线，
∴GF＝2MN，
∵GF∥CN，EF∥AB，
∴四边形GFHN是平行四边形，
∴NH＝GF＝2MN，
∴MH＝MN，
设MH＝MN＝a，则GF＝2a，
∵DE∥BC，
△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴BC＝4DE，
∵EF∥AB，DE∥BC，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE＝BF，
∵FG∥CN，
∴＝，
∵＝＝，
∴＝，
∴CN＝4GF＝8a，
∴CH＝CN﹣NH＝8a﹣2a＝6a，
∴CM＝CH+MH＝6a+a＝7a，
∴＝＝，
故选：D．
10．【解答】解：∵抛物线与一个交点为（3，0），
∴9+3b﹣3＝0，﹣9+3c﹣3＝0，
∴b＝﹣2，c＝4，
∴y1＝x2﹣2x﹣3，y2＝﹣x2+4x﹣3，
由当y1≥y2时，y＝y1；当y1＜y2时，y＝y2画出图象如图：
由图象可知，
①y有最小值﹣3，故①错误；
②y关于x函数图象没有对称轴，故②错误；
③直线y＝1与y关于x的函数图象有3个交点，故③错误；
④当x＜0时，y随x的增大而减小，故④正确．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．【解答】解：∵2a＝3b（b≠0），
∴＝．
故答案为：．
12．【解答】解：根据图象可得：图象与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴是：x＝1，
（﹣1，0）关于x＝1的对称点是：（3，0），
则抛物线与x轴的交点是：（﹣1，0）和（3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为：x1＝﹣1，x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
13．【解答】解：设直线y＝6与y轴交于点E，
则矩形ACOE的面积为3，
∵四边形ACDB的面积为5，
∴矩形OEBD的面积为2，
∴|m|＝2，
∵m＜0，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．【解答】解：（1）如图1，点F在BD上，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，∠A＝90°，
∴BD＝＝10，
由翻折可知：AE＝EF，AB＝BF＝6，∠BFE＝∠A＝90°，
∴DF＝BD﹣BF＝10﹣6＝4，DE＝AD﹣AE＝8﹣AE，∠DFE＝90°，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得：
DE2＝EF2+DF2，
∴（8﹣AE）2＝AE2+42，
∴AE＝3；
故答案为：3；
（2）如图2，过点F作GH⊥AD于点G，交BC于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH＝AB＝6，
∴FH+GF＝6，
∵F到边AD，BC距离之比为2：1，
∴GF＝2HF，
∴3HF＝6，
∴HF＝2，
∴GF＝2HF＝4，
由翻折可知：AE＝EF，AB＝BF＝6，
∴BH＝＝＝4，
∴AG＝BH＝4，
∴EG＝AG﹣AE＝4﹣AE，
在Rt△GEF中，根据勾股定理得：
EF2＝EG2+GF2，
∴AE2＝（4﹣AE）2+42，
∴AE＝3，
故答案为：3．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．【解答】解：设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x2﹣4x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，
则﹣5a＝﹣5，则a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣5．
16．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AFB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠AFB＝∠BAF，
∴AB＝BF；
（2）解：由（1）知：AB＝BF，
∵BF＝CF，
∴AB＝BF＝CF＝2，
∵AD∥BC，AD＝5，
∴△EFC∽△EAD，
∴S△EFC：S△EAD＝（）2＝．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
（2）如图，
（3）将x＝0代入y＝x2﹣6x+8得y＝8，
∵抛物线顶点坐标为（3，﹣1），
∴当0＜x＜4时，﹣1≤y＜8，
故答案为：﹣1≤y＜8．
18．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过第一、三象限，
∴k﹣4＞0，
解得：k＞4．
∴k的取值范围是：k＞4．
（2）∵反比例函数图象过第一象限的两点（a+5，y1）（2a+1，y2），且y1＜y2，
∴a+5＞2a+1，
解得：a＜4，
又∵a＞0，
∴a的取值范围是：0＜a＜4．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．【解答】解：（1）由题意，得点A的坐标为（0，15），点C的坐标为（3，0），
将（0，15），（3，0）代入函数关系y＝﹣5x2+mx+n中，
得：，
解得，
∴函数的解析式为：y＝﹣5x2+10x+15；
（2）∵y＝﹣5x2+10x+15＝﹣5（x﹣1）2+20，
∴发射的物体到达最高点B时距地面的高度为20米．
20．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CDE，
∵∠A＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBD，
∴＝，
∴CD2＝BC•CE．
（2）解：∵AB∥CD，CD＝1，BD＝2，AB＝3，
∴△ABE∽△DCE，
∴＝＝，
∴AE＝3DE，
∴AD＝DE+3DE＝4DE，
∵∠A＝∠CBD，∠BDE＝∠ADB，
∴△ABD∽△BED，
∴＝，
∴AD•DE＝BD2＝22＝4，
∴4DE2＝4，
解得DE＝1或DE＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴DE的长是1．
六、解答题（本题满分12分）
21．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，6）在反比例函数的图象上，
∴m＝﹣1×6＝﹣6．
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
∵点B在反比例函数图象上，
∴．
∴a＝1．
∴B（3，﹣2）．
∵点A（﹣1，6），B（3，﹣2）在一次函数 y＝kx+b 的图象上，
∴．
解得．
∴一次函数解析式为y＝﹣2x+4．
（2）由直线y＝﹣2x+4可知C（2，0），
观察图象，不等式的解集是2＜x＜3．
七、解答题（本题满分12分）
22．【解答】（1）证明：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠B+∠BAD，
∴∠ADC＝∠AED，
∵∠ACD＝∠ADE＝90°，
∴△ACD∽△ADE，
∴＝，
∴AD2＝AC•AE．
（2）解：∵EF⊥BC于点F，CD＝2，
∴∠DFE＝∠ACD＝∠ADE＝90°，
∴∠FDE＝∠CAD＝90°﹣∠ADC，
∴△DFE∽△ACD，
∴＝，
∴＝＝，
∴AC＝2CD＝4，
作DG⊥AB于点G，则∠AGD＝∠BGD＝90°，
∵△ACD∽△ADE，
∴∠CAD＝∠EAD，
∴AD平分∠BAC，
∴GD＝CD＝2，
∵AD＝AD，
∴Rt△AGD≌Rt△ACD（HL），
∴AG＝AC＝4，
∵AB•GD＝BD•AC＝S△ABD，
∴×2（4+BG）＝×4BD，
∴BG＝2BD﹣4，
∵BD2＝BG2+GD2，
∴BD2＝（2BD﹣4）2+22，
解得BD＝或BD＝2（不符合题意，舍去），
∴BD的长为．
八、解答题（本题满分14分）
23．【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入解析式得：，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）∵点M的横坐标为t，点P在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，D在直线y＝﹣x+3，
∴P（t，﹣t2+2t+3），D（t，﹣t+3），
∴PD＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∴S△CPB＝PD•OB＝（﹣t2+3t）×3＝﹣（t2﹣3t）＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝时，S△CPB有最大值，最大值为，
∴△CPB面积的最大值为；
（3）①如图所示，当四边形PDEQ为平行四边形时，
∵PM⊥x轴，QF⊥x轴，
∴PD∥EQ，
∵四边形PDEQ为平行四边形，
∴PD＝QE，
∵点Q的横坐标为t+2，点Q在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，E在直线y＝﹣x+3，
∴Q（t+2，﹣t2﹣2t+3），E（t+2，﹣t+1），
∴QE＝﹣t2﹣2t+3﹣（﹣t+1）＝﹣t2﹣2t+3+t﹣1＝﹣t2﹣t+2，
∴﹣t2+3t＝﹣t2﹣t+2，
解得t＝；
②如图所示，当四边形PDQE为平行四边形时，
同①得出QE＝﹣t+1﹣（﹣t2﹣2t+3）＝t2+t﹣2，
∴﹣t2+3t＝t2+t﹣2，
解得t1＝，t2＝，
∵0＜t＜3，
∴t＝．
综上所述，t＝或．