2024-2025学年山东省烟台经济技术开发区(五四制)九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年山东省烟台经济技术开发区(五四制)九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了故选项正确；等内容，欢迎下载使用。
温馨提示：
1．答题前务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．在试卷上和答题卡指定区域答题，注意书写．
一、单选题（共30分，每小题3分）
1. 若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵sinα=cs(90°-α)，
∴=cs(20º+α)，
∵，
∴α=50º-20º=30º，
故选：B．
2. 抛物线的对称轴是（ ）
A. B. x=4
C. D.
【答案】D
【解析】抛物线的对称轴是，故选D．
3. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ）

A. 千米B. 千米C. 千米D. 千米
【答案】A
【解析】由题意得：，∴千米，故选：A
4. 已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】∵二次函数，∴图象的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵二次函数的图象经过点和，且，
∴或，故选：C．
5. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】取格点，连接．根据正方形的性质可得，
由勾股定理得，，
∴．
故选：A．
6. 在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，，
∴，
，
故选：A．
7. 如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵矩形，，，，
∴，，
∴，，∴，∴
过点作，则：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选A．
8. 规定：对于二次函数，我们把它的图象与轴交点的横坐标称为二次函数的零点．已知二次函数只有一个零点且图象开口向下，则该零点是（ ）
A. B. C. 3D. 或3
【答案】A
【解析】二次函数只有一个零点且图象开口向下，
，
解得，
故，
将代入二次函数，得，
令，
解得．
故选A．
9. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．
故选：B．
10. 对称轴为直线的抛物线 （、、b、c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大． 其中结论正确的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】①由图象得：，
∵对称轴为直线，
∴，即，
∴，故①错误；
∵当时，，当时，，
∴，
∴，故②正确；
∵对称轴为直线，当时，，
∴当时，，故③错误；
∵当时，，，
∴，故④正确；
⑤当时，y取到值最小，此时，
当时，，
∴，
∴，
即，故⑤正确；
观察图象得：当时，y随x的增大而减小，故⑥错误；
综上所述：正确的结论有②④⑤；共3个；
故选：A
二、填空题（共18分，每小题3分）
11. 函数y=中，自变量x的取值范围是_____________．
【答案】x≥－3且x≠1
【解析】根据题意得：x+3≥0且x-1≠0，
解得：x≥-3且x≠1．
故答案为：x≥-3且x≠1
12. 计算______．
【答案】
【解析】原式
，
故答案为：．
13. 已知二次函数（为常数），当时，函数有最小值，则的值为______．
【答案】
【解析】∵二次函数，
∴二次函数对称轴为直线，
又∵当时，函数有最小值，
∴当时，时取最小值，即，
解得（舍去），
当时，号时取最小值，即，
解得（不合，舍去），（不合，舍去）；
当时，x=2时取最小值，即，
解得
综上，的值为，
故答案为：．
14. 二次函数的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______________．
【答案】
【解析】方程有实数根，相当于与有交点，
由图象可得：．
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为_______．
【答案】5
【解析】在矩形中，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
16. 已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为______．
【答案】
【解析】∵直线l：与x轴负半轴交于点，
∴点坐标为1,0，
∴，
过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，

∵为等边三角形，
∴
∴，
∴
∴，
当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，解得：，
∴；
而，同理可得：的横坐标为，
∴点的横坐标为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 计算：．
解：原式．
18. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，
∴DC=AD=1．
在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1，
∴．
∴．
∴．
（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=BC=．∴DE=CE﹣CD=．
∴．
19. 两条抛物线，相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线最高点．求抛物线的解析式及点B的坐标．
解：对于抛物线当时，，解得或
点A在x轴的负半轴上，∴点
∵点是抛物线的最高点
∴抛物线的对称轴为，即，解得
把代入得：，解得
则抛物线的解析式为
设点B的坐标为，则，解得或
∵，∴
∴抛物线的解析式为，点B的坐标为；
20. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求线段CE和的长度：
（2）求底座的底面的面积．
解：（1）∵，的长为4米，，
∴，
∴米；
∵，
∴米，
∴米；
（2）过点A作于点M，如图所示：
∵，∴，
∵米，∴米，∴米，
∴底座的底面的面积为：平方米．
21. 公司以10元/千克的价格收购一批产品进行销售，经过市场调查获悉，日销售量y（千克）是销售价格x（元/千克）的一次函数，部分数据如表：
（1）直接写出y与x之间的函数解析式；
（2）求日销售利润为1500元时的销售价格；
（3）若公司每销售1千克产品需另行支出a元的费用，当时，公司的日获利润的最大值为1215元，求a的值．
解：（1）设一次函数解析式为，
则，
解得：，
；
（2）设日销售利润为w元，
则，
当时，，
解得：．
答：日销售利润为1500元时的销售价格为20元/千克；
（3）日获利
，
对称轴为，
，
，
∴当时，
w有最大值为，
解得：（舍去），
综上所述，a的值为2．
22. 如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：1.414，1.732）
解：（1）过B作BG⊥DE于G，
在Rt△ABF中，i=tan∠BAH=，
∴∠BAH=30°
∴BH=AB=5（米）.
答：点B距水平面AE的高度BH为5米.
（2）由（1）得：BH=5，AH=5，
∴BG=AH+AE=5+15.
在Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=5+15.
Rt△ADE中，
∠DAE=60°，AE=15，
∴DE=AE=15.
∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7（米）.
答：宣传牌CD高约27米.
23. 有一个二次函数满足以下三个条件：
①函数图象与轴的交点坐标分别为，Bx2,y2（点在点的右侧）；
②对称轴是；
③该函数有最小值是．
（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；
（2）将该函数图象的部分图象向下翻折（翻折前后的图像关于轴对称）与原图象未翻折的部分组成图象“”，平行于轴的直线与图象“”相交于三点，，，请画出图像“”的函数图象，并结合函数图象直接写出的取值范围和的取值范围．
解：（1）由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：
设二次函数表达式为：．
该图象过
，解得．
表达式为；
（2）如图所示：
由已知条件可知直线与图形“”要有三个交点，
，，应当在直线的下方，且在过顶点且平行于的直线的上方，
，
当直线与轴重合时，有2个交点，由二次函数的轴对称性可求，
．
当直线过的图象顶点时，有2个交点，
由翻折可以得到翻折后的函数图象为
令时，解得或（舍去）
．
综上所述．
24. 已知抛物线与轴交于点，．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值；
（3）如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值．
解：（1）∵抛物线与轴交于点，，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）设，直线为，据题意得，
，解得，
∴，
联立得，
解得或，
∴，
设，直线为，据题意得，
，解得，
∴，
联立得，
解得或，
∴，
，
，
∴；
（3）设直线为，由得，
∴，
∴，
设，，
联立直线与抛物线，
得，
，
根据根与系数的关系可得：，，
作点关于直线的对称点，连接，

由题意得直线，则，
∴，
过点作于F，则．
则，，
在中，
，
即当时，，此时，
故的最小值为．
活动主题
测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具
皮尺、测角仪、计算器等
活动过程
模型抽象
某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：
测绘过程与数据信息
①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；
②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米；
③在点F处用测角仪测得，，；
④用计算器计算得：，，．，，．
销售价格x（元/千克）
10
15
20
25
30
日销售量y（千克）
300
225
150
75
0