2025届甘肃省靖远县高三第一次全县联考数学试卷(解析版)

这是一份2025届甘肃省靖远县高三第一次全县联考数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了 已知集合，则， 椭圆的离心率为， 位于某海域处的甲船获悉， 已知函数在0,+∞上单调递增等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，则.
故选：A.
2. 椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由椭圆，
可得：，
所以离心率为.
故选：C
3. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D.
4. 2014年1月至9月全国城镇调查失业率依次为，则（ ）
A. 这组数据的众数为
B. 这组数据的极差为
C. 这组数据的分位数为
D. 这组数据的平均数大于
【答案】D
【解析】由题意得这组数据的众数为和，极差为，A，B错误.
因为，所以这组样本数据的分位数为，C错误.
这组数据的平均数为，D正确.
故选：D
5. 位于某海域处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东且与甲船相距30海里的处的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，由题可知.
中，由余弦定理可得海里，所以乙船至少需要航行的海里数为.
故选：A.
6. 箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线y=fx的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，排除A.
既不是奇函数，也不是偶函数，排除D.
在上单调递减，排除C.
的图象符合题中图象，B正确.
故选：B
7. 已知函数在0,+∞上单调递增.则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得对恒成立.
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即.
因此可得的最小值为.
故选：C
8. 在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于两两垂直,将该三棱柱放入正方体中，如图：
故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，
故该三棱锥外接球的半径为.
由，得
由于平面，所以该三棱锥的体积为.
故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A.
B.
C. 与的图像关于直线对称
D. 与的图像在上有公共点
【答案】BC
【解析】对AB，由题意得，
则，A错误，B正确.
对C，由题可得，C正确.
对D，当时，，则，D错误.
故选：BC
10. 已知分别是等轴双曲线的左､右焦点，以坐标原点为圆心，的焦距为直径的圆与交于四点，则（ ）
A. 的渐近线方程为
B.
C.
D. 四边形的面积为
【答案】ABD
【解析】由题意得，则的渐近线方程为，A正确.
设在第一象限，易得，
将两边平方，
得，
则，，B正确，C错误.设，由，得，
则矩形的面积为，D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且，当时，，则（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 在上单调递增
C. 是的一个极小值点
D.
【答案】ACD
【解析】由，得，所以的图象关于直线对称，A正确.
当时，令，则
因为，所以.
由，得，所以，
即，则.
令，得或（舍去，
当时，，单调递减，
当时，单调递增，B错误.
因为的图象关于直线对称，
所以的一个极小值点为，C正确.
因为，所以，D正确.
故选：ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 复数的实部与虚部之和为__________.
【答案】5
【解析】由题意得，所以复数的实部与虚部之和为5.
故答案为：5
13. 《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为__________.
【答案】120
【解析】由题意得购买一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的钱数依次成等差数列，
设该数列为，公差为，
则一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的价格依次为，
由题意得解得
故甲花费的钱数为.
故答案为：120.
14. 在平面图形中，与某点连接的线段的数量，称为该点的度数.在平面内有共7个点（任意三点均不共线），若将这7个点用21条线段两两相连，则的度数为__________；若将这7个点用17条线段两两相连，且这7个点的度数均大于2，则不同的图形的数量为__________.
【答案】6 5880
【解析】如图，将这7个点均用线段两两相连，有条线段，每个点的度数均为6.
若将这7个点用17条线段两两相连，则需要在21条线段的基础上删除4条线段.因为这7个点的度数均大于2，则与每个点连接的线段最多删掉3条，
所以不同的图形的数量为.
故答案为：6；5880.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知直线与关于抛物线的准线对称.
（1）求的方程；
（2）若过的焦点的直线与交于两点，且，求的斜率.
解：（1）由题意得的准线方程为.
由，得，
所以的方程为.
（2）易得的斜率存在，的焦点为.
设，
联立得，得
则
得，即的斜率为.
16. 某导弹试验基地对新研制的两种导弹进行试验，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为.
（1）若一枚导弹击中一个空中目标，且一枚导弹击中一个地面目标的概率为，一枚导弹击中一个地面目标，且一枚导弹击中一个空中目标的概率为，比较的大小；
（2）现有两枚A导弹，一枚导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标（每枚导弹各射击一个目标），请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目标的个数的分布列和期望.
解：（1）由题意得，，所以.
（2）因为，所以安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标.
设导弹击中目标的个数为，则，
，
，
，
，
的分布列为
所以.
17. 如图，在四棱台中，底面和均为正方形，平面平面为线段上一点.
（1）若为线段的中点，证明：平面平面.
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求.
（1）证明：是正方形，.
平面平面平面.
平面平面，平面平面，平面平面.
由题意得为的中点，，
四边形平行四边形，
平面平面平面
平面平面
（2）解：分别取的中点，连接.易证.
平面平面，平面平面
平面.
设为2个单位长度，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.设，
得.
设平面的法向量为n=x,y,z，
则,
取，得，则.
由直线与平面所成角的正弦值为
，
解得.所以又因为,
所以,
故.
18. 已知函数.
（1）若曲线在处的切线的斜率为3，求.
（2）已知恰有两个零点.
①求的取值范围；
②证明：.
解：（1）由题意得.
因为曲线y=fx在处的切线的斜率为3，
所以，得.
（2）①法一：解：令，得.令，则.
当x∈0,1时，单调递增；
当x∈1,+∞时，单调递减.故.
当趋近正无穷时，趋近，又，
所以，即的取值范围为0,1.
法二：由题意得.
若，则单调递减，所以在0,+∞上不可能有两个零点.
若，则当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，得.
当趋近时，趋近正无穷；当趋近正无穷时，趋近正无穷；.
故的取值范围为0,1.
②证明：由①可得，则
两式相加得.
由，得.
要证，只需证.
设，则.
当x∈0,1时，单调递减，
当x∈1,+∞时，单调递增，则，即.
因为，所以，即.
又，所以，所以，
从而得证.
19. 设A为一个非空的二元有序数组的集合，集合为非空数集.若按照某种确定的对应关系，使得A中任意一个元素，在中都有唯一确定的实数与之对应，则称对应关系为定义在A上的二元函数，记作.已知二元函数满足，且.
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）已知数列满足，数列的前项和为，证明：.
（1）解：在中，
令，则，得；
在中，
令，则，得.
（2）解：因为，
则，
可得，即（也成立）.
因为，
则，
可得，即也成立）.
（3）证明：由（2）知，则，得.
所以，
因为，
且
，
可得
.
由x∈0,π，得，则，
则
，
即，且x∈0,π，得，
所以.0
1
2
3