甘肃省靖远县2025届高三第一次全县联考数学试题

这是一份甘肃省靖远县2025届高三第一次全县联考数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3． （ ）
A．B．C．D．
4．2014年1月至9月全国城镇调查失业率依次为，则（ ）
A．这组数据的众数为
B．这组数据的极差为
C．这组数据的分位数为
D．这组数据的平均数大于
5．位于某海域处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东且与甲船相距30海里的处的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为（ ）
A．B．C．D．
6．箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线y=fx的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数在0,+∞上单调递增.则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．
B．
C．与的图像关于直线对称
D．与的图像在上有公共点
10．已知分别是等轴双曲线的左､右焦点，以坐标原点为圆心，的焦距为直径的圆与交于四点，则（ ）
A．的渐近线方程为
B．
C．
D．四边形的面积为
11．已知函数的定义域为，其导函数为，且，当时，，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．在上单调递增
C．是的一个极小值点
D．
三、填空题
12．复数的实部与虚部之和为 .
13．《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 .
14．在平面图形中，与某点连接的线段的数量，称为该点的度数.在平面内有共7个点（任意三点均不共线），若将这7个点用21条线段两两相连，则的度数为 ；若将这7个点用17条线段两两相连，且这7个点的度数均大于2，则不同的图形的数量为 .
四、解答题
15．已知直线与关于抛物线的准线对称.
(1)求的方程；
(2)若过的焦点的直线与交于两点，且，求的斜率.
16．某导弹试验基地对新研制的两种导弹进行试验，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为.
(1)若一枚导弹击中一个空中目标，且一枚导弹击中一个地面目标的概率为，一枚导弹击中一个地面目标，且一枚导弹击中一个空中目标的概率为，比较的大小；
(2)现有两枚A导弹，一枚导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标（每枚导弹各射击一个目标），请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目标的个数的分布列和期望.
17．如图，在四棱台中，底面和均为正方形，平面平面为线段上一点.
(1)若为线段的中点，证明：平面平面.
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求.
18．已知函数.
(1)若曲线在处的切线的斜率为3，求.
(2)已知恰有两个零点.
①求的取值范围；
②证明：.
19．设A为一个非空的二元有序数组的集合，集合为非空数集.若按照某种确定的对应关系，使得A中任意一个元素，在中都有唯一确定的实数与之对应，则称对应关系为定义在A上的二元函数，记作.已知二元函数满足，且.
(1)求的值；
(2)求的解析式；
(3)已知数列满足，数列的前项和为，证明：.
参考答案：
1．A
【分析】由一元二次不等式求出集合，再求并集即可；
【详解】由题意得，则.
故选：A.
2．C
【分析】确定即可求解.
【详解】由椭圆，
可得：，
所以离心率为.
故选：C
3．D
【分析】由向量的线性运算求出即可；
【详解】.
故选：D.
4．D
【分析】由众数､极差､百分位数和平均数计算公式即可求解.
【详解】由题意得这组数据的众数为和，极差为，A，B错误.
因为，所以这组样本数据的分位数为，C错误.
这组数据的平均数为，D正确.
故选：D
5．A
【分析】由余弦定理求解即可；
【详解】如图，由题可知.
在中，由余弦定理可得海里，
所以乙船至少需要航行的海里数为.
故选：A.
6．B
【分析】利用排除法，结合奇偶性，单调性逐个判断即可.
【详解】，排除A.
既不是奇函数，也不是偶函数，排除D.
在上单调递减，排除C.
的图象符合题中图象，B正确.
故选：B
7．C
【分析】求导并根据函数的单调性与基本不等式求得最值，即可得出结果.
【详解】由题意得对恒成立.
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即.
因此可得的最小值为.
故选：C
8．B
【分析】将该三棱柱放入正方体中，借助正方体的外接球求解长度，即可根据体积公式求解.
【详解】由于两两垂直,将该三棱柱放入正方体中，如图：
故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，
故该三棱锥外接球的半径为.
由，得.
由于平面，所以该三棱锥的体积为.
故选：B
9．BC
【分析】由三角函数图像的平移变换可得函数的解析式，代入计算即可判断AB，由函数对称性的定义即可判断C，由函数的值域即可判断D.
【详解】对AB，由题意得，
则，A错误，B正确.
对C，由题可得，C正确.
对D，当时，，则，D错误.
故选：BC
10．ABD
【分析】由可求出的渐近线方程可判断A；由双曲线的定义结合，解方程求出，可判断B，C；，矩形的面积为，可判断D.
【详解】由题意得，则的渐近线方程为，A正确.
设在第一象限，易得，
将两边平方，
得，
则，，B正确，C错误.
设，由，得，
则矩形的面积为，D正确.
故选：ABD.
11．ACD
【分析】根据已知条件可知的图象关于直线对称，构造函数并求导得出函数单调性可得B错误，再由对称性计算可得C正确，利用单调性可判断不等式正确.
【详解】由，得，所以的图象关于直线对称，A正确.
当时，令，则.
因为，所以.
由，得，所以，
即，则.
令，得或（舍去，
当时，，单调递减，
当时，单调递增，B错误.
因为的图象关于直线对称，所以的一个极小值点为，C正确.
因为，所以，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据已知条件构造函数并求导得出函数单调性，再利用极值点定义可判断得出结论.
12．5
【分析】根据复数模长可得，即可根据虚部和实部定义求解.
【详解】由题意得，所以复数的实部与虚部之和为5.
故答案为：5
13．120
【分析】根据题意一只鸡、一只狗､一只羊､一头驴的价格依次为，列出关于和的方程组，解出即可求出甲花费的钱数.
【详解】由题意得购买一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的钱数依次成等差数列，
设该数列为，公差为，
则一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的价格依次为，
由题意得解得
故甲花费的钱数为.
故答案为：120.
14． 6 5880
【分析】通过新定义，结合组合数即可求解.
【详解】如图，将这7个点均用线段两两相连，有条线段，每个点的度数均为6.
若将这7个点用17条线段两两相连，则需要在21条线段的基础上删除4条线段.因为这7个点的度数均大于2，则与每个点连接的线段最多删掉3条，
所以不同的图形的数量为.
故答案为：6；5880.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由对称关系求出准线方程，可得抛物线方程；
（2）设，直曲联立，表示出韦达定理，再由抛物线的焦点弦公式求解即可；
【详解】（1）由题意得的准线方程为.
由，得，
所以的方程为.
（2）
易得的斜率存在，的焦点为.
设，
联立得，
得
则
得，即的斜率为.
16．(1)
(2)安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标，分布列见解析，
【分析】（1）根据条件，利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解；
（2）设导弹击中目标的个数为，根据题意，利用相互独立重复事件公式，即可求出分步列，再利用期望公式，即可求解.
【详解】（1）由题意得，，所以.
（2）因为，所以安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标.
设导弹击中目标的个数为，则，
，
，
，
，
的分布列为
所以.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明即可得出结论；
（2）建立空间直角坐标系利用线面角的向量求法得出直线与平面所成角的正弦值的表达式，解方程计算即可得出结果.
【详解】（1）证明：是正方形，.
平面平面平面.
平面平面，平面平面，平面平面.
由题意得为的中点，，
四边形为平行四边形，
平面平面平面
平面平面
（2）分别取的中点，连接.易证.
平面平面，平面平面
平面.
设为2个单位长度，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.设，
得.
设平面的法向量为n=x,y,z，
则,
取，得，则.
由直线与平面所成角的正弦值为
，
解得.所以又因为,
所以,
故.
18．(1)
(2)①，②证明见解析
【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；
（2）①法一：令，得，将题意转化为的图象有两个交点，令，求出的单调性和值域，即可得出答案；法二：对求导，求出的单调性和值域，使得，即可得出答案.
②将题意转化为证明，设，证得可得，又，即可证明.
【详解】（1）解：由题意得.
因为曲线y=fx在处的切线的斜率为3，
所以，得.
（2）①法一：解：令，得.令，则.
当x∈0,1时，单调递增；
当x∈1,+∞时，单调递减.故.
当趋近正无穷时，趋近，又，
所以，即的取值范围为0,1.
法二：由题意得.
若，则单调递减，所以在0,+∞上不可能有两个零点.
若，则当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，得.
当趋近时，趋近正无穷；当趋近正无穷时，趋近正无穷；.
故的取值范围为0,1.
②证明：由①可得，则
两式相加得.
由，得.
要证，只需证.
设，则.
当x∈0,1时，单调递减，
当x∈1,+∞时，单调递增，则，即.
因为，所以，即.
又，所以，所以，
从而得证.
【点睛】关键点睛：利用导数证明不不等式，常用方法有如下几种：
方法一：等价转化是证明不等式成立的常见方法，其中利用函数的对称性定义，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略；
方法二：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可，例如对数平均不等式的证明；
方法三：利用不等式的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立，本题欲证的关键在于对不等式作等价转换；因为，转换为：不等式的证明.
19．(1)，
(2)也成立）.
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意赋值即可得解；
（2）由利用累积法可得，再由利用累积法运算求解；
（3）由（2）可得，对于利用积化和差公式整理，并结合正弦函数分析证明.
【详解】（1）在中，
令，则，得；
在中，
令，则，得.
（2）因为，
则，
可得，即（也成立）.
因为，
则，
可得，即也成立）.
（3）由（2）知，则，得.
所以，
因为，
且，
可得
.
由x∈0,π，得，则，
则
，
即，且x∈0,π，得，
所以.
【点睛】关键点点睛：对于，利用积化和差公式整理可得，进而结合分析证明.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
D
A
B
C
B
BC
ABD
题号
11









答案
ACD









0
1
2
3