湖南省2023_2024学年高三数学上学期10月大联考试卷

这是一份湖南省2023_2024学年高三数学上学期10月大联考试卷，共8页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则（）
A. 3B. 5C. 9D. 25
3. 已知向量，满足，．若，则下列各式一定成立的是（）
A. B. C. D.
4. 已知正实数，，满足，则的最小值为（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
5. 在平面外有两条直线和，设和在平面内的射影分别是直线和，则下列结论正确的是（）
A. 是的充分条件
B. 是的必要条件
C. 与相交是与相交或重合的充分条件
D. 与平行或重合是与平行的必要条件
6. 已知数列满足，，则下列结论正确的是（）
A. 数列为单调递增数列B. 数列为单调递减数列
C. D.
7. 在平面直角坐标系中，已知点，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，若曲线上存在两点，，使得，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若函数值域与的值域相同，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在四棱锥中，底面为正方形，侧棱垂直于底面，且，则（）
A. 直线与所成角为B. 直线与所成角为
C. 直线与平面所成角为D. 平面与平面夹角的正切值为
10. 已知点，，且，设，为坐标原点，则下列结论一定正确的是（）
A. B.
C. 当时，D. 当时，
11. 已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且，，则双曲线的离心率可以为（）
A. B. C. 2D.
12. 已知函数的导函数为，则（）
A. 无最小值B. 无最小值
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中系数最大的项的系数为________．
14. 小明准备用9万元投资两种股票，已知这两种股票的收益独立，且这两种股票的买入价都是每股1元，每股收益的分布列如下表所示．若投资种股票万元，则小明两种股票的收益期望和为________万元．
股票每股收益的分布列
股票每股收益分布列
15. 已知，函数与的图象在上恰有两个交点，则的值为________．
16. 如下表格给出了一个“等差数阵”，其中每行、每列的数都构成等差数列，表示位于第行、第列的数．
表格中的值为________，2023在该数阵中共出现________次．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17. 影响一个城市消费水平的原因有很多，其中一个重要的指标就是该城市的月平均工资.2022年“双十一”已经过去，某机构借助国内几个主要的网购交易平台，统计了部分城市“双十一”当天的人均交易额（单位：百元）如下表：
通过查阅人社局的报告，我们得到了上述七个城市的2022年的月平均工资（单位：百元）如下表：
（1）从散点图可以发现，月平均工资与双十一交易额之间大致成正相关关系，即月平均工资越高，双十一当天的人均交易额越高，请求出人均交易额（百元）与月平均工资（百元）的经验回归方程（保留小数点后两位有效数字）；
（2）若长沙市2023年的月平均工资为62百元，请预测长沙市在今年双十一中的人均交易额．
附：参考公式：，．
参考数据：，，，．
18. 如图所示，四边形是圆台轴截面，是上底面圆周上异于，的一点，圆台的高，．
（1）证明：是直角三角形；
（2）是否存在点使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
19. 如图，的内角，，的对边分别为，，．若．
（1）求角的大小；
（2）若是线段上的点，，，求的最大值．
20. 设数列满足，，．
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，其前项和为，数列满足，其前项积为，求证：．
21. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为，定点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆分别交于点（不在直线上），若直线，与椭圆分别交于点，，且直线过定点，问直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
22. 已知函数．
（1）讨论函数的零点个数；
（2）若且函数有两个零点，，证明：．
三湘名校教育联盟、湖湘名校教育联合体
2024届高三10月大联考
数学
本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】AD
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】AB
【12题答案】
【答案】AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
【13题答案】
【答案】1792
【14题答案】
【答案】10.8
【15题答案】
【答案】##1.5
【16题答案】
【答案】 ①. 37 ②. 6
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
【17题答案】
【答案】（1）
（2）3.58百元
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析
【19题答案】
【答案】（1）；
（2）8.
【20题答案】
【答案】（1），
（2）证明见解析
【21题答案】
【答案】（1）
（2）直线的斜率为定值1
【22题答案】
【答案】（1）答案见解析收益/元
0
3
概率
0.3
0.2
0.5
收益/元
0.6
概率
0.4
4
10
13
（）
（）
…
…
13
18
（）
（）
…
…
（）
（）
（）
（）
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
城市
北京
上海
深圳
广州
宁波
厦门
苏州
人均交易额
5.3
5.9
5.1
46
3.8
4.3
39
城市
北京
上海
深圳
广州
宁波
厦门
苏州
月平均工资
92
88
82
75
73
69
67