湖南省2023_2024学年高三上学期10月联考数学试卷

这是一份湖南省2023_2024学年高三上学期10月联考数学试卷，共13页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，设，，且，则，已知函数，则，若正项数列是等差数列，且，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：小题考查集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、数列、平面向量，大题考查高考范围．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题，，则p的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．定义集合．已知集合，，则的元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知函数的图象在处的切线的斜率为，则（ ）
A．的最小值为6 B．的最大值为6
C．的最小值为4 D．的最大值为4
4．已知某公司第1年的销售额为a万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的1.2倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（参考数据：取）
A．万元 B．万元 C．万元 D．万元
5．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．设，，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，，则“曲线关于直线对称”是“曲线关于直线对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，激发学生对数学的兴趣．如图，在菱形ABCD中，，，以菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆，P是四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A．5/2 B．3 C．5 D．3/2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．的最小值为1 B．，
C． D．
10．若正项数列是等差数列，且，则（ ）
A．当时， B．的取值范围是
C．当为整数时，的最大值为29 D．公差d的取值范围是
11．若函数的定义域为D，对于任意，都存在唯一的，使得，则称为“A函数”，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是“A函数”
B．已知函数，的定义域相同，若是“A函数”，则也是“A函数”
C．已知，都是“A函数”，且定义域相同，则也是“A函数”
D．已知，若，是“A函数”，则
12．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A．
B．，函数有极值
C．
D．，函数为单调函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设向量在向量上的投影向量为，则________．
14．若，，则________．
15．若关于x的不等式的解集恰有50个整数元素，则a的取值范围是________，这50个整数元素之和为________．
16．如图，已知平面五边形ABCDE的周长为12，若四边形ABDE为正方形，且，则当的面积取得最大值时，________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长．
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，E，F，M分别是PB，CD，PD的中点．
（1）证明：平面PAD．
（2）求平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值．
19．（12分）已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
20．（12分）某商场在6月20日开展开业酬宾活动．顾客凭购物小票从6~20这15个号码中依次不放回地抽取2个号码，第1个号码为a，第2个号码为b．设X是不超过的最大整数，顾客将获得购物金额X倍的商场代金券（若，则没有代金券），代金券可以在活动结束后使用．
（1）已知某顾客抽到的a是偶数，求该顾客能获得代金券的概率；
（2）求X的数学期望．
21．（12分）以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点，．
（1）求椭圆的方程．
（2）设P是椭圆上一点（异于C，D），直线PC，PD与x轴分别交于M，N两点，证明在x轴上存在两点A，B，使得是定值，并求此定值．
22．（12分）已知函数有两个零点，．
（1）求a的取值范围；
（2）证明：．
高三数学试卷参考答案
1．A p的否定是，．
2．B 因为，，所以，故的元素的个数为4．
3．C ，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4．
4．D 设第年的销售额为万元，依题意可得数列是首项为a，公比为1.2的等比数列，则该公司从第1年到第11年的销售总额为万元．
5．C 因为是奇函数，所以，则．又是偶函数，所以，所以．
6．A 因为，所以，所以，即．又，，所以，即或，即（舍去）．
7．A 令，得，所以曲线关于直线对称．令，得，所以曲线关于直线对称．因为真包含于，所以“曲线关于直线对称”是“曲线关于直线对称”的充分不必要条件．
8．A 如图，设，，设P是直线EF上一点，令，则，．因为P是四个半圆弧上的一动点，所以当EF与图形下面半圆相切时，取得最大值．设线段AB的中点为M，线段AC的中点为，连接MP，连接并延长使之与EF交于点，过M作，垂足为N．因为，，所以，，则．
由，得，故的最大值为．
9．ACD ，A正确．因为当且仅当时，取得最小值，且最小值为1，所以，所以，B错误．因为，所以，又，且在上单调递减，在上单调递增，所以，C正确．
因为，所以，所以，D正确．
10．ABC 当时，公差，，A正确．因为是正项等差数列，所以，且，所以公差d的取值范围是，D错误．因为，所以的取值范围是，B正确．，当为整数时，的最大值为29，C正确．
11．BD 对于选项A，当时，，此时不存在，使得．A不正确．对于选项B，由，的定义域相同，若是“A函数”，则对于任意，都存在唯一的，使得，则对于任意，都存在唯一的，使得，所以也是“A函数”．B正确．对于选项C，不妨取，，，令，则，故不是“A函数”．C不正确．对于选项D，因为，，是“A函数”，所以在上恒成立．又，所以，且，即对于任意，都存在唯一的，使得，因为，所以，由，解得．D正确．
12．AD 设函数，
则，
所以在上单调递减，B错误，D正确．
从而，即，因为，所以，，所以，C错误，A正确．
光速解法：取，满足且，则，，函数为单调函数．
13．1 向量在向量上的投影向量为，则，解得．
14． 因为，所以，所以，
因为，，所以，，
所以．
15．；或1625 不等式等价于不等式．当时，的解集为，不合题意；
当时，的解集为，则50个整数解为，，…，5，6，所以，这50个整数元素之和为；
当时，的解集为，则50个整数解为8，9，…，56，57，所以，这50个整数元素之和为．
综上，a的取值范围是，这50个整数元素之和为或1625．
16． 过点C作，垂足为F．设，则，因为，所以，则．由，，得．在中，．记的面积为S，则．设函数，则，令，得或．当时，；当时，．故当时，取得最大值，则S取得最大值，此时．
17．解：（1）因为，所以． 2分
又，所以． 3分
因为，所以． 4分
又，所以，． 5分
（2）的面积，则． 7分
由，得， 9分
所以，故的周长为． 10分
18．（1）证明：取PA的中点N，连接EN，DN，因为E是PB的中点，所以，．1分
又底面ABCD为正方形，F是CD的中点，所以，，所以四边形ENDF为平行四边形，所以． 3分
因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD． 4分
（2）解：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，，． 5分
从而，，． 6分
设平面AMF的法向量为，则，令，得． 8分
设平面EMF的法向量为，则，令，得． 10分． 11分
故平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值为． 12分
19．解：（1）当时，． 1分
当时，， 3分
即， 4分
当时，上式也成立，
所以． 5分
当时，也符合，所以． 6分
（2）由（1）知． 7分
， 8分
， 9分
则， 11分
所以． 12分
20．解：（1）当时，该顾客能获得代金券．设“a是偶数”为事件A，，“”为事件B，则， 2分
， 3分
所以，所以当顾客抽到的a是偶数时，该顾客能获得代金券的概率为． 4分
（2）X可能的取值为0，1，2，3．
当时，，则． 5分
当时，，若，则．对每一个a，b有种不同的取值，则共有种可能的取值． 6分
若，对每一个a，b有种不同的取值，则共有种可能的取值，所以． 7分
当时，．
若，则．对每一个a，b有种不同的取值，则共有种情况．
若，则，共有6种可能的取值．所以． 9分
当时，，只有，，这3种情况，所以． 10分
所以． 12分
21．（1）解：设椭圆方程为， 1分
则，解得， 3分
所以椭圆的方程为． 4分
注：若直接设得到，扣1分．
（2）证明：设，，，
直线，令，得． 5分
直线．令，得． 6分
． 8分
令，
令，，得，， 10分
则．
故存在和，使得是定值，且定值为． 12分
22．（1）解：令，得，则． 2分
令函数，则，
因为在上单调递增，所以，即． 3分
令函数，则，则在上单调递减，在上单调递增，所以． 4分
因为当时，，当时，， 5分
依题意可得方程有两个不相等的正根，所以，即a的取值范围是． 6分
（2）证明：令函数，则，
所以在上单调递减． 7分
因为，所以当时，；当时，． 8分
不妨假设，则由（1）知，所以，，
所以，则， 9分，则， 10分
所以， 11分
因为，所以． 12分