河南省洛阳市老城区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试卷

这是一份河南省洛阳市老城区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程经过配方变形为，则k的值是（ ）
A．B．C．1D．7
3．将抛物线向下平移3个单位，再向右平移3个单位后的解析式为（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，，，点C的坐标为，经过变换得到，且点E在y轴上，这种变换可以是（ ）
A．绕点C顺时针旋转，再向下平移3个单位长度
B．绕点C逆时针旋转，再向下平移3个单位长度
C．绕点C顺时针旋转，再向下平移1个单位长度
D．绕点C逆时针旋转，再向下平移1个单位长度
5．已知m是关于x的方程的一个根，则（ ）
A．5B．8C．D．6
6．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边的长为，则下列所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点）则下列说法正确的是（ ）
A．小球滑行6秒停止B．小球滑行12秒停止
C．小球滑行6秒回到起点D．小球滑行12秒回到起点
8．已知点，，都在二次函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，，．将绕点C旋转至，使，交边于点D，则的长是（ ）
A．4B．C．6D．5
10．如图1，在菱形中，，点E是边的中点，点P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共5小题，共15分．
11．第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角α可以为________度．（写出一个即可）
12．已知点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标为________．
13．如图，抛物线与直线的两个交点为，，则关于x的方程的解为________．
14．抛物线，当时，函数y的取值范围是________．
15．如图所示，在中，，，，点P、Q分别为、上两点，且，将绕点C在平面内旋转，连接、．当时，的长为________．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．解方程．（本小题8分）
（1）；（2）．
17．（本小题9分）
如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出．
（2）作出关于坐标原点O成中心对称的．
（3）判断是否可由绕某点M旋转得到；若是，请画出旋转中心M，并直接写出旋转中心M的坐标．
18．（本小题9分）
已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程的两个根分别为、，且满足，求实数m的值．
19．（本小题9分）
已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有一动点P，且P在x轴上方，要使的面积为6，求P点坐标．
20．（本小题10分）
如图，在中，，D、E是斜边上的两点，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．（本小题9分）
洛阳龙门石窟景区商店在2024年暑假期间销售一款纪念品，每件成本价为10元．根据经验，在旅游旺季，当每件定价24元时，平均每天可销售200件，若每件定价每降低1元，则平均每天可多销售20件．店家决定进行降价促销活动．
（1）为尽快减少库存，当每件定价为多少元时，每天可获利2700元？
（2）当每件定价为多少元时，每天可获利最多，最大利润是多少元？
22．（本小题10分）阅读材料，并解决问题．
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以：为例，构造方法如下：
首先将方程变形为：，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是________．（从序号①②③中选择）
【类比迁移】小颖根据以上解法解方程：，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为，即x（________）；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程________，解得原方程的一个根为________；
【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．
已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数________，________，求得方程的正根为________．
23．（本小题11分）我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
（1）如图1，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形________（选择“是”或“不是”）等补四边形．
（2）如图2，等补四边形中，，，若，求的长．
（3）如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值．
2024—2025学年老城区九上期中数学试卷（11月）
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1-5 BCDAB6-10 CACDB
9．如图，在中，，，．将绕点C旋转至，使，交边于点D，则的长是（ ）
A．4B．C．6D．5
【解答】解：将绕点C旋转至，
，，，
，
，
，
，
，
而，
，
，
．
故选：D．
10．如图1，在菱形中，，点E是边的中点，点P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在菱形中，，
点E是边的中点，
易证，
、C关于对称，
，
，
当A、P、E共线时，的值最小，即的长．
观察图象可知，当点P与B重合时，，
，，
在中，，
的最小值为，
点H的纵坐标，
，
，
，
，
点H的横坐标，
；
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．答案不唯一，60的倍数即可
12．
13．，
14．
15．如图所示，在中，，，点P、Q分别为、上两点，且，将绕点C在平面内旋转，连接、．当时，的长为2或．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点，
点在以点C圆心，为半径的圆上，
当时，存在两种情况，
当点P在线段上时，；
当点P与延长线上时，连接，如图，
过点B作于点H，则，，
，
，
综上，的长为2或．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）解方程
（1）；（2）；
解：（1）方程变形得：，
可得或，
解得：，；
（2）方程变形得：，
分解因式得：，
解得：，；
17．（9分）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出．
（2）作出关于坐标原点O成中心对称的．
（3）判断是否可由绕某点M旋转得到；若是，请画出旋转中心M，并直接写出旋转中心M的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，即为所求．
（2）如图所示，即为所求．
（3）如图所示，可由绕点M，顺时针旋转得到，其中点M坐标为．
18．（9分）已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程的两个根分别为、，且满足，求实数m的值．
【解答】解：（1）方程：有实数根，
，
解得：．
（2）方程的两个根分别为、，
，，
，
，即，
解得：，（舍去），
实数m的值为2．
19．（9分）已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有一动点P，且点P在x轴上方，要使三角形的面积为6，求P点坐标．
【变式】若抛物线上有一动点P，要使三角形的面积为6，求P点坐标．
【解答】解：（1）将，代入得，
解得，
．
（2）点P坐标为或
【变式】，
抛物线对称轴为直线，
点A坐标为，
点B坐标为，
，
三角形的面积为6，
，
，
把代入得，
解得或，
把代入得，
解得或，
点P坐标为或或或．
20．（10分）如图，在中，，D、E是斜边上的两点，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【解答】证明：（1），
，
，
将绕点A顺时针旋转，得到，
，，，
，
，
，，，
，
（2），，
，
，
，，即，
，
，
，
，
21．（9分）洛阳龙门石窟商店在2024年暑假期间销售一款纪念品，每件成本价为10元．根据经验，在旅游旺季，当每件定价24元时，平均每天可销售200件，若每件定价每降低1元，则平均每天可多销售20件．店家决定进行降价促销活动．
（1）为尽快减少库存，当每件定价为多少元时，每天可获利2700元？
（2）当每件定价为多少元时，每天可获利最多，最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设每件定价为x元，每天可获利2700元，
由题意得：，整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：为尽快减少库存，每件定价为19元时，每天可获利2700元；
（2）设每件定价为x元时，每天可获利y元，
由题意得：，
，当时，y有最大值，
答：当每件定价为22元时，每天可获利最多，最大利润是2880元．
22．（10分）阅读材料，并解决问题．
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：
首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．
遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是②．（从序号①②③中选择）
【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为，即；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为；
【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数（，，求得方程的正根为1或3．
【解答】解：【理解应用】，
，
很容易观察出构图是②，
故答案为：②；
【类比迁移】，
第一步：将原方程变为，即；
第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：；
解得原方程的一个根为；
故答案为：，，；
【拓展应用】，
，
，
四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，
图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，
，，
解得：，，
当时，，，，方程的一个正根为1；
当时，，，，方程的一个正根为3；
综上所述，方程的一个正根为1或3，
故答案为：，3，1或3．
23．（11分）我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
（1）如图1，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形是（选择是或不是）等补四边形．
（2）如图2，等补四边形中，，，若，求的长．
（3）如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值．
解：（1）由旋转得：，，
，
，
四边形是等补四边形．
故答案为：是；
（2）如图2，，，
将绕点B顺时针旋转得，
，，，
，
，
，
，
、C、G三点共线，
，
，
，
（负值舍去）；
（3），
将绕点B逆时针旋转的大小，
得，如图3，
，，，
，
，
、D、E三点共线，
，
当时，的面积最大，．
四边形面积的最大值为8．