吉林省白城市部分学校2024-2025学年九年级上学期第三次月考试数学试卷

这是一份吉林省白城市部分学校2024-2025学年九年级上学期第三次月考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题2分，共12分）
1.下列事件是必然事件的是（ ）
A.在一个三角形中，任意两边之和大于第三边
B.打开电视机正在播放广告
C.任意一个一元二次方程都有两个实数根
D.明年元旦是晴天
2.抛物线的顶点坐标为（ ）
A.B.C.D.
3.已知的半径为5，点在外，则的长可能是（ ）
A.2B.6C.5D.4
4.若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A.B.0C.2D.4
5.如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为（ ）
A.110°B.70°C.140°D.160°
6.如图，在中，，，.将绕点旋转至的位置，使，交边于点，则的长是（ ）
A.4B.C.5D.6
二、填空题（每小题3分，共24分）
7.若是关于的二次函数，则的值是___________.
8.一个袋中有50个除颜色外其余均相同的小球，通过多次摸球试验发现搏出一个红球的频率稳定在0.4，则估计袋中红球的个数为___________.
9.如图，已知点，将线段绕点按顺时针方向旋转90°，旋转后点的对应点的坐标为_________.
10.如图是某摄影爱好者拍摄的一张长为，宽为的长岗坡渡槽风景照，现要在风景照四周镶一条等宽的边，制成一幅矩形挂图.若使整个挂图的面积是，设风景照四周所镶边的宽为，则所列方程是_________.
11.如图，半径为5的与轴交于点、，则点的坐标为_________.
12.如图，将绕点逆时针旋转两次得到，每次旋转的角度都是60°.若，则_________.
13.如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为斜边作，边上的中线的最小值为________.
14.如图，与正八边形相切于点、，若的半径为7，则的长为__________（结果保留）.
三、解答题（每小题5分，共20分）
15.解方程：.
16.如图，的弦、相交于点，且，求证：.
17.某省运动会如期举行，其中第二个比赛日包含排球、足球、体操以及艺术体操4个项目.现有四张关于运动项目的门票，门票的正面分别印有的图案为.“排球”、.“足球”、.“体操”和.“艺术体操”.四张门票背面完全相同，将这四张卡片洗匀，背面朝上放在桌面上.
（1）从中随机抽取一张门票，抽到的概率为________；
（2）从中随机抽取两张，请你利用画树状图或列表的方法，求两张门票中有一张是的概率.
18.如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于、两点，与轴交于点.
（1）求该二次函数的解析式，并写出顶点的坐标；
（2）若将此抛物线平移，使其顶点为点，请写出这个变换过程和平移后的抛物线解析式.
四、解答题（每小题7分，共28分）
19.如图是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点、均在小正方形的顶点上.按下列要求作图，且所画的点均在小正方形的顶点上.
图① 图②
（1）在图①中画出以、、、为顶点的四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为10；
（2）在图②中画出以、、、为顶点的四边形，使其既是轴对称图形，又是中心对称图形，且面积为15.
20.如图，是的直径，弦，垂足为，，.
（1）求弦的长；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）.
21.如图，绕点按逆时针方向旋转90°得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，连接，交于点.
（1）求的度数；
（2）是延长线上一点，当时，判断和的数量关系，并证明.
22.如图，抛物线（是常数，且）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点是.过点作直线平行于轴，与轴交于点，且.
（1）求点的坐标和抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点的纵坐标；若不存在，请说明理由.
五、解答题（每小题8分，共16分）
23.如图，为的直径，点为上一点，平分，，垂足为，交于点.
（1）求证：直线是的切线
（2）过点作于点，若，，求的直径.
24.活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于90°的角）.
（1）如图①，若将等边三角形绕点逆时针旋转30°得到，线段与线段所在直线的夹角度数为_________度；
（2）如图②，将等边三角形绕点逆时针旋转（）得到（点、的对应点分别为点、），连接，当和所在直线互相垂直时，线段、、之间有怎样的等量关系？试探究你的结论，并说明理由；
（3）已知是等边三角形，分别在边和上截取和，使得，连接，如图③，若，，将绕点逆时针旋转（）.当和所在直线互相垂直时，请直接写出此时的长.
图①图②图③
六、解答题（每小题10分，共20分）
25.如图，在菱形中，，，点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，作交直线于点，交直线于点，设与菱形重叠部分图形的面积为（平方单位），点的运动时间为（秒）.
（1）当点与点重合时，求的值；
（2）在点的运动过程中，求关于的函数关系式；
（3）当时，求的最大值.
26.如图，已知抛物线经过点、，过点作轴，交抛物线于点，的平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点.
备用图
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点在线段下方的地物线上连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）将抛物线向上平移个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求的取值范围
（4）若是抛物线的对称轴上的一占，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
名校调研系列卷·九年级第三次月考试卷
数学（人教版）参考答案
一、1.A 2.A 3.B 4.A 5.B 6.C
二、7.2 8.20 9. 10.11.
12.95°13.114.
三、15.解，.
16.证明：连接，，，即，
，.
17.解：（1）.
（2）画树状图如图.
共有12种等可能的结果，其中两张门票中有一张是的结果有6种，
两张门票中有一张是的概率.
18.解：（1）.顶点的坐标为.
（2）先向左平移2的单位长度，再向上平移4个单位长度，
得到新的抛物线解析式为.
四、19.解：（1）如图①，四边形即为所求。
（2）如图②，四边形即为所求。
图① 图②
20.解：（1）是的直径，，，
是等边三角形，，，，
，.
（2）.
21.解：（1）.
（2）.证明如下：由旋转的性质可知，，，
在中，，
，，
，
即，.
22.解：（1），.
（2）存在.过点作轴于点，由（1）得，，
，，，
又，点的纵坐标为.
五、23.（1）证明：连接，，，
平分，，，
，，，
是的半径，直线是的切线。
（2）解：连接，，，，
四边形是矩形，，，，
，，
解得，，的直径为20.
24.解：（1）30.
（2），理由如下：，
，，，，
等边三角形绕点逆时针旋转得到，，
.
（3）或2.
六、25.解：（1）2.
（2）当时，；
当时，.
（3）.
26.解：（1）.
（2）由题意，得，.过点作轴交于点，
设，平分，，，
是等腰直角三角形，，，
直线的解析式为，
，，
，
，当时，的面积最大，
点的坐标为.
（3），抛物线的对称轴为直线，
顶点坐标为，抛物线向上平移个单位长度后顶点坐标为，
设直线交于点，则，，解得.
（4）存在.点的坐标为或.