浙江省绍兴市高级中学2024-2025学年高二上学期模块质量调测（10月）数学试卷

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命题人：谢旭初 审核人：王建平
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分 （选择题共58分）
一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点关于轴的对称点为，则等于（ ）
A.B.C.2D.
2.直线的一个方向向量为（ ）
A.B.C.D.
3.在空间四边形中，，分别为，的中点，则（ ）
A.B.C.D.
4.已知点，，，若，，三点共线，则，的值分别是（ ）
A.-2，3B.-1，2C.1，3D.-2，2
5.“”是“直线与直线平行”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ）
A.B.C.D.6
7.若直线过定点，且与以，为端点的线段相交（包括端点），则其倾斜角的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8.在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，则点轨迹的长度是（ ）
A.B.C.D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线，，则下列结论正确的是（ ）
A.直线恒过定点B.当时，直线的倾斜角为
C.当时，直线的斜率不存在D.当时，直线与直线垂直
10.已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.的最小值为D.的最大值为4
11.在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A.当时，的周长为定值
B.当时，三棱锥的体积为定值
C.当时，有且仅有一个点，使得
D.当时，有且仅有一个点，使得平面
第二部分 （非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线在轴上的截距为3，则该直线在轴上的截距为_____.
13.在正方体中，点是上底面四边形的中心，若，则实数_____.
14.如图，在长方体中，已知，.动点从出发，在棱上匀速运动；动点同时从出发，在棱上匀速运动，的运动速度是的两倍，各自运动到另一端点停止.它们在运动过程中，设直线与平面所成的角为，则的取值范围是_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
菱形的顶点，的坐标分别为，，边所在直线过点.
（1）求，边所在直线的一般式方程；
（2）求对角线所在直线的一般式方程.
16.（15分）
如图，在正三棱柱中，，点，分别为，的中点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17.（15分）
已知直线.
（1）求证：直线经过一个定点；
（2）若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程.
18.（17分）
如图所示，在直三棱柱中，，，，点在线段上，且，，，分别为，，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求平面与平面的距离.
19.（17分）
如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
2024学年第一学期绍兴市高级中学模块质量调测试卷
参考答案
第一部分（选择题共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 13.2 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
【解析】（1）由菱形的性质可知，则.
所以边所在直线的方程为，即；
边所在直线的方程为，即.
（2）线段的中点为，，
由菱形的几何性质可知，且为的中点，则，
所以对角线所在直线的方程为，即.
16.（15分）
解如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，，连接，，则，，.以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，，，，，.
（1）因为为的中点，
所以，
从而，
又，
故，
.
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
（2）因为为的中点，所以，
因此，
，.
设为平面的一个法向量，
则即
不妨取.
设直线与平面所成角为，
则，所以直线与平面所成角的正弦值
为.
17.（15分）
【解析】（1）直线，
化为，
当时，对任意实数，恒有，
所以直线过定点.
（2）依题意，显然，直线交轴于点，交轴于点，
而点，分别在，轴的正半轴上，即，，于是，
则的面积为，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，，
此时直线的方程为.
18.（17分）（1）证明 如图所示，由条件知，，，两两互相垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
则，，，
设，
则.
，
，
，
，.
，，
又，，平面，
平面.
（2）证明由题意知，，.
，，
，.
，，
又，，平面，
平面，
又平面与平面不重合，
结合（1）可知，平面平面.
（3）解由（1），（2）知，，是平面的法向量，
点到平面的距离为.
由（2）知，平面与平面的距离等于点到平面的距离，
两平面间的距离为.
19.（17分）
【解析】（1）证明：在中，由余弦定理知，
，
所以，即，
因为，
且，、平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
，，
所以，
设平面的法向量为，则，
即，
取，则，，所以，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，所以，
因为平面和平面夹角的余弦值为，
所以，
整理得，，即，
解得或，
因为，所以，
故存在，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时.
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
D
C
C
D
A
9
10
11
BD
AC
BD