浙江省绍兴市2023-2024学年高二下学期6月期末调测考试+数学试卷（含答案）

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注意事项:
1.请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须做在答卷相应位置上.
2.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合A = {x∣- 2 < x ≤ 2}, B = {x∣x < 2} ，则 ( )
A. 2 ∈ B B. (CR A) B = R C. A B D. A∩B ≠ ⑦
【答案】D 【解析】
【分析】根据集合交并补运算，结合选项即可逐一求解. 【详解】对于 A ， 2 B ，故 A 错误，
对于 B ， CR A = {x x ≤ -2 或x > 2 } ，所以(CR A) B = {x x ≠ 2 } ，故 B 错误，
对于 C ， 2 B ，但 2 ∈ A，故 C 错误，
对于 D ， A∩B = {x∣- 2 < x < 2} ，故 D 正确， 故选：D
2. 若 z1 = 1+ 2i, z2 = 2 + i ，则 ）
B. C. D.
【答案】A 【解析】
【分析】根据复数的除法运算即可化简求解.
故选：A
3. 若函数 f(x) = 2x2 + ax -b 在 x ∈[0, 1] 上有两个不同的零点，则下列说法正确的是 ( )
A. b2 +8a > 0 B. a -b ≥ -2
C. b < 0 D. -2 ≤ a ≤ 0
【答案】B 【解析】
【分析】根据一元二次方程根的分布，即可列出不等式，结合选项即可求解.
【详解】 f(x) = 2x2 + ax -b 在 x ∈[0, 1] 上有两个不同的零点,则
[a -b ≥ -2
故 { 2≤+08b > 0 ，故 B 正确，ACD 错误，
l-4 < a < 0 故选：B
- - - - - - - -
- -
4. 已知向量 a, b 满足 | a |= 1, | b |= 2, (a -b) 丄 (3a +b) ，则向量 a 与b夹角的余弦值是 ( )
B. D.
【答案】A 【解析】
【分析】先求出 a- . ，再根据夹角公式可求余弦值.
【详解】因为 (a- - ) 丄 (3a- + ) ，所以 (a- - ) . (3a- + ) = 0 ，
从而2 = 0 ，所以3 - 2- 4 = 0即 ，
故选：A.
5. 已知 cs π , 则 cs 2α =
B. C. - D.
【答案】C 【解析】
【分析】先根据三角恒等变换求出 sin 2α , 再根据已知条件缩小α 范围，从而确定 cs 2α符号进而求解即
可.
【详解】 由已知2 csα — 2sin α =
平方得2 = cs2 α + sin2 α — 2sinα csα = 即1— sin 2α = 解得 sin 2α = —
又 < α < ， < α + < 2π , 且 cs( +α) > 0 ，
则 < 2π , 即 所以 < 2α < 由 sin 2α < 0 ，得 3π < 2α < ，故 cs 2α < 0 ，
故选：C
.
6. 将编号为 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 的 6 个小球放入编号为 1 ，2 ，3 ，4 的 4 个盒子中，每个盒子至少放 1 个小
球，则不同的放法种数是 ( )
A. 2640 B. 2160 C. 1800 D. 1560
【答案】D 【解析】
【分析】分两类分别算出每一类下的方法种数，再按照分类加法计数原理相加即可求解. 【详解】分两类解决这个问题：
第一类，一个盒中 3 个球，另外三个盒中每个盒 1 个球，
共有 C . A = 480 种；
第二类，其中两个盒每个盒 2 个球，另外两个盒每个盒 1 个球，
共有 = 1080 种；
按照分类加法计数原理得，不同的方法种数共有 480 +1080 = 1560 种. 故选：D.
7. 设 A, B 为两个随机事件 则P(B ∣A) = ( )
3 7 5 1
A. B. C. D.
4 12 12 4
【答案】B 【解析】
【分析】根据条件概率公式可得 进而利用概率加法公式以及对立事件概率，即可代入求解. 【详解】 由条件概率可得 → P
P(A B)=P(A)+ P(B) - P(AB) = + - = ,
所以 P(AB) = 1- P(A B) = 1- = , P(A)=1-P(A)= ,
所以 P(B∣A)
故选：B
x1 , x2 ，当 x1 ≠ x2 时，都有
8. 已知函数f(x) 的定义域为[1, 2]，对定义域内任意的
f (x1 )-f (x2 ) < k x1 - x2
,
则下列说法正确的是 ( )
A. 若f(x) = x2 + x ，则 k 0 ，所以k > x1 + x2 +1恒成立， 又因为 x1, x2 不相等，所以 k ≥ 5 ，A 选项错误；
对于 B ： if (x1 )-f (x2 )i = x - x) -( x1 - x2) = ( x1 - x2) ( x1 + x2) -1 = x1 - x2 ( x1 + x2) -1， 所以x1 - x2 x1 - x2 恒成立，
所以k > 0 ，又因为 x1, x2 不相等， x1, x2 ∈ [1, 2]，
所以
又 k < (x1 + x2 ) < × 4 = 2k ， k-1 < (x1 + x2 )-1 < 2k-1 ，
k-1 ≤ k ， 2k-1 ≤ k ，
所以-k ≤ k-1≤ k, -k ≤ 2k-1≤ k ，
所以 ≤ k ，B 选项错误；
对于 C: 因为 x1, x2 不相等，不妨设1≤ x1 < x2 ≤ 2 ， 因为 f (1) = f (2 ) ，
所以
2 f (x1 )-f (x2 ) = f (x1 )-f (1) + f (2)-f (x2 ) + f (x1 )-f (x2 )
≤ f (x1 )-f (1) + f (2)-f (x2 ) + f (x1 )-f (x2 ) < k (x1 -1) + k (2 - x2 ) + k (x2 - x1 ) = k ，
所以 f (x 1 ) -f (x2 ) < ，C 选项正确，
对于 D ：不妨设 f (x )在 [1, 2] 上单调递增，任取 x1 , x2 ，满足1≤ x2 < x1 ≤ 2 ， 则 f (x1 ) > f (x2 ) ，
因为 f (x 1 ) -f (x2 ) < k x1 - x2 ，
所以 f (x1 )-f (x2 ) < k (x1 - x2 ) ，所以 f (x1 ) -kx1 < f (x2 )-kx2 ， 所以 y = f (x )-kx 单调递减，D 选项错误.
故选：C.
【点睛】方法点睛：结合已知条件及函数单调性定义判断单调性，结合三角不等式判断绝对值不等式范围.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知x, y 都是正实数，则下列结论正确的是 ( )
C. x + y ≥ 1 + xy D. x2 + y2 ≥ 2(x + y -1)
【答案】ACD 【解析】
【分析】运用基本不等式逐一分析选项即可. 【详解】 x, y 都是正实数,
当且仅当 ，即x = y 时等号成立，故 A 正确；
+1≥ 2 + 2 当且仅当 ，即x = y 时等号成立，故 B 正确；
当 x = y = 2 时， x + y ≥ 1 + xy 不成立，故 C 错误；
x2 + y2 ≥ 当且仅当x = y 时等号成立，
令t = x + y ， t2 - 4t + 4 = 2 ≥ 0 ，即 t2 ≥ 4t - 4 ，即 ， 即 ，所以 x2 + y2 ≥ 2成立，故 D 正确.
故选： ACD.
10. 四位同学各掷大小一致、质地均匀的骰子 5 次，分别记录每次骰子出现的点数. 四位同学的统计结果如
下，则可能出现点数 6 的是 ( )
A. 平均数为 3 ，中位数为 2 B. 平均数为 2 ，方差为 2.4
C. 中位数为 3 ，众数为 2 D. 中位数为 3 ，方差为 2.8
【答案】ACD 【解析】
【分析】根据题意，分别举例判断，即可求解.
【详解】对于 A ，当掷骰子出现的结果为 1 ，1 ，2 ，5 ，6 时，满足平均数为 3 ，中位数为 2 ，可以出现点 6， 所以 A 正确；
对于 B，若平均数为 2，且出现点数 6 ，则方差2 = 3.2 > 2.4 ，所以当平均数为 2 ，方差为 2.4
时，一定不会出现点数 6 ，所以B 错误；
对于 C ，当掷骰子出现的结果为 2 ，2 ，3 ，4 ，6 时，满足中位数为 3 ，众数为 2 ，可以出现点 6 ，所以 C 正 确；
对于 D ，当掷骰子出现的结果为 1 ，2 ，3 ，3 ，6 时，满足中位数为 3，
则平均数为
所以可以出现点 6 ，所以 D 正确. 故选：ACD
11. 已知函数 f(x) = sin(πx) + esin x ，则下列说法正确的是 ( )
A. f(x) ≤ 1 + e 恒成立 B. f(x) 在[0, π] 上单调递增
C. f(x) 在[-π, 0] 上有 4 个零点 D. f(x) 是周期函数
【答案】AC 【解析】
【分析】利用三角函数的有界性，结合放缩法即可求解 A ，利用端点处的函数值比较，即可判断 B ，由导数 求解函数的单调性，作出函数图象，即可求解 C ，利用三角函数的周期公式，即可求解 D.
【详解】对于 A, sin x ∈[1, 1], :f(x) = sin(πx) + esin x ≤ 1+ esin x ≤ 1+ e1 ,故 A 正确， 对于 B ， 3π < π2 < 4π, :sin π2 < 0, 故f (π ) = sin π2 +1 < 1 = f(0) ，故 B 错误，
对于 C,令 f(x) = sin(πx) + esin x = 0 → sin(πx) = -esin x ，
记h (x) = sin(πx), g (x) = -esin x ， 则 g,(x) = - cs xesin x ，
当 , cs x 0, : g , 单调递增，
当 , cs x > 0, : g , < 0, g 单调递减，
且 = -1, g = -1 ，而h
在同一直角坐标系中作出函数图象如下：故两函数图象有 4 个不同的交点，因此函数f(x) 在[—π, 0] 上有 4 个零点，C 正确，
对于 D ，由于 y = sin πx 为周期函数，且最小正周期为 = 2 ，而 y = esin x = esin 也为周期函数，且最
小正周期为 2π ,
由于 2π 为无理数，而 2 为有理数，则不存在整数k1, k2 使得2k1 = 2πk2 ，
所以 f(x) = sin(πx) + esin x 不是周期函数，D 错误， 故选：AC
【点睛】方法点睛： 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. (lg2 3)(lg3 5)(lg5 8) = .
【答案】3 【解析】
【分析】利用换底公式及其对数运算法则求解即可. 【详解】 (lg2 3)(lg3 5)(lg5 8)
= 3
故答案为： 3 .
13. 在棱长为 2 的正方体 ABCD — A1B1C1D1 中， E 为棱 BC 的中点，则四面体 EADD1 的外接球的表面积
是 .
【答案】
【解析】
【分析】取 B1C1 中点F ，连接 A1F , D1F , EF ，将四面体 EADD1 补为直三棱柱 A1D1F 一 ADE ，利用正弦 定理求出 VADE 外接圆的半径 r ，再利用球的半径公式r2+d2 及球的表面积公式求解即可.
【详解】取 B1C1 中点F ，连接 A1F , D1F , EF ，
因为在棱长为 2 的正方体 ABCD 一 A1B1C1D1 中，所以三棱柱 A1D1F 一 ADE 是直三棱柱，
又因为D1D 丄 平面 ADE ，所以四面体 EADD1 的外接球即为直三棱柱 A1D1F 一 ADE 的外接球， 因为 E 为棱 BC 的中点，四边形 ABCD是边长为 2 的正方形，所以 AE = ED = 22+1 =
在 VADE 中，cs 上AED = ，又上AED 是锐角，所以sin 上AED = 由正弦定理得 VADE 外接圆的半径为
所以直三棱柱 A1D1F 一 ADE 的外接球半径为2+1 =
所以四面体 EADD1 的外接球的表面积为 S = 4πR2 = 故答案为： .
14. 在平面四边形 ABCD中， AB = AD = 3, 上ADC = ，记 △ABC 与 △ACD 的面积分别为
S1 , S2 ，则 S2 一 S1 的值是 .
【答案】 9v3 ##9
4 4
【解析】
【分析】 由余弦定理可得 BC2 一 AC2 = 一3BC 一 9和 CD2 一 AC2 = 3CD 一 9 ，利用三角形的面积公式，代
入即可化简求解.
【详解】在 △ABC 中， 由余弦定理得： cs B = ，即 cs120 =
因为在 △ACD 中， 由余弦定理得： cs D = ，即 cs 60 =
又因为在 △ABC 中S1 = AB× BC× sin120 =
所以由②﹣①得： CD2 - AC2 - BC2 + AC2 = 3CD + 3BC ， 因为 CD + BC > 0 ，所以 CD - BC = 3
故答案为：
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 = sin + sin 2x .
（2）求f(x) 的单调递增区间.
【答案】（1）
【解析】
【分析】（1）根据题意， 由三角恒等变换公式化简，即可得到函数 f (x )解析式，代入计算，即可求解；
（2）根据题意， 由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可求解.
【小问 1 详解】
( 3 , 2 2
因为 f(x) = sin (|2x + 2π)| + sin 2x = - 1 sin 2x + ·3 cs 2x + sin 2x
2 2 ( 3 ,
= 1 sin 2x + 、i3 cs 2x = sin (|2x + π )| ，
【小问2 详解】
由 可知， f = sin 令 - + 2kπ ≤ 2x + ≤ + 2kπ,k ∈ Z ， 解得 - π + kπ ≤ x ≤ + kπ,k ∈ Z ，
所以f(x) 的单调递增区间为 , k ∈ Z
16. 有A 和B 两道谜语，张某猜对 A 谜语的概率为 0.8 ，猜对得奖金 10 元;猜对B 谜语的概率为 0.5 ，猜对得 奖金 20 元.每次猜谜的结果相互独立.
（1）若张某猜完了这两道谜语，记张某猜对谜语的道数为随机变量 X ，求随机变量 X 的分布列与期望;
（2）现规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道.如果猜谜顺序由张某选择，为了获得更
多的奖金，他应该选择先猜哪一道谜语?
【答案】（1）分布列见解析， E (X ) = 1.3 （2）先猜 A
【解析】
【分析】（1）根据题意，由条件可得 X 的可能取值为0, 1, 2 ，然后分别求得其对应概率，结合期望的定义， 代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，分别求得先猜 A 谜语得到的奖金期望与先猜 B 谜语得到的奖金期望，比较大小，即可得到 结果.
【小问 1 详解】
由题意可得， X 的可能取值为0, 1, 2 ， P (X = 0) = (1- 0.8)× (1- 0.5) = 0.1，
P (X = 1) = 0.8 × (1- 0.5) + (1- 0.8)×0.5 = 0.5 ， P (X = 2) = 0.8 × 0.5 = 0.4 ，
则分布列为
则 E(X) = 0 × 0. 1+1× 0.5 + 2× 0.4 = 1.3 . 【小问2 详解】
设选择先猜 A 谜语得到的奖金为 Y元，选择先猜 B 谜语得到的奖金为 Z 元， 则随机变量 Y 的可能取值为：0 ，10 ，30，
可得P(Y = 0) = 1 - 0.8 = 0.2 ， P(Y = 10) = 0.8 ×(1- 0.5) = 0.4 ，
P(Y = 30) = 0.8 × 0.5 = 0.4 ， 所以随机变量 Y 的的分布列为：
所以期望 E(Y) = 10× 0.4 + 30× 0.4 = 16 ； 又由随机变量 Z 的可能取值为：0 ，20 ，30，
可得 P(Z = 0) = 0.5 ， P(Z = 20) = 0.5 ×(1- 0.8) = 0.1 ， P(Z = 30) = 0.5 × 0.8 = 0.4 ， 随机变量 Z 的分布列为：
X
0
1
2
P
0.1
0.5
0 .4
Y
0
10
30
P
0.2
0.4
0.4
所以期望为 E(Z) = 20× 0. 1+ 30× 0.4 = 14 ， ∴ E(Y) > E(Z ) ，所以小明应该先猜 A.
17. 如图 1 ，在四边形 ABCD 中， AD / /BC, AB 丄 AD, AB = 2, AD = 4 ，现将 △ABC 沿着 AC 进行翻折， 得到三棱锥 P - ACD ，且平面 APD 丄 平面 ACD ，如图 2.
（1）若 AP 与平面 ACD 所成的角为 ，证明： AP 丄 CD ;
（2）若BC = 3 ，求平面 APC 与平面PCD夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）过 P 作PE 丄AD 于E ，则由平面 APD 丄 平面 ACD ，可得 PE 丄平面 ACD ，所以 上PAE
为 AP 与平面 ACD 所成的角，则 上PAE = 再结合已知的数据可证得 AP 丄 PD ，然后由线面垂直的判
定定理可得 AP 丄平面 PCD ，则 AP 丄 CD ；
（2） 以 E 为原点， ED, EP 所在的直线分别为y, z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问 1 详解】
证明：过 P 作PE 丄AD 于 E ，
因为平面 APD 丄 平面 ACD ，平面 APD∩ 平面 ACD = AD ， PE 平面 APD ， 所以 PE 丄 平面 ACD ，
所以 上PAE 为 AP 与平面 ACD 所成的角，
所以 上PAE = 所以 上APE = ，
因为 AP = AB = 2 ，所以AE = 1, PE = · , 所以DE = AD - AE = 4 -1 = 3 ，
Z
0
20
30
P
0.5
0. 1
0.4
在 Rt△PDE 中， tan 上EPD = 所以 上EPD = ， 所以 上APD = 上APE + 上EPD = ，所以 AP 丄 PD ,
因为 AD / /BC, AB 丄 AD ，所以 AB 丄BC ，即 AP 丄 PC ，
因为 PC ∩ PD = P ， PC, PD 平面 PCD ，所以 AP 丄平面 PCD ， 因为 CD 平面 PCD ，所以AP 丄 CD ；
【小问2 详解】
过 P 作 PE 丄AD 于 E ，由（1）可知 PE 丄平面 ACD ，
所以以 E 为原点， ED, EP 所在的直线分别为y, z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
连接 PB, BE ，取 PB 的中点M ，连接 AM, CM ,
因为 AB = AP, CB = CP ，所以AM 丄 PB, CM 丄 PB ，
因为 AM ∩ CM = M ， AM , CM 平面 ACM ，所以PB 丄 平面 ACM ， 因为 AC 平面 ACM ，所以PB 丄 AC ，
因为 PE 丄平面 ACD ， AC 平面 ACD ，所以 PE 丄 AC ，
因为 PB ∩ PE = P ， PB, PE 平面 PBE ，所以 AC 丄平面 PBE ，
因为 BE 平面 PBE ，所以 AC 丄 BE ， 所以 上EBC + 上ACB = 90。，
因为 上EBC + 上ABE = 90。，所以 上ABE = 上ACB ，
所以 tan 上ABE = tan 上ACB ，所以 所以 = ，得 AE = ， 所以PA2—AE2 =
-→
设平面 APC 的法向量为 m = (x1, y1, z1 ) ，
因为
所以 1 = 0 ，令 x1 = 3 ，则 = (3, —2, ) ，
→
设平面 PDC 的法向量为 n = (x2, y2, z2 ) ，
因为
所以平面 APC 与平面PCD夹角的余弦值为 .
18. 已知函数 x — ax .
（1）当a = e 时，求曲线y = f(x) 在点(1, f(1)) 处的切线方程;
（2）当1 < a < 2 时，证明： f(x) > 0 在(0, a) 上恒成立.
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【答案】（1） x + 2y 一 2 = 0 （2）证明见详解.
【解析】
【分析】（1）先求导函数并计算 f(1), f’(1) ，再通过点斜式求切线方程即可；
（2）通过求导函数 f’(x) ，证明存在 x0 ∈ (0, a) ，使得 f’(x0 ) = 0 ，则函数f(x) 在(0, x0 ) 单调递增，在(x0, a) 单调递减，再证明 f(a) > 0 即可.
【小问 1 详解】
当a = e 时，函数 fx 一 e x ，
则 一 ex ， 且 = 一 ，
所以切线方程为 y 一 = 一 ，即 x + 2y 一 2 = 0 .
【小问2 详解】
由题意可知 一 a x ln a ，且1 < a < 2 ， 令 h(x) = a 一 一 a x ln a ， 0 < x < a ，
则 h’(x) = 一ax (ln a)2 < 0 在 0 < x < a 恒成立， 所以h(x) 在 0 < x < a 单调递减，
即 f’(x) 在 0 < x < a 单调递减，且 f’一 ln a ， 令 m(a) = a 一 一 ln a ， 1 < a < 2 ，
所以 m’(a ) = 1一 > 0 在1 < a < 2 恒成立， 所以a 在1 < a < 2 单调递增， 所以
由因为 f’(a) = a 一 一 aa ln a ， 1 < a < 2 当a = 2 时， f’一 22 ln 2 < 0 ，
所以存在 x0 ∈ (0, a) ，有 f’(x0 ) = 0 ，
所以函数f(x) 在(0, x0 ) 单调递增，在(x0, a) 单调递减，
又因为 f(0) = 0 = 1 + a2 一 一 a a ， 且1 一 > 0, a2 > a a ，
所以 = 1 + a 2 一 一 a a > 0
所以函数 f(x) > 0 在(0, a) 恒成立.
19. 已知集合 Sn = {X∣X = (x1,x2, … ,xn ),xi ∈ R,i = 1, 2, … ,n }(n ≥ 2) ，对于 A = (a1, a2, … , an )，
B = (b1,b2, … ,bn ) ∈ Sn ，定义A 与B 之间的距离为ai 一 bi
（1）若 A = (1, 1), B = (x, y) ∈ S2 ，求所有满足d (A, B) = 2 的点(x, y) 所围成的图形的面积;
（2）当 xi ∈ {0, 1}(i = 1, 2, … , n) 时， A, B ∈ Sn , ∈ Sn ，并且d = p ≤ n ，
求d (A, B) 的最大值（用p 表示);
（3）当 xi ∈ {0, 1, 2}(i = 1, 2, … , n) 时，求集合 Sn 中任意两个元素之间的距离的和.
max =
（3） 4n × 9n一1
【解析】
【分析】（1）根据d (A, B) = 2 可得
= 2 ，即可分类去掉绝对值求解，
x 一1
+
y 一1
（2）分两种情况n ≥ 2p,n < p ，结合绝对值不等式的性质放缩即可求解；
（3）对M , N, C 第一个位置的数字两两作差并取绝对值，可得3× Cn一1 个 (0, a2, … , an ) ，可得 2× 3n一1 × 3n一1 个 (1, b2, … , bn ) ，可得3n一1 × 3n一1个 (2, c2, … , cn ) , 即可求解和.
【小问 1 详解】
由 A = (1, 1), B = (x, y) ∈ S2 可得 d(A, B) = x 一1 + y 一1 = 2 ， 当 x ≥ 1, y ≥ 1 时， x 一1 + y 一1 = 2 → x + y = 4 ，
当 x ≤ 1, y ≤ 1 时， x 一1 + y 一1 = 2 → x + y = 0 ，
当 x ≥ 1, y ≤ 1 时， x 一1 + y 一1 = 2 → x 一 y = 2 ， 当 x ≤ 1, y ≥ 1 时， x 一1 + y 一1 = 2 → y 一 x = 2 ，
故围成的图形为正方形MNPQ , 其中M(1, 3), N(3, 1), P(1, 一1), Q (一1, 1) ,如下：
故面积为
【小问2 详解】
设 A = (a1, a2, … , an ) ， B = (b1, b2, … , bn ) ，
所以 a1 + a2 + …+ an = p ， b1 + b2 +…+ bn = p ， 当n < 2p ，
当n ≥ 2p 时， d ai 一 bi 综上所述max =
【小问 3 详解】
xi ∈ {0, 1, 2}(i = 1, 2, … , n) ， 设
M = {X∣X = (0, x2, … , xn ) , xi ∈R , i = 2, … , n} , N = {X∣X = ( 1, y2, … , yn ) , yi ∈R , i = 2, … , n} , C = {X∣X = (2, z2, … , zn ), zi ∈ R, i = 2, … , n}
其中M , N, C 中均有 3n一1 个元素， Sn =M N C ,
Sn 共有 3n 个不同的元素，从 Sn 的3n 个不同的元素任取 2 个不同的元素共有Cn 种选法，
从M , N, C 中任选一个元素，对第一个位置的数字两两作差并取绝对值，可得3× Cn-1 个(0, a2, … , an ) ，可 得 2 × 3n-1 × 3n-1 个 (1, b2, … , bn ) ， 可 得 3n-1 × 3n-1 个 (2, c2, … , cn ) ， 其 中 ai, bi, ci ∈ {±2, ±1, 0} 个 (1, a2, … , an ) ，
所以 Sn 中所有元素的第一位的数字之和为2× 3n-1 × 3n-1 + 2× 3n-1 × 3n-1 + 3Cn-1 × 0 = 4 × 9n-1 ，
对于 Sn 中所有元素的其他同等位置的数字之和为均为 4× 9n-1 ， 故集合 Sn 中任意两个元素之间的距离的和 4n ×9n -1 ，
【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和 转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者 函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.