2024-2025学年人教版数学九年级上册期末模拟练习 （真题重组卷）-

这是一份2024-2025学年人教版数学九年级上册期末模拟练习 （真题重组卷）-，共25页。
A．B．C．D．
2．（2023秋•湘潭期末）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+3y﹣5＝0B．x2+＝1
C．x2﹣1＝0D．ax2+bx+c＝0
3．（2024春•瓯海区期末）用配方法解方程x2﹣2x＝1时，配方后所得的方程（ ）
A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝2D．（x﹣1）2＝2
4．（2023秋•宁津县期末）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．80°
5．（2023秋•阿荣旗期末）某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30
B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
C．30x+2×20x＝×20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
6．（2023秋•怀仁市期末）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋•越秀区期末）如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．40°B．140°C．70°D．80°
8．（2023秋•昭通期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论中，不正确的是（ ）
A．AB＝4B．b2﹣4ac＞0C．ab＜0D．a﹣b+c＜0
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋•建邺区期末）如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成．假设飞镖击中每1块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是 ．
10．（2023秋•船营区校级期末）如图，△ABC中，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则旋转角为 °．
11．（2023秋•海门区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A'BC'，连接AA'，则AA'的长为 ．
12．（2023秋•潍城区期末）已知关于x的一元二次方程：x2﹣kx+3＝0有两个实根x1、x2，则x1x2＝ ．
13．（2023秋•新吴区期末）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0和（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0互为联根方程，那么a的值为 ．
14．（2023秋•船山区期末）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝ ．
15．（2024春•海淀区校级期末）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 米．
16．（2023秋•丰台区期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点C为劣弧上的点．过点C的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA＝8，则△PMN的周长为 ．
三．解答题（共9小题）
17．（2023秋•长寿区期末）解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0．
18．（2023秋•南京期末）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点．
（1）连接OC，求证：OC垂直平分AB；
（2）若AB＝8，，求⊙O的半径．
19．（2023秋•潮州期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，D为△ABC内一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE，连接DE，BD，CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若DE⊥AC，求∠BAD的度数．
20．（2023秋•冠县期末）某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
（2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
21．（2023秋•百色期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．
如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
22．（2023秋•奇台县校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，CE＝2，求半径的长．
23．（2022秋•渠县期末）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，某中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生数是 人，圆心角β＝ 度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该中学共有1500名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A、B、C、D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加区级比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A、C两人同时参赛的概率．
24．（2023秋•嘉兴期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点A，且过点B（﹣1，2），C（3，0）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，当抛物线经过点B时，求m的值；
（3）若P是抛物线上位于第一象限内的一点，且S△ABC＝2S△ACP，求点P的坐标．
25．（2021秋•疏附县期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求直线AC的函数关系式；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求△APC面积的最大值．
期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024春•衡阳期末）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A选项不是轴对称图象，也不是中心对称图形，不合题意；
B选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；
C选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；
D选项是轴对称图象，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
2．（2023秋•湘潭期末）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+3y﹣5＝0B．x2+＝1
C．x2﹣1＝0D．ax2+bx+c＝0
【解答】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意；
B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、当a＝0时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（2024春•瓯海区期末）用配方法解方程x2﹣2x＝1时，配方后所得的方程（ ）
A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝2D．（x﹣1）2＝2
【解答】解：∵x2﹣2x＝1，
∴（x﹣1）2＝2，
故选：D．
4．（2023秋•宁津县期末）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．80°
【解答】解：设AB的中点为O，连接OD，如图所示：
∵以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，
∴A、C、B、D四点共圆，
∵量角器上点D对应的读数是100°，
∴∠BOD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠BCD＝∠BOD＝40°，
故选：B．
5．（2023秋•阿荣旗期末）某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30
B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
C．30x+2×20x＝×20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30，
故选：B．
6．（2023秋•怀仁市期末）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：连接OC，
∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，OA＝4，
∴AB＝2OA＝8，
∵OA＝OC，∠OAB＝60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠COB＝30°，
∴，
∴OC为△AOB的中线，
∴S△AOC＝S△BOC，
∴阴影部分的面积为．
故选：A．
7．（2023秋•越秀区期末）如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．40°B．140°C．70°D．80°
【解答】解：∵PA是圆的切线．
∴∠OAP＝90°，
同理∠OBP＝90°，
根据四边形内角和定理可得：
∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠ACB＝∠AOB＝70°．
故选：C．
8．（2023秋•昭通期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论中，不正确的是（ ）
A．AB＝4B．b2﹣4ac＞0C．ab＜0D．a﹣b+c＜0
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），
∴A（﹣3，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，所以选项A正确，不合题意；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以选项B正确，不合题意；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∴ab＞0，所以选项C不正确，符合题意；
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以D正确，不合题意．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋•建邺区期末）如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成．假设飞镖击中每1块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是 ．
【解答】解：∵共有9种小正方形，其中黑色正方形的有3个，
∴小刚任意投掷飞镖一次，刚好击中黑色区域的概率是＝，
故答案为：．
10．（2023秋•船营区校级期末）如图，△ABC中，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则旋转角为 60 °．
【解答】解：∵∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，
∴∠A′B′C＝60°，AB＝A′B′＝A′C，
∴△A′B′C是等边三角形，
∴∠B′A′C＝60°，
∴旋转角的度数为60°．
故答案为：60．
11．（2023秋•海门区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A'BC'，连接AA'，则AA'的长为 5 ．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝5，
∵△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A'BC'，
∴BA＝BA′＝5，∠ABA′＝90°，
∴AA′＝＝5．
故答案为：5．
12．（2023秋•潍城区期末）已知关于x的一元二次方程：x2﹣kx+3＝0有两个实根x1、x2，则x1x2＝ 3 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程：x2﹣kx+3＝0有两个实根x1、x2，
∴x1x2＝3．
故答案为：3．
13．（2023秋•新吴区期末）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0和（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0互为联根方程，那么a的值为 ﹣2 ．
【解答】解：∵x2﹣（2+a）x+2a＝0，
∴（x﹣2）（x﹣a）＝0，
解得：x1＝2，x2＝a．
∵关于x的两个一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0和（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0互为联根方程，
∴x＝2或x＝a关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0的根．
将x＝2代入方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0得：4（a﹣1）﹣2a2﹣a+2＝0，
整理得：2a2﹣3a+2＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0，
∴此时该方程无实数根，即x＝2不是关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0的解；
将x＝a代入方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0得：（a﹣1）a2﹣a3﹣a+2＝0，
整理得：a2+a﹣2＝0，
解得：a1＝﹣2，a2＝1，
又∵a﹣1≠0，
∴a＝﹣2，
∴a的值为﹣2．
故答案为：﹣2．
14．（2023秋•船山区期末）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝ ﹣1或2 ．
【解答】解：∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，
①当（x﹣1）2＝x2时，不可能得出最小值为1；
②当（x﹣1）2＞x2时，x2＝1，x＝1或x＝﹣1则若x＝1，则（x﹣1）2＝0，不符合题意；
若x＝﹣1，符合题目意思．
∴x＝﹣1；
③当（x﹣1）2＜x2时，则（x﹣1）2＝1，
∴x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1；
∴当x﹣1＝1时，x＝2，
当x﹣1＝﹣1时，x＝0（不合题意舍去），
故答案为：﹣1或2．
15．（2024春•海淀区校级期末）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 8 米．
【解答】解：令y＝8，即y＝﹣x2+10＝8，
解得：x＝±4，
∴则EF＝4﹣（﹣4）＝8（米）．
16．（2023秋•丰台区期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点C为劣弧上的点．过点C的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA＝8，则△PMN的周长为 16 ．
【解答】解：∵PA，PB，MN是⊙O的切线，PA＝8，
∴MA＝MC，NC＝NB，PA＝PB＝8，
∴△PMN的周长＝PM+MC+NC+PN＝PM+MA+NB+PN＝PA+PB＝16．
故答案为：16．
三．解答题（共9小题）
17．（2023秋•长寿区期末）解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0．
【解答】解：（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0，
（x﹣3）（5x﹣3）＝0，
x﹣3＝0或5x﹣3＝0，
解得x1＝3，．
18．（2023秋•南京期末）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点．
（1）连接OC，求证：OC垂直平分AB；
（2）若AB＝8，，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OA，OB，OC，
∵由C是的中点，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，
∴OC垂直平分AB；
（2）解：由（1）知，OC垂直平分AB，
∵AB＝8，，
∴AD＝AB＝4，
∴CD＝＝＝2，
设⊙O的半径为r，
则OD＝r﹣2，OA＝r，
在Rt△AOD中，
AD2+OD2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2，
解得r＝5．
19．（2023秋•潮州期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，D为△ABC内一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE，连接DE，BD，CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若DE⊥AC，求∠BAD的度数．
【解答】（1）证明：∵将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝42°，
∵∠BAC＝42°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：由（1）知AD＝AE，∠DAE＝42°，
∵DE⊥AC，
∴∠CAE＝DAE＝21°，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＝21°．
20．（2023秋•冠县期末）某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
（2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
【解答】解：（1）设每件降价x元，则每件盈利（90﹣x﹣50）元，平均每天可售出（20+2x）件，
依题意得：（90﹣x﹣50）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵要使顾客得到较多的实惠，
∴x＝20．
答：每件应降价20元．
（2）每天不可能盈利2000元，理由如下：
设每件降价y元，则每件盈利（90﹣y﹣50）元，平均每天可售出（20+2y）件，
依题意得：（90﹣y﹣50）（20+2y）＝2000，
整理得：y2﹣30y+600＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×600＝﹣1500＜0，
∴原方程无实数根，
即每天不可能盈利2000元．
21．（2023秋•百色期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．
如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
【解答】解：（1）如图，过点O作OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O以点D，由题意可知，CD＝1m，AB＝6m，
∴OC⊥AB，AB＝6m，
∴AC＝BC＝AB＝3m，
设圆的半径为r m，即OA＝OD＝r m，OC＝（r﹣1）m，
在 Rt△AOC中，
OC2+AC2＝OA2，即 （r﹣1）2+32＝r2，
解得r＝5，
即该圆的半径为5m；
（2）设水面升到如图EF的位置，则EF∥AB，OD与EF相交于点G，
∵OD⊥EF，
∴EG＝FG＝EF＝m，
连接OE，在Rt△EOG中，OE＝5m，EG＝4m，
∴OG＝＝3m，
∴CG＝OC﹣OG＝4﹣3＝1（m），
即水面上涨的高度为 1 米．
22．（2023秋•奇台县校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，CE＝2，求半径的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵CD＝AC，
∴CD＝4，
设半径为x，则OC＝x+2，
在直角三角形ODC中，
OC2＝OD2+CD2，即（x+2）2＝x2+42，
∴x＝3．
∴半径的长为3．
23．（2022秋•渠县期末）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，某中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生数是 50 人，圆心角β＝ 144 度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该中学共有1500名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A、B、C、D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加区级比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A、C两人同时参赛的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生数为10÷20%＝50（人）；
圆心角β的度数为360°×＝144°；
故答案为：50；144；
（2）优秀等级的人数为50﹣2﹣10﹣20＝18（人），
补全条形统计图为：
（3）1500×＝600（人），
所以估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为600人；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A、C两人的结果数为2，
所以恰好抽到A、C两人同时参赛的概率＝＝．
24．（2023秋•嘉兴期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点A，且过点B（﹣1，2），C（3，0）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，当抛物线经过点B时，求m的值；
（3）若P是抛物线上位于第一象限内的一点，且S△ABC＝2S△ACP，求点P的坐标．
【解答】解：（1）把B（﹣1，2），C（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
则，
解得，
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）∵y＝﹣x2+x+3，
∴对称轴为直线x＝﹣＝，
令B点关于对称轴的对称点为B′，
∴B′（2，2），
∴BB′＝3，
∵抛物线向左平移m（m＞0）个单位经过点B，
∴m＝3；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+n，
把A（0，3），C（3，0）代入y＝kx+n得：，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
过点B作BD⊥y轴交AC于点D，如图：
则点D的纵坐标为2，
把y＝2代入y＝﹣x+3得，﹣x+3＝2，
解得x＝1，
∴D（1，2），
∴BD＝2，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝×1•BD+×2•BD＝1+2＝3，
过点P作PE⊥x轴交AC于点E，
设点P（x，﹣x2+x+3），则E（x，﹣x+3），
∴PE＝﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+x，
∵S△ABC＝2S△ACP＝3，
∴S△ACP＝，
∵S△ACP＝×3•PE＝．
∴PE＝1，
令﹣x2+x＝1，
解得x＝1或2，
∴当x＝1时，y＝﹣++3＝3；
当x＝2时，y＝﹣×4+×2+3＝2，
∴P（1，3）或（2，2）．
25．（2021秋•疏附县期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求直线AC的函数关系式；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求△APC面积的最大值．
【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），C（﹣2，3），得，
解得，
故抛物线为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设直线为y＝kx+n过点A（1，0），C（﹣2，3），则，
解得，
故直线AC为y＝﹣x+1；
（2）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H，过点C作CG⊥x轴于点G，
设Q（x，﹣x+1），则P（x，﹣x2﹣2x+3），
∴PQ＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2，
又∵S△APC＝S△APQ+S△CPQ＝PQ•AG＝（﹣x2﹣x+2）×3＝﹣（x+）2+，
∴△APC面积的最大值为．